Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
telgsumfzs.b |
|- B = ( Base ` G ) |
2 |
|
telgsumfzs.g |
|- ( ph -> G e. Abel ) |
3 |
|
telgsumfzs.m |
|- .- = ( -g ` G ) |
4 |
|
eqid |
|- ( +g ` G ) = ( +g ` G ) |
5 |
2
|
adantr |
|- ( ( ph /\ A. k e. ( M ... ( ( y + 1 ) + 1 ) ) C e. B ) -> G e. Abel ) |
6 |
|
ablcmn |
|- ( G e. Abel -> G e. CMnd ) |
7 |
5 6
|
syl |
|- ( ( ph /\ A. k e. ( M ... ( ( y + 1 ) + 1 ) ) C e. B ) -> G e. CMnd ) |
8 |
7
|
adantl |
|- ( ( y e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ph /\ A. k e. ( M ... ( ( y + 1 ) + 1 ) ) C e. B ) ) -> G e. CMnd ) |
9 |
|
fzfid |
|- ( ( y e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ph /\ A. k e. ( M ... ( ( y + 1 ) + 1 ) ) C e. B ) ) -> ( M ... ( y + 1 ) ) e. Fin ) |
10 |
|
ablgrp |
|- ( G e. Abel -> G e. Grp ) |
11 |
2 10
|
syl |
|- ( ph -> G e. Grp ) |
12 |
11
|
ad2antrl |
|- ( ( y e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ph /\ A. k e. ( M ... ( ( y + 1 ) + 1 ) ) C e. B ) ) -> G e. Grp ) |
13 |
12
|
adantr |
|- ( ( ( y e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ph /\ A. k e. ( M ... ( ( y + 1 ) + 1 ) ) C e. B ) ) /\ i e. ( M ... ( y + 1 ) ) ) -> G e. Grp ) |
14 |
|
fzelp1 |
|- ( i e. ( M ... ( y + 1 ) ) -> i e. ( M ... ( ( y + 1 ) + 1 ) ) ) |
15 |
|
simpr |
|- ( ( ph /\ A. k e. ( M ... ( ( y + 1 ) + 1 ) ) C e. B ) -> A. k e. ( M ... ( ( y + 1 ) + 1 ) ) C e. B ) |
16 |
15
|
adantl |
|- ( ( y e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ph /\ A. k e. ( M ... ( ( y + 1 ) + 1 ) ) C e. B ) ) -> A. k e. ( M ... ( ( y + 1 ) + 1 ) ) C e. B ) |
17 |
|
rspcsbela |
|- ( ( i e. ( M ... ( ( y + 1 ) + 1 ) ) /\ A. k e. ( M ... ( ( y + 1 ) + 1 ) ) C e. B ) -> [_ i / k ]_ C e. B ) |
18 |
14 16 17
|
syl2anr |
|- ( ( ( y e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ph /\ A. k e. ( M ... ( ( y + 1 ) + 1 ) ) C e. B ) ) /\ i e. ( M ... ( y + 1 ) ) ) -> [_ i / k ]_ C e. B ) |
19 |
|
fzp1elp1 |
|- ( i e. ( M ... ( y + 1 ) ) -> ( i + 1 ) e. ( M ... ( ( y + 1 ) + 1 ) ) ) |
20 |
|
rspcsbela |
|- ( ( ( i + 1 ) e. ( M ... ( ( y + 1 ) + 1 ) ) /\ A. k e. ( M ... ( ( y + 1 ) + 1 ) ) C e. B ) -> [_ ( i + 1 ) / k ]_ C e. B ) |
21 |
19 16 20
|
syl2anr |
|- ( ( ( y e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ph /\ A. k e. ( M ... ( ( y + 1 ) + 1 ) ) C e. B ) ) /\ i e. ( M ... ( y + 1 ) ) ) -> [_ ( i + 1 ) / k ]_ C e. B ) |
