Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
symgtrf.t |
|- T = ran ( pmTrsp ` D ) |
2 |
|
symgtrf.g |
|- G = ( SymGrp ` D ) |
3 |
|
symgtrf.b |
|- B = ( Base ` G ) |
4 |
|
symggen.k |
|- K = ( mrCls ` ( SubMnd ` G ) ) |
5 |
|
elex |
|- ( D e. V -> D e. _V ) |
6 |
2
|
symggrp |
|- ( D e. _V -> G e. Grp ) |
7 |
|
grpmnd |
|- ( G e. Grp -> G e. Mnd ) |
8 |
6 7
|
syl |
|- ( D e. _V -> G e. Mnd ) |
9 |
3
|
submacs |
|- ( G e. Mnd -> ( SubMnd ` G ) e. ( ACS ` B ) ) |
10 |
|
acsmre |
|- ( ( SubMnd ` G ) e. ( ACS ` B ) -> ( SubMnd ` G ) e. ( Moore ` B ) ) |
11 |
8 9 10
|
3syl |
|- ( D e. _V -> ( SubMnd ` G ) e. ( Moore ` B ) ) |
12 |
5 11
|
syl |
|- ( D e. V -> ( SubMnd ` G ) e. ( Moore ` B ) ) |
13 |
1 2 3
|
symgtrf |
|- T C_ B |
14 |
13
|
a1i |
|- ( D e. V -> T C_ B ) |
15 |
|
2onn |
|- 2o e. _om |
16 |
|
nnfi |
|- ( 2o e. _om -> 2o e. Fin ) |
17 |
15 16
|
ax-mp |
|- 2o e. Fin |
18 |
|
eqid |
|- ( pmTrsp ` D ) = ( pmTrsp ` D ) |
19 |
18 1
|
pmtrfb |
|- ( x e. T <-> ( D e. _V /\ x : D -1-1-onto-> D /\ dom ( x \ _I ) ~~ 2o ) ) |
20 |
19
|
simp3bi |
|- ( x e. T -> dom ( x \ _I ) ~~ 2o ) |
21 |
|
enfi |
|- ( dom ( x \ _I ) ~~ 2o -> ( dom ( x \ _I ) e. Fin <-> 2o e. Fin ) ) |
22 |
20 21
|
syl |
|- ( x e. T -> ( dom ( x \ _I ) e. Fin <-> 2o e. Fin ) ) |
23 |
22
|
adantl |
|- ( ( D e. V /\ x e. T ) -> ( dom ( x \ _I ) e. Fin <-> 2o e. Fin ) ) |
24 |
17 23
|
mpbiri |
|- ( ( D e. V /\ x e. T ) -> dom ( x \ _I ) e. Fin ) |
25 |
14 24
|
ssrabdv |
|- ( D e. V -> T C_ { x e. B | dom ( x \ _I ) e. Fin } ) |
26 |
2 3
|
symgfisg |
|- ( D e. V -> { x e. B | dom ( x \ _I ) e. Fin } e. ( SubGrp ` G ) ) |
27 |
|
subgsubm |
|- ( { x e. B | dom ( x \ _I ) e. Fin } e. ( SubGrp ` G ) -> { x e. B | dom ( x \ _I ) e. Fin } e. ( SubMnd ` G ) ) |
28 |
26 27
|
syl |
|- ( D e. V -> { x e. B | dom ( x \ _I ) e. Fin } e. ( SubMnd ` G ) ) |
29 |
4
|
mrcsscl |
|- ( ( ( SubMnd ` G ) e. ( Moore ` B ) /\ T C_ { x e. B | dom ( x \ _I ) e. Fin } /\ { x e. B | dom ( x \ _I ) e. Fin } e. ( SubMnd ` G ) ) -> ( K ` T ) C_ { x e. B | dom ( x \ _I ) e. Fin } ) |
30 |
12 25 28 29
|
syl3anc |
|- ( D e. V -> ( K ` T ) C_ { x e. B | dom ( x \ _I ) e. Fin } ) |
31 |
|
vex |
|- x e. _V |
32 |
31
|
a1i |
|- ( dom ( x \ _I ) e. Fin -> x e. _V ) |
33 |
|
finnum |
|- ( dom ( x \ _I ) e. Fin -> dom ( x \ _I ) e. dom card ) |
34 |
|
domfi |
|- ( ( dom ( x \ _I ) e. Fin /\ dom ( y \ _I ) ~<_ dom ( x \ _I ) ) -> dom ( y \ _I ) e. Fin ) |
35 |
2 3
|
symgbasf1o |
|- ( y e. B -> y : D -1-1-onto-> D ) |
36 |
35
|
adantl |
|- ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) -> y : D -1-1-onto-> D ) |
37 |
|
f1ofn |
|- ( y : D -1-1-onto-> D -> y Fn D ) |
38 |
|
fnnfpeq0 |
|- ( y Fn D -> ( dom ( y \ _I ) = (/) <-> y = ( _I |` D ) ) ) |
39 |
36 37 38
|
3syl |
|- ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) -> ( dom ( y \ _I ) = (/) <-> y = ( _I |` D ) ) ) |
40 |
2 3
|
elbasfv |
|- ( y e. B -> D e. _V ) |
41 |
40
|
adantl |
|- ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) -> D e. _V ) |
42 |
2
|
symgid |
|- ( D e. _V -> ( _I |` D ) = ( 0g ` G ) ) |
43 |
41 42
|
syl |
|- ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) -> ( _I |` D ) = ( 0g ` G ) ) |
44 |
41 11
|
syl |
|- ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) -> ( SubMnd ` G ) e. ( Moore ` B ) ) |
45 |
4
|
mrccl |
|- ( ( ( SubMnd ` G ) e. ( Moore ` B ) /\ T C_ B ) -> ( K ` T ) e. ( SubMnd ` G ) ) |
46 |
44 13 45
|
sylancl |
|- ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) -> ( K ` T ) e. ( SubMnd ` G ) ) |
