Theorem symgcl

Description: The group operation of the symmetric group on A is closed, i.e. a magma. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2015) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jan-2015)

	Ref	Expression
Hypotheses	symgov.1	|- G = ( SymGrp ` A )
	symgov.2	|- B = ( Base ` G )
	symgov.3	|- .+ = ( +g ` G )
Assertion	symgcl	|- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ Y ) e. B )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		symgov.1	|- G = ( SymGrp ` A )
2		symgov.2	|- B = ( Base ` G )
3		symgov.3	|- .+ = ( +g ` G )
4	1 2 3	symgov	|- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ Y ) = ( X o. Y ) )
5	1 2	symgbasf1o	|- ( X e. B -> X : A -1-1-onto-> A )
6	1 2	symgbasf1o	|- ( Y e. B -> Y : A -1-1-onto-> A )
7		f1oco	|- ( ( X : A -1-1-onto-> A /\ Y : A -1-1-onto-> A ) -> ( X o. Y ) : A -1-1-onto-> A )
8	5 6 7	syl2an	|- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( X o. Y ) : A -1-1-onto-> A )
9		coexg	|- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( X o. Y ) e. _V )
10	1 2	elsymgbas2	|- ( ( X o. Y ) e. _V -> ( ( X o. Y ) e. B <-> ( X o. Y ) : A -1-1-onto-> A ) )
11	9 10	syl	|- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X o. Y ) e. B <-> ( X o. Y ) : A -1-1-onto-> A ) )
12	8 11	mpbird	|- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( X o. Y ) e. B )
13	4 12	eqeltrd	|- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ Y ) e. B )