Theorem t1ficld

Description: In a T_1 space, finite sets are closed. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016)

	Ref	Expression
Hypothesis	ist0.1	|- X = U. J
Assertion	t1ficld	|- ( ( J e. Fre /\ A C_ X /\ A e. Fin ) -> A e. ( Clsd ` J ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ist0.1	|- X = U. J
2		iunid	|- U_ x e. A { x } = A
3	1	ist1	|- ( J e. Fre <-> ( J e. Top /\ A. x e. X { x } e. ( Clsd ` J ) ) )
4	3	simplbi	|- ( J e. Fre -> J e. Top )
5	4	3ad2ant1	|- ( ( J e. Fre /\ A C_ X /\ A e. Fin ) -> J e. Top )
6		simp3	|- ( ( J e. Fre /\ A C_ X /\ A e. Fin ) -> A e. Fin )
7	3	simprbi	|- ( J e. Fre -> A. x e. X { x } e. ( Clsd ` J ) )
8		ssralv	|- ( A C_ X -> ( A. x e. X { x } e. ( Clsd ` J ) -> A. x e. A { x } e. ( Clsd ` J ) ) )
9	7 8	mpan9	|- ( ( J e. Fre /\ A C_ X ) -> A. x e. A { x } e. ( Clsd ` J ) )
10	9	3adant3	|- ( ( J e. Fre /\ A C_ X /\ A e. Fin ) -> A. x e. A { x } e. ( Clsd ` J ) )
11	1	iuncld	|- ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A { x } e. ( Clsd ` J ) ) -> U_ x e. A { x } e. ( Clsd ` J ) )
12	5 6 10 11	syl3anc	|- ( ( J e. Fre /\ A C_ X /\ A e. Fin ) -> U_ x e. A { x } e. ( Clsd ` J ) )
13	2 12	eqeltrrid	|- ( ( J e. Fre /\ A C_ X /\ A e. Fin ) -> A e. ( Clsd ` J ) )