47 |
|
eqid |
|- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G ) |
48 |
47
|
subm0cl |
|- ( ( K ` T ) e. ( SubMnd ` G ) -> ( 0g ` G ) e. ( K ` T ) ) |
49 |
46 48
|
syl |
|- ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) -> ( 0g ` G ) e. ( K ` T ) ) |
50 |
43 49
|
eqeltrd |
|- ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) -> ( _I |` D ) e. ( K ` T ) ) |
51 |
|
eleq1a |
|- ( ( _I |` D ) e. ( K ` T ) -> ( y = ( _I |` D ) -> y e. ( K ` T ) ) ) |
52 |
50 51
|
syl |
|- ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) -> ( y = ( _I |` D ) -> y e. ( K ` T ) ) ) |
53 |
39 52
|
sylbid |
|- ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) -> ( dom ( y \ _I ) = (/) -> y e. ( K ` T ) ) ) |
54 |
53
|
adantr |
|- ( ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) /\ A. z ( dom ( z \ _I ) ~< dom ( y \ _I ) -> ( z e. B -> z e. ( K ` T ) ) ) ) -> ( dom ( y \ _I ) = (/) -> y e. ( K ` T ) ) ) |
55 |
|
n0 |
|- ( dom ( y \ _I ) =/= (/) <-> E. u u e. dom ( y \ _I ) ) |
56 |
41
|
adantr |
|- ( ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) /\ u e. dom ( y \ _I ) ) -> D e. _V ) |
57 |
|
simpr |
|- ( ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) /\ u e. dom ( y \ _I ) ) -> u e. dom ( y \ _I ) ) |
58 |
|
f1omvdmvd |
|- ( ( y : D -1-1-onto-> D /\ u e. dom ( y \ _I ) ) -> ( y ` u ) e. ( dom ( y \ _I ) \ { u } ) ) |
59 |
36 58
|
sylan |
|- ( ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) /\ u e. dom ( y \ _I ) ) -> ( y ` u ) e. ( dom ( y \ _I ) \ { u } ) ) |
60 |
59
|
eldifad |
|- ( ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) /\ u e. dom ( y \ _I ) ) -> ( y ` u ) e. dom ( y \ _I ) ) |
61 |
57 60
|
prssd |
|- ( ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) /\ u e. dom ( y \ _I ) ) -> { u , ( y ` u ) } C_ dom ( y \ _I ) ) |
62 |
|
difss |
|- ( y \ _I ) C_ y |
63 |
|
dmss |
|- ( ( y \ _I ) C_ y -> dom ( y \ _I ) C_ dom y ) |
64 |
62 63
|
ax-mp |
|- dom ( y \ _I ) C_ dom y |
65 |
|
f1odm |
|- ( y : D -1-1-onto-> D -> dom y = D ) |
66 |
36 65
|
syl |
|- ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) -> dom y = D ) |
67 |
64 66
|
sseqtrid |
|- ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) -> dom ( y \ _I ) C_ D ) |
68 |
67
|
adantr |
|- ( ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) /\ u e. dom ( y \ _I ) ) -> dom ( y \ _I ) C_ D ) |
69 |
61 68
|
sstrd |
|- ( ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) /\ u e. dom ( y \ _I ) ) -> { u , ( y ` u ) } C_ D ) |
70 |
|
vex |
|- u e. _V |
71 |
|
fvex |
|- ( y ` u ) e. _V |
72 |
36
|
adantr |
|- ( ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) /\ u e. dom ( y \ _I ) ) -> y : D -1-1-onto-> D ) |
73 |
72 37
|
syl |
|- ( ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) /\ u e. dom ( y \ _I ) ) -> y Fn D ) |
74 |
67
|
sselda |
|- ( ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) /\ u e. dom ( y \ _I ) ) -> u e. D ) |
75 |
|
fnelnfp |
|- ( ( y Fn D /\ u e. D ) -> ( u e. dom ( y \ _I ) <-> ( y ` u ) =/= u ) ) |
76 |
73 74 75
|
syl2anc |
|- ( ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) /\ u e. dom ( y \ _I ) ) -> ( u e. dom ( y \ _I ) <-> ( y ` u ) =/= u ) ) |
77 |
57 76
|
mpbid |
|- ( ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) /\ u e. dom ( y \ _I ) ) -> ( y ` u ) =/= u ) |
78 |
77
|
necomd |
|- ( ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) /\ u e. dom ( y \ _I ) ) -> u =/= ( y ` u ) ) |
79 |
|
pr2nelem |