22 |
1 3
|
grpsubcl |
|- ( ( G e. Grp /\ [_ i / k ]_ C e. B /\ [_ ( i + 1 ) / k ]_ C e. B ) -> ( [_ i / k ]_ C .- [_ ( i + 1 ) / k ]_ C ) e. B ) |
23 |
13 18 21 22
|
syl3anc |
|- ( ( ( y e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ph /\ A. k e. ( M ... ( ( y + 1 ) + 1 ) ) C e. B ) ) /\ i e. ( M ... ( y + 1 ) ) ) -> ( [_ i / k ]_ C .- [_ ( i + 1 ) / k ]_ C ) e. B ) |
24 |
|
fzp1disj |
|- ( ( M ... y ) i^i { ( y + 1 ) } ) = (/) |
25 |
24
|
a1i |
|- ( ( y e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ph /\ A. k e. ( M ... ( ( y + 1 ) + 1 ) ) C e. B ) ) -> ( ( M ... y ) i^i { ( y + 1 ) } ) = (/) ) |
26 |
|
fzsuc |
|- ( y e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M ... ( y + 1 ) ) = ( ( M ... y ) u. { ( y + 1 ) } ) ) |
27 |
26
|
adantr |
|- ( ( y e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ph /\ A. k e. ( M ... ( ( y + 1 ) + 1 ) ) C e. B ) ) -> ( M ... ( y + 1 ) ) = ( ( M ... y ) u. { ( y + 1 ) } ) ) |
28 |
1 4 8 9 23 25 27
|
gsummptfidmsplit |
|- ( ( y e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ph /\ A. k e. ( M ... ( ( y + 1 ) + 1 ) ) C e. B ) ) -> ( G gsum ( i e. ( M ... ( y + 1 ) ) |-> ( [_ i / k ]_ C .- [_ ( i + 1 ) / k ]_ C ) ) ) = ( ( G gsum ( i e. ( M ... y ) |-> ( [_ i / k ]_ C .- [_ ( i + 1 ) / k ]_ C ) ) ) ( +g ` G ) ( G gsum ( i e. { ( y + 1 ) } |-> ( [_ i / k ]_ C .- [_ ( i + 1 ) / k ]_ C ) ) ) ) ) |
29 |
28
|
adantr |
|- ( ( ( y e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ph /\ A. k e. ( M ... ( ( y + 1 ) + 1 ) ) C e. B ) ) /\ ( G gsum ( i e. ( M ... y ) |-> ( [_ i / k ]_ C .- [_ ( i + 1 ) / k ]_ C ) ) ) = ( [_ M / k ]_ C .- [_ ( y + 1 ) / k ]_ C ) ) -> ( G gsum ( i e. ( M ... ( y + 1 ) ) |-> ( [_ i / k ]_ C .- [_ ( i + 1 ) / k ]_ C ) ) ) = ( ( G gsum ( i e. ( M ... y ) |-> ( [_ i / k ]_ C .- [_ ( i + 1 ) / k ]_ C ) ) ) ( +g ` G ) ( G gsum ( i e. { ( y + 1 ) } |-> ( [_ i / k ]_ C .- [_ ( i + 1 ) / k ]_ C ) ) ) ) ) |
30 |
|
simpr |
|- ( ( ( y e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ph /\ A. k e. ( M ... ( ( y + 1 ) + 1 ) ) C e. B ) ) /\ ( G gsum ( i e. ( M ... y ) |-> ( [_ i / k ]_ C .- [_ ( i + 1 ) / k ]_ C ) ) ) = ( [_ M / k ]_ C .- [_ ( y + 1 ) / k ]_ C ) ) -> ( G gsum ( i e. ( M ... y ) |-> ( [_ i / k ]_ C .- [_ ( i + 1 ) / k ]_ C ) ) ) = ( [_ M / k ]_ C .- [_ ( y + 1 ) / k ]_ C ) ) |
