Theorem sucel

Description: Membership of a successor in another class. (Contributed by NM, 29-Jun-2004)

	Ref	Expression
Assertion	sucel	|- ( suc A e. B <-> E. x e. B A. y ( y e. x <-> ( y e. A \/ y = A ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		risset	|- ( suc A e. B <-> E. x e. B x = suc A )
2		dfcleq	|- ( x = suc A <-> A. y ( y e. x <-> y e. suc A ) )
3		vex	|- y e. _V
4	3	elsuc	|- ( y e. suc A <-> ( y e. A \/ y = A ) )
5	4	bibi2i	|- ( ( y e. x <-> y e. suc A ) <-> ( y e. x <-> ( y e. A \/ y = A ) ) )
6	5	albii	|- ( A. y ( y e. x <-> y e. suc A ) <-> A. y ( y e. x <-> ( y e. A \/ y = A ) ) )
7	2 6	bitri	|- ( x = suc A <-> A. y ( y e. x <-> ( y e. A \/ y = A ) ) )
8	7	rexbii	|- ( E. x e. B x = suc A <-> E. x e. B A. y ( y e. x <-> ( y e. A \/ y = A ) ) )
9	1 8	bitri	|- ( suc A e. B <-> E. x e. B A. y ( y e. x <-> ( y e. A \/ y = A ) ) )