|- ( ( u e. _V /\ ( y ` u ) e. _V /\ u =/= ( y ` u ) ) -> { u , ( y ` u ) } ~~ 2o ) |
80 |
70 71 78 79
|
mp3an12i |
|- ( ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) /\ u e. dom ( y \ _I ) ) -> { u , ( y ` u ) } ~~ 2o ) |
81 |
18 1
|
pmtrrn |
|- ( ( D e. _V /\ { u , ( y ` u ) } C_ D /\ { u , ( y ` u ) } ~~ 2o ) -> ( ( pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) e. T ) |
82 |
56 69 80 81
|
syl3anc |
|- ( ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) /\ u e. dom ( y \ _I ) ) -> ( ( pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) e. T ) |
83 |
13 82
|
sseldi |
|- ( ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) /\ u e. dom ( y \ _I ) ) -> ( ( pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) e. B ) |
84 |
|
simplr |
|- ( ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) /\ u e. dom ( y \ _I ) ) -> y e. B ) |
85 |
|
eqid |
|- ( +g ` G ) = ( +g ` G ) |
86 |
2 3 85
|
symgov |
|- ( ( ( ( pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) e. B /\ y e. B ) -> ( ( ( pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) ( +g ` G ) y ) = ( ( ( pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) o. y ) ) |
87 |
83 84 86
|
syl2anc |
|- ( ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) /\ u e. dom ( y \ _I ) ) -> ( ( ( pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) ( +g ` G ) y ) = ( ( ( pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) o. y ) ) |
88 |
87
|
oveq2d |
|- ( ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) /\ u e. dom ( y \ _I ) ) -> ( ( ( pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) ( +g ` G ) ( ( ( pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) ( +g ` G ) y ) ) = ( ( ( pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) ( +g ` G ) ( ( ( pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) o. y ) ) ) |
89 |
41 6
|
syl |
|- ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) -> G e. Grp ) |
90 |
89
|
adantr |
|- ( ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) /\ u e. dom ( y \ _I ) ) -> G e. Grp ) |
91 |
3 85
|
grpcl |
|- ( ( G e. Grp /\ ( ( pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) e. B /\ y e. B ) -> ( ( ( pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) ( +g ` G ) y ) e. B ) |
92 |
90 83 84 91
|
syl3anc |
|- ( ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) /\ u e. dom ( y \ _I ) ) -> ( ( ( pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) ( +g ` G ) y ) e. B ) |
93 |
87 92
|
eqeltrrd |
|- ( ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) /\ u e. dom ( y \ _I ) ) -> ( ( ( pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) o. y ) e. B ) |
94 |
2 3 85
|
symgov |
|- ( ( ( ( pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) e. B /\ ( ( ( pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) o. y ) e. B ) -> ( ( ( pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) ( +g ` G ) ( ( ( pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) o. y ) ) = ( ( ( pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) o. ( ( ( pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) o. y ) ) ) |
95 |
83 93 94
|
syl2anc |
|- ( ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) /\ u e. dom ( y \ _I ) ) -> ( ( ( pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) ( +g ` G ) ( ( ( pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) o. y ) ) = ( ( ( pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) o. ( ( ( pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) o. y ) ) ) |