31 |
|
grpmnd |
|- ( G e. Grp -> G e. Mnd ) |
32 |
11 31
|
syl |
|- ( ph -> G e. Mnd ) |
33 |
32
|
ad2antrl |
|- ( ( y e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ph /\ A. k e. ( M ... ( ( y + 1 ) + 1 ) ) C e. B ) ) -> G e. Mnd ) |
34 |
|
ovexd |
|- ( ( y e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ph /\ A. k e. ( M ... ( ( y + 1 ) + 1 ) ) C e. B ) ) -> ( y + 1 ) e. _V ) |
35 |
|
peano2uz |
|- ( y e. ( ZZ>= ` M ) -> ( y + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) ) |
36 |
|
eluzfz2 |
|- ( ( y + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) -> ( y + 1 ) e. ( M ... ( y + 1 ) ) ) |
37 |
35 36
|
syl |
|- ( y e. ( ZZ>= ` M ) -> ( y + 1 ) e. ( M ... ( y + 1 ) ) ) |
38 |
|
fzelp1 |
|- ( ( y + 1 ) e. ( M ... ( y + 1 ) ) -> ( y + 1 ) e. ( M ... ( ( y + 1 ) + 1 ) ) ) |
39 |
37 38
|
syl |
|- ( y e. ( ZZ>= ` M ) -> ( y + 1 ) e. ( M ... ( ( y + 1 ) + 1 ) ) ) |
40 |
|
rspcsbela |
|- ( ( ( y + 1 ) e. ( M ... ( ( y + 1 ) + 1 ) ) /\ A. k e. ( M ... ( ( y + 1 ) + 1 ) ) C e. B ) -> [_ ( y + 1 ) / k ]_ C e. B ) |
41 |
39 15 40
|
syl2an |
|- ( ( y e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ph /\ A. k e. ( M ... ( ( y + 1 ) + 1 ) ) C e. B ) ) -> [_ ( y + 1 ) / k ]_ C e. B ) |
42 |
|
peano2uz |
|- ( ( y + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( y + 1 ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) ) |
43 |
35 42
|
syl |
|- ( y e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( y + 1 ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) ) |
44 |
|
eluzfz2 |
|- ( ( ( y + 1 ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( y + 1 ) + 1 ) e. ( M ... ( ( y + 1 ) + 1 ) ) ) |
45 |
43 44
|
syl |
|- ( y e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( y + 1 ) + 1 ) e. ( M ... ( ( y + 1 ) + 1 ) ) ) |
46 |
|
rspcsbela |
|- ( ( ( ( y + 1 ) + 1 ) e. ( M ... ( ( y + 1 ) + 1 ) ) /\ A. k e. ( M ... ( ( y + 1 ) + 1 ) ) C e. B ) -> [_ ( ( y + 1 ) + 1 ) / k ]_ C e. B ) |
47 |
45 15 46
|
syl2an |
|- ( ( y e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ph /\ A. k e. ( M ... ( ( y + 1 ) + 1 ) ) C e. B ) ) -> [_ ( ( y + 1 ) + 1 ) / k ]_ C e. B ) |
48 |
1 3
|
grpsubcl |
|- ( ( G e. Grp /\ [_ ( y + 1 ) / k ]_ C e. B /\ [_ ( ( y + 1 ) + 1 ) / k ]_ C e. B ) -> ( [_ ( y + 1 ) / k ]_ C .- [_ ( ( y + 1 ) + 1 ) / k ]_ C ) e. B ) |
