Metamath Proof Explorer

Theorem tendoco2

Description: Distribution of compositions in preparation for endomorphism sum definition. (Contributed by NM, 10-Jun-2013)

Ref Expression
Hypotheses tendof.h 
|- H = ( LHyp ` K )
tendof.t 
|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
tendof.e 
|- E = ( ( TEndo ` K ) ` W )
Assertion tendoco2 
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ V e. E ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) -> ( ( U ` ( F o. G ) ) o. ( V ` ( F o. G ) ) ) = ( ( ( U ` F ) o. ( V ` F ) ) o. ( ( U ` G ) o. ( V ` G ) ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 tendof.h 
 |-  H = ( LHyp ` K )
2 tendof.t 
 |-  T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
3 tendof.e 
 |-  E = ( ( TEndo ` K ) ` W )
4 simp1l 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ V e. E ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) -> K e. HL )
5 simp1r 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ V e. E ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) -> W e. H )
6 simp2l 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ V e. E ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) -> U e. E )
7 simp3l 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ V e. E ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) -> F e. T )
8 simp3r 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ V e. E ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) -> G e. T )
9 1 2 3 tendovalco 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H /\ U e. E ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) -> ( U ` ( F o. G ) ) = ( ( U ` F ) o. ( U ` G ) ) )
10 4 5 6 7 8 9 syl32anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ V e. E ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) -> ( U ` ( F o. G ) ) = ( ( U ` F ) o. ( U ` G ) ) )
11 simp2r 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ V e. E ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) -> V e. E )
12 1 2 3 tendovalco 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H /\ V e. E ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) -> ( V ` ( F o. G ) ) = ( ( V ` F ) o. ( V ` G ) ) )
13 4 5 11 7 8 12 syl32anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ V e. E ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) -> ( V ` ( F o. G ) ) = ( ( V ` F ) o. ( V ` G ) ) )
14 10 13 coeq12d 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ V e. E ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) -> ( ( U ` ( F o. G ) ) o. ( V ` ( F o. G ) ) ) = ( ( ( U ` F ) o. ( U ` G ) ) o. ( ( V ` F ) o. ( V ` G ) ) ) )
15 simp1 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ V e. E ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
16 1 2 3 tendocl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ U e. E /\ G e. T ) -> ( U ` G ) e. T )
17 15 6 8 16 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ V e. E ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) -> ( U ` G ) e. T )
18 1 2 3 tendocl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ V e. E /\ F e. T ) -> ( V ` F ) e. T )
19 15 11 7 18 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ V e. E ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) -> ( V ` F ) e. T )
20 1 2 ltrnco4 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U ` G ) e. T /\ ( V ` F ) e. T ) -> ( ( ( U ` F ) o. ( U ` G ) ) o. ( ( V ` F ) o. ( V ` G ) ) ) = ( ( ( U ` F ) o. ( V ` F ) ) o. ( ( U ` G ) o. ( V ` G ) ) ) )
21 15 17 19 20 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ V e. E ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) -> ( ( ( U ` F ) o. ( U ` G ) ) o. ( ( V ` F ) o. ( V ` G ) ) ) = ( ( ( U ` F ) o. ( V ` F ) ) o. ( ( U ` G ) o. ( V ` G ) ) ) )
22 14 21 eqtrd 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ V e. E ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) -> ( ( U ` ( F o. G ) ) o. ( V ` ( F o. G ) ) ) = ( ( ( U ` F ) o. ( V ` F ) ) o. ( ( U ` G ) o. ( V ` G ) ) ) )