96 |
|
coass |
|- ( ( ( ( pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) o. ( ( pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) ) o. y ) = ( ( ( pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) o. ( ( ( pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) o. y ) ) |
97 |
18 1
|
pmtrfinv |
|- ( ( ( pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) e. T -> ( ( ( pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) o. ( ( pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) ) = ( _I |` D ) ) |
98 |
82 97
|
syl |
|- ( ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) /\ u e. dom ( y \ _I ) ) -> ( ( ( pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) o. ( ( pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) ) = ( _I |` D ) ) |
99 |
98
|
coeq1d |
|- ( ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) /\ u e. dom ( y \ _I ) ) -> ( ( ( ( pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) o. ( ( pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) ) o. y ) = ( ( _I |` D ) o. y ) ) |
100 |
|
f1of |
|- ( y : D -1-1-onto-> D -> y : D --> D ) |
101 |
|
fcoi2 |
|- ( y : D --> D -> ( ( _I |` D ) o. y ) = y ) |
102 |
72 100 101
|
3syl |
|- ( ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) /\ u e. dom ( y \ _I ) ) -> ( ( _I |` D ) o. y ) = y ) |
103 |
99 102
|
eqtrd |
|- ( ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) /\ u e. dom ( y \ _I ) ) -> ( ( ( ( pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) o. ( ( pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) ) o. y ) = y ) |
104 |
96 103
|
eqtr3id |
|- ( ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) /\ u e. dom ( y \ _I ) ) -> ( ( ( pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) o. ( ( ( pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) o. y ) ) = y ) |
105 |
88 95 104
|
3eqtrd |
|- ( ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) /\ u e. dom ( y \ _I ) ) -> ( ( ( pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) ( +g ` G ) ( ( ( pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) ( +g ` G ) y ) ) = y ) |
106 |
105
|
adantlr |
|- ( ( ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) /\ A. z ( dom ( z \ _I ) ~< dom ( y \ _I ) -> ( z e. B -> z e. ( K ` T ) ) ) ) /\ u e. dom ( y \ _I ) ) -> ( ( ( pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) ( +g ` G ) ( ( ( pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) ( +g ` G ) y ) ) = y ) |
107 |
46
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) /\ A. z ( dom ( z \ _I ) ~< dom ( y \ _I ) -> ( z e. B -> z e. ( K ` T ) ) ) ) /\ u e. dom ( y \ _I ) ) -> ( K ` T ) e. ( SubMnd ` G ) ) |
108 |
4
|
mrcssid |
|- ( ( ( SubMnd ` G ) e. ( Moore ` B ) /\ T C_ B ) -> T C_ ( K ` T ) ) |
109 |
44 13 108
|
sylancl |
|- ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) -> T C_ ( K ` T ) ) |
110 |
109
|
adantr |
|- ( ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) /\ u e. dom ( y \ _I ) ) -> T C_ ( K ` T ) ) |
111 |
110 82
|
sseldd |
|- ( ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) /\ u e. dom ( y \ _I ) ) -> ( ( pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) e. ( K ` T ) ) |
112 |
111
|
adantlr |
|- ( ( ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) /\ A. z ( dom ( z \ _I ) ~< dom ( y \ _I ) -> ( z e. B -> z e. ( K ` T ) ) ) ) /\ u e. dom ( y \ _I ) ) -> ( ( pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) e. ( K ` T ) ) |
113 |
87
|