49 |
12 41 47 48
|
syl3anc |
|- ( ( y e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ph /\ A. k e. ( M ... ( ( y + 1 ) + 1 ) ) C e. B ) ) -> ( [_ ( y + 1 ) / k ]_ C .- [_ ( ( y + 1 ) + 1 ) / k ]_ C ) e. B ) |
50 |
|
csbeq1 |
|- ( i = ( y + 1 ) -> [_ i / k ]_ C = [_ ( y + 1 ) / k ]_ C ) |
51 |
|
oveq1 |
|- ( i = ( y + 1 ) -> ( i + 1 ) = ( ( y + 1 ) + 1 ) ) |
52 |
51
|
csbeq1d |
|- ( i = ( y + 1 ) -> [_ ( i + 1 ) / k ]_ C = [_ ( ( y + 1 ) + 1 ) / k ]_ C ) |
53 |
50 52
|
oveq12d |
|- ( i = ( y + 1 ) -> ( [_ i / k ]_ C .- [_ ( i + 1 ) / k ]_ C ) = ( [_ ( y + 1 ) / k ]_ C .- [_ ( ( y + 1 ) + 1 ) / k ]_ C ) ) |
54 |
53
|
adantl |
|- ( ( ( y e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ph /\ A. k e. ( M ... ( ( y + 1 ) + 1 ) ) C e. B ) ) /\ i = ( y + 1 ) ) -> ( [_ i / k ]_ C .- [_ ( i + 1 ) / k ]_ C ) = ( [_ ( y + 1 ) / k ]_ C .- [_ ( ( y + 1 ) + 1 ) / k ]_ C ) ) |
55 |
1 33 34 49 54
|
gsumsnd |
|- ( ( y e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ph /\ A. k e. ( M ... ( ( y + 1 ) + 1 ) ) C e. B ) ) -> ( G gsum ( i e. { ( y + 1 ) } |-> ( [_ i / k ]_ C .- [_ ( i + 1 ) / k ]_ C ) ) ) = ( [_ ( y + 1 ) / k ]_ C .- [_ ( ( y + 1 ) + 1 ) / k ]_ C ) ) |
56 |
55
|
adantr |
|- ( ( ( y e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ph /\ A. k e. ( M ... ( ( y + 1 ) + 1 ) ) C e. B ) ) /\ ( G gsum ( i e. ( M ... y ) |-> ( [_ i / k ]_ C .- [_ ( i + 1 ) / k ]_ C ) ) ) = ( [_ M / k ]_ C .- [_ ( y + 1 ) / k ]_ C ) ) -> ( G gsum ( i e. { ( y + 1 ) } |-> ( [_ i / k ]_ C .- [_ ( i + 1 ) / k ]_ C ) ) ) = ( [_ ( y + 1 ) / k ]_ C .- [_ ( ( y + 1 ) + 1 ) / k ]_ C ) ) |
57 |
30 56
|
oveq12d |
|- ( ( ( y e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ph /\ A. k e. ( M ... ( ( y + 1 ) + 1 ) ) C e. B ) ) /\ ( G gsum ( i e. ( M ... y ) |-> ( [_ i / k ]_ C .- [_ ( i + 1 ) / k ]_ C ) ) ) = ( [_ M / k ]_ C .- [_ ( y + 1 ) / k ]_ C ) ) -> ( ( G gsum ( i e. ( M ... y ) |-> ( [_ i / k ]_ C .- [_ ( i + 1 ) / k ]_ C ) ) ) ( +g ` G ) ( G gsum ( i e. { ( y + 1 ) } |-> ( [_ i / k ]_ C .- [_ ( i + 1 ) / k ]_ C ) ) ) ) = ( ( [_ M / k ]_ C .- [_ ( y + 1 ) / k ]_ C ) ( +g ` G ) ( [_ ( y + 1 ) / k ]_ C .- [_ ( ( y + 1 ) + 1 ) / k ]_ C ) ) ) |
58 |
|
eluzfz1 |
|- ( ( ( y + 1 ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ( M ... ( ( y + 1 ) + 1 ) ) ) |