difeq1d |
|- ( ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) /\ u e. dom ( y \ _I ) ) -> ( ( ( ( pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) ( +g ` G ) y ) \ _I ) = ( ( ( ( pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) o. y ) \ _I ) ) |
114 |
113
|
dmeqd |
|- ( ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) /\ u e. dom ( y \ _I ) ) -> dom ( ( ( ( pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) ( +g ` G ) y ) \ _I ) = dom ( ( ( ( pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) o. y ) \ _I ) ) |
115 |
|
simpll |
|- ( ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) /\ u e. dom ( y \ _I ) ) -> dom ( y \ _I ) e. Fin ) |
116 |
|
mvdco |
|- dom ( ( ( ( pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) o. y ) \ _I ) C_ ( dom ( ( ( pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) \ _I ) u. dom ( y \ _I ) ) |
117 |
18
|
pmtrmvd |
|- ( ( D e. _V /\ { u , ( y ` u ) } C_ D /\ { u , ( y ` u ) } ~~ 2o ) -> dom ( ( ( pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) \ _I ) = { u , ( y ` u ) } ) |
118 |
56 69 80 117
|
syl3anc |
|- ( ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) /\ u e. dom ( y \ _I ) ) -> dom ( ( ( pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) \ _I ) = { u , ( y ` u ) } ) |
119 |
118 61
|
eqsstrd |
|- ( ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) /\ u e. dom ( y \ _I ) ) -> dom ( ( ( pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) \ _I ) C_ dom ( y \ _I ) ) |
120 |
|
ssidd |
|- ( ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) /\ u e. dom ( y \ _I ) ) -> dom ( y \ _I ) C_ dom ( y \ _I ) ) |
121 |
119 120
|
unssd |
|- ( ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) /\ u e. dom ( y \ _I ) ) -> ( dom ( ( ( pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) \ _I ) u. dom ( y \ _I ) ) C_ dom ( y \ _I ) ) |
122 |
116 121
|
sstrid |
|- ( ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) /\ u e. dom ( y \ _I ) ) -> dom ( ( ( ( pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) o. y ) \ _I ) C_ dom ( y \ _I ) ) |
123 |
|
fvco2 |
|- ( ( y Fn D /\ u e. D ) -> ( ( ( ( pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) o. y ) ` u ) = ( ( ( pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) ` ( y ` u ) ) ) |
124 |
73 74 123
|
syl2anc |
|- ( ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) /\ u e. dom ( y \ _I ) ) -> ( ( ( ( pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) o. y ) ` u ) = ( ( ( pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) ` ( y ` u ) ) ) |
125 |
|
prcom |
|- { u , ( y ` u ) } = { ( y ` u ) , u } |
126 |
125
|
fveq2i |
|- ( ( pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) = ( ( pmTrsp ` D ) ` { ( y ` u ) , u } ) |
127 |
126
|
fveq1i |
|- ( ( ( pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) ` ( y ` u ) ) = ( ( ( pmTrsp ` D ) ` { ( y ` u ) , u } ) ` ( y ` u ) ) |
128 |
68 60
|
sseldd |
|- ( ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) /\ u e. dom ( y \ _I ) ) -> ( y ` u ) e. D ) |
129 |
18
|
pmtrprfv |
|- ( ( D e. _V /\ ( ( y ` u ) e. D /\ u e. D /\ ( y ` u ) =/= u ) ) -> ( ( ( pmTrsp ` D ) ` { ( y ` u ) , u } ) ` ( y ` u ) ) = u ) |
130 |
56 128 74 77 129
|
syl13anc |
|- ( ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) /\ u e. dom ( y \ _I ) ) -> ( ( ( pmTrsp ` D ) ` { ( y ` u ) , u } ) ` ( y ` u ) ) = u ) |
131 |
127 130
|
syl5eq |
|- ( ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) /\ u e. dom ( y \ _I ) ) -> ( ( ( pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) ` ( y ` u ) ) = u ) |
132 |
124 131
|
eqtrd |
|- ( ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) /\ u e. dom ( y \ _I ) ) -> ( ( ( ( pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) o. y ) ` u ) = u ) |
133 |
2 3
|
symgbasf1o |
|- ( ( ( ( pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) o. y ) e. B -> ( ( ( pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) o. y ) : D -1-1-onto-> D ) |
134 |
|
f1ofn |
|- ( ( ( ( pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) o. y ) : D -1-1-onto-> D -> ( ( ( pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) o. y ) Fn D ) |
135 |
93 133 134
|
3syl |
|- ( ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) /\ u e. dom ( y \ _I ) ) -> ( ( ( pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) o. y ) Fn D ) |
136 |
|
fnelnfp |
|- ( ( ( ( ( pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) o. y ) Fn D /\ u e. D ) -> ( u e. dom ( ( ( ( pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) o. y ) \ _I ) <-> ( ( ( ( pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) o. y ) ` u ) =/= u ) ) |
137 |
136
|
necon2bbid |
|- ( ( ( ( ( pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) o. y ) Fn D /\ u e. D ) -> ( ( ( ( ( pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) o. y ) ` u ) = u <-> -. u e. dom ( ( ( ( pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) o. y ) \ _I ) ) ) |
138 |
135 74 137
|
syl2anc |
|- ( ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) /\ u e. dom ( y \ _I ) ) -> ( ( ( ( ( pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) o. y ) ` u ) = u <-> -. u e. dom ( ( ( ( pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) o. y ) \ _I ) ) ) |
139 |
132 138
|
mpbid |
|- ( ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) /\ u e. dom ( y \ _I ) ) -> -. u e. dom ( ( ( ( pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) o. y ) \ _I ) ) |
140 |
122 57 139
|
ssnelpssd |
|- ( ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) /\ u e. dom ( y \ _I ) ) -> dom ( ( ( ( pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) o. y ) \ _I ) C. dom ( y \ _I ) ) |
141 |
|
php3 |
|- ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ dom ( ( ( ( pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) o. y ) \ _I ) C. dom ( y \ _I ) ) -> dom ( ( ( ( pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) o. y ) \ _I ) ~< dom ( y \ _I ) ) |
142 |
115 140 141
|
syl2anc |
|- ( ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) /\ u e. dom ( y \ _I ) ) -> dom ( ( ( ( pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) o. y ) \ _I ) ~< dom ( y \ _I ) ) |
143 |
114 142
|
eqbrtrd |
|- ( ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) /\ u e. dom ( y \ _I ) ) -> dom ( ( ( ( pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) ( +g ` G ) y ) \ _I ) ~< dom ( y \ _I ) ) |
144 |
143
|
adantlr |
|- ( ( ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) /\ A. z ( dom ( z \ _I ) ~< dom ( y \ _I ) -> ( z e. B -> z e. ( K ` T ) ) ) ) /\ u e. dom ( y \ _I ) ) -> dom ( ( ( ( pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) ( +g ` G ) y ) \ _I ) ~< dom ( y \ _I ) ) |
145 |
92
|
adantlr |
|- ( ( ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) /\ A. z ( dom ( z \ _I ) ~< dom ( y \ _I ) -> ( z e. B -> z e. ( K ` T ) ) ) ) /\ u e. dom ( y \ _I ) ) -> ( ( ( pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) ( +g ` G ) y ) e. B ) |