59 |
43 58
|
syl |
|- ( y e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ( M ... ( ( y + 1 ) + 1 ) ) ) |
60 |
|
rspcsbela |
|- ( ( M e. ( M ... ( ( y + 1 ) + 1 ) ) /\ A. k e. ( M ... ( ( y + 1 ) + 1 ) ) C e. B ) -> [_ M / k ]_ C e. B ) |
61 |
59 15 60
|
syl2an |
|- ( ( y e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ph /\ A. k e. ( M ... ( ( y + 1 ) + 1 ) ) C e. B ) ) -> [_ M / k ]_ C e. B ) |
62 |
1 4 3
|
grpnpncan |
|- ( ( G e. Grp /\ ( [_ M / k ]_ C e. B /\ [_ ( y + 1 ) / k ]_ C e. B /\ [_ ( ( y + 1 ) + 1 ) / k ]_ C e. B ) ) -> ( ( [_ M / k ]_ C .- [_ ( y + 1 ) / k ]_ C ) ( +g ` G ) ( [_ ( y + 1 ) / k ]_ C .- [_ ( ( y + 1 ) + 1 ) / k ]_ C ) ) = ( [_ M / k ]_ C .- [_ ( ( y + 1 ) + 1 ) / k ]_ C ) ) |
63 |
12 61 41 47 62
|
syl13anc |
|- ( ( y e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ph /\ A. k e. ( M ... ( ( y + 1 ) + 1 ) ) C e. B ) ) -> ( ( [_ M / k ]_ C .- [_ ( y + 1 ) / k ]_ C ) ( +g ` G ) ( [_ ( y + 1 ) / k ]_ C .- [_ ( ( y + 1 ) + 1 ) / k ]_ C ) ) = ( [_ M / k ]_ C .- [_ ( ( y + 1 ) + 1 ) / k ]_ C ) ) |
64 |
63
|
adantr |
|- ( ( ( y e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ph /\ A. k e. ( M ... ( ( y + 1 ) + 1 ) ) C e. B ) ) /\ ( G gsum ( i e. ( M ... y ) |-> ( [_ i / k ]_ C .- [_ ( i + 1 ) / k ]_ C ) ) ) = ( [_ M / k ]_ C .- [_ ( y + 1 ) / k ]_ C ) ) -> ( ( [_ M / k ]_ C .- [_ ( y + 1 ) / k ]_ C ) ( +g ` G ) ( [_ ( y + 1 ) / k ]_ C .- [_ ( ( y + 1 ) + 1 ) / k ]_ C ) ) = ( [_ M / k ]_ C .- [_ ( ( y + 1 ) + 1 ) / k ]_ C ) ) |
65 |
29 57 64
|
3eqtrd |
|- ( ( ( y e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ph /\ A. k e. ( M ... ( ( y + 1 ) + 1 ) ) C e. B ) ) /\ ( G gsum ( i e. ( M ... y ) |-> ( [_ i / k ]_ C .- [_ ( i + 1 ) / k ]_ C ) ) ) = ( [_ M / k ]_ C .- [_ ( y + 1 ) / k ]_ C ) ) -> ( G gsum ( i e. ( M ... ( y + 1 ) ) |-> ( [_ i / k ]_ C .- [_ ( i + 1 ) / k ]_ C ) ) ) = ( [_ M / k ]_ C .- [_ ( ( y + 1 ) + 1 ) / k ]_ C ) ) |
66 |
65
|
ex |
|- ( ( y e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ph /\ A. k e. ( M ... ( ( y + 1 ) + 1 ) ) C e. B ) ) -> ( ( G gsum ( i e. ( M ... y ) |-> ( [_ i / k ]_ C .- [_ ( i + 1 ) / k ]_ C ) ) ) = ( [_ M / k ]_ C .- [_ ( y + 1 ) / k ]_ C ) -> ( G gsum ( i e. ( M ... ( y + 1 ) ) |-> ( [_ i / k ]_ C .- [_ ( i + 1 ) / k ]_ C ) ) ) = ( [_ M / k ]_ C .- [_ ( ( y + 1 ) + 1 ) / k ]_ C ) ) ) |