146 |
|
ovex |
|- ( ( ( pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) ( +g ` G ) y ) e. _V |
147 |
|
difeq1 |
|- ( z = ( ( ( pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) ( +g ` G ) y ) -> ( z \ _I ) = ( ( ( ( pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) ( +g ` G ) y ) \ _I ) ) |
148 |
147
|
dmeqd |
|- ( z = ( ( ( pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) ( +g ` G ) y ) -> dom ( z \ _I ) = dom ( ( ( ( pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) ( +g ` G ) y ) \ _I ) ) |
149 |
148
|
breq1d |
|- ( z = ( ( ( pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) ( +g ` G ) y ) -> ( dom ( z \ _I ) ~< dom ( y \ _I ) <-> dom ( ( ( ( pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) ( +g ` G ) y ) \ _I ) ~< dom ( y \ _I ) ) ) |
150 |
|
eleq1 |
|- ( z = ( ( ( pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) ( +g ` G ) y ) -> ( z e. B <-> ( ( ( pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) ( +g ` G ) y ) e. B ) ) |
151 |
|
eleq1 |
|- ( z = ( ( ( pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) ( +g ` G ) y ) -> ( z e. ( K ` T ) <-> ( ( ( pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) ( +g ` G ) y ) e. ( K ` T ) ) ) |
152 |
150 151
|
imbi12d |
|- ( z = ( ( ( pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) ( +g ` G ) y ) -> ( ( z e. B -> z e. ( K ` T ) ) <-> ( ( ( ( pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) ( +g ` G ) y ) e. B -> ( ( ( pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) ( +g ` G ) y ) e. ( K ` T ) ) ) ) |
153 |
149 152
|
imbi12d |
|- ( z = ( ( ( pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) ( +g ` G ) y ) -> ( ( dom ( z \ _I ) ~< dom ( y \ _I ) -> ( z e. B -> z e. ( K ` T ) ) ) <-> ( dom ( ( ( ( pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) ( +g ` G ) y ) \ _I ) ~< dom ( y \ _I ) -> ( ( ( ( pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) ( +g ` G ) y ) e. B -> ( ( ( pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) ( +g ` G ) y ) e. ( K ` T ) ) ) ) ) |
154 |
146 153
|
spcv |
|- ( A. z ( dom ( z \ _I ) ~< dom ( y \ _I ) -> ( z e. B -> z e. ( K ` T ) ) ) -> ( dom ( ( ( ( pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) ( +g ` G ) y ) \ _I ) ~< dom ( y \ _I ) -> ( ( ( ( pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) ( +g ` G ) y ) e. B -> ( ( ( pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) ( +g ` G ) y ) e. ( K ` T ) ) ) ) |
155 |
154
|
ad2antlr |
|- ( ( ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) /\ A. z ( dom ( z \ _I ) ~< dom ( y \ _I ) -> ( z e. B -> z e. ( K ` T ) ) ) ) /\ u e. dom ( y \ _I ) ) -> ( dom ( ( ( ( pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) ( +g ` G ) y ) \ _I ) ~< dom ( y \ _I ) -> ( ( ( ( pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) ( +g ` G ) y ) e. B -> ( ( ( pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) ( +g ` G ) y ) e. ( K ` T ) ) ) ) |
156 |
144 145 155
|
mp2d |
|- ( ( ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) /\ A. z ( dom ( z \ _I ) ~< dom ( y \ _I ) -> ( z e. B -> z e. ( K ` T ) ) ) ) /\ u e. dom ( y \ _I ) ) -> ( ( ( pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) ( +g ` G ) y ) e. ( K ` T ) ) |
157 |
85
|
submcl |
|- ( ( ( K ` T ) e. ( SubMnd ` G ) /\ ( ( pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) e. ( K ` T ) /\ ( ( ( pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) ( +g ` G ) y ) e. ( K ` T ) ) -> ( ( ( pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) ( +g ` G ) ( ( ( pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) ( +g ` G ) y ) ) e. ( K ` T ) ) |
158 |
107 112 156 157
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) /\ A. z ( dom ( z \ _I ) ~< dom ( y \ _I ) -> ( z e. B -> z e. ( K ` T ) ) ) ) /\ u e. dom ( y \ _I ) ) -> ( ( ( pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) ( +g ` G ) ( ( ( pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) ( +g ` G ) y ) ) e. ( K ` T ) ) |
159 |
106 158
|
eqeltrrd |
|- ( ( ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) /\ A. z ( dom ( z \ _I ) ~< dom ( y \ _I ) -> ( z e. B -> z e. ( K ` T ) ) ) ) /\ u e. dom ( y \ _I ) ) -> y e. ( K ` T ) ) |
160 |
159
|
ex |
|- ( ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) /\ A. z ( dom ( z \ _I ) ~< dom ( y \ _I ) -> ( z e. B -> z e. ( K ` T ) ) ) ) -> ( u e. dom ( y \ _I ) -> y e. ( K ` T ) ) ) |
161 |
160
|
exlimdv |
|- ( ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) /\ A. z ( dom ( z \ _I ) ~< dom ( y \ _I ) -> ( z e. B -> z e. ( K ` T ) ) ) ) -> ( E. u u e. dom ( y \ _I ) -> y e. ( K ` T ) ) ) |
162 |
55 161
|
syl5bi |
|- ( ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) /\ A. z ( dom ( z \ _I ) ~< dom ( y \ _I ) -> ( z e. B -> z e. ( K ` T ) ) ) ) -> ( dom ( y \ _I ) =/= (/) -> y e. ( K ` T ) ) ) |
163 |
54 162
|
pm2.61dne |
|- ( ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) /\ A. z ( dom ( z \ _I ) ~< dom ( y \ _I ) -> ( z e. B -> z e. ( K ` T ) ) ) ) -> y e. ( K ` T ) ) |
164 |
163
|
exp31 |
|- ( dom ( y \ _I ) e. Fin -> ( y e. B -> ( A. z ( dom ( z \ _I ) ~< dom ( y \ _I ) -> ( z e. B -> z e. ( K ` T ) ) ) -> y e. ( K ` T ) ) ) ) |
165 |
164
|
com23 |
|- ( dom ( y \ _I ) e. Fin -> ( A. z ( dom ( z \ _I ) ~< dom ( y \ _I ) -> ( z e. B -> z e. ( K ` T ) ) ) -> ( y e. B -> y e. ( K ` T ) ) ) ) |
166 |
34 165
|
syl |
|- ( ( dom ( x \ _I ) e. Fin /\ dom ( y \ _I ) ~<_ dom ( x \ _I ) ) -> ( A. z ( dom ( z \ _I ) ~< dom ( y \ _I ) -> ( z e. B -> z e. ( K ` T ) ) ) -> ( y e. B -> y e. ( K ` T ) ) ) ) |
167 |
166
|
3impia |
|- ( ( dom ( x \ _I ) e. Fin /\ dom ( y \ _I ) ~<_ dom ( x \ _I ) /\ A. z ( dom ( z \ _I ) ~< dom ( y \ _I ) -> ( z e. B -> z e. ( K ` T ) ) ) ) -> ( y e. B -> y e. ( K ` T ) ) ) |
168 |
|
eleq1w |
|- ( y = z -> ( y e. B <-> z e. B ) ) |
169 |
|
eleq1w |
|- ( y = z -> ( y e. ( K ` T ) <-> z e. ( K ` T ) ) ) |
170 |
168 169
|
imbi12d |
|- ( y = z -> ( ( y e. B -> y e. ( K ` T ) ) <-> ( z e. B -> z e. ( K ` T ) ) ) ) |
171 |
|
eleq1w |
|- ( y = x -> ( y e. B <-> x e. B ) ) |
172 |
|
eleq1w |
|- ( y = x -> ( y e. ( K ` T ) <-> x e. ( K ` T ) ) ) |
173 |
171 172
|
imbi12d |
|- ( y = x -> ( ( y e. B -> y e. ( K ` T ) ) <-> ( x e. B -> x e. ( K ` T ) ) ) ) |
174 |
|
difeq1 |
|- ( y = z -> ( y \ _I ) = ( z \ _I ) ) |
175 |
174
|
dmeqd |
|- ( y = z -> dom ( y \ _I ) = dom ( z \ _I ) ) |
176 |
|
difeq1 |
|- ( y = x -> ( y \ _I ) = ( x \ _I ) ) |
177 |
176
|
dmeqd |
|- ( y = x -> dom ( y \ _I ) = dom ( x \ _I ) ) |
178 |
32 33 167 170 173 175 177
|
indcardi |
|- ( dom ( x \ _I ) e. Fin -> ( x e. B -> x e. ( K ` T ) ) ) |
179 |
178
|
impcom |
|- ( ( x e. B /\ dom ( x \ _I ) e. Fin ) -> x e. ( K ` T ) ) |
180 |
179
|
3adant1 |
|- ( ( D e. V /\ x e. B /\ dom ( x \ _I ) e. Fin ) -> x e. ( K ` T ) ) |
181 |
180
|
rabssdv |
|- ( D e. V -> { x e. B | dom ( x \ _I ) e. Fin } C_ ( K ` T ) ) |
182 |
30 181
|
eqssd |
|- ( D e. V -> ( K ` T ) = { x e. B | dom ( x \ _I ) e. Fin } ) |