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Theorem tgrpset

Description: The translation group for a fiducial co-atom W . (Contributed by NM, 5-Jun-2013)

Ref Expression
Hypotheses tgrpset.h 
|- H = ( LHyp ` K )
tgrpset.t 
|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
tgrpset.g 
|- G = ( ( TGrp ` K ) ` W )
Assertion tgrpset 
|- ( ( K e. V /\ W e. H ) -> G = { <. ( Base ` ndx ) , T >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. T , g e. T |-> ( f o. g ) ) >. } )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 tgrpset.h 
 |-  H = ( LHyp ` K )
2 tgrpset.t 
 |-  T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
3 tgrpset.g 
 |-  G = ( ( TGrp ` K ) ` W )
4 1 tgrpfset 
 |-  ( K e. V -> ( TGrp ` K ) = ( w e. H |-> { <. ( Base ` ndx ) , ( ( LTrn ` K ) ` w ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` w ) , g e. ( ( LTrn ` K ) ` w ) |-> ( f o. g ) ) >. } ) )
5 4 fveq1d 
 |-  ( K e. V -> ( ( TGrp ` K ) ` W ) = ( ( w e. H |-> { <. ( Base ` ndx ) , ( ( LTrn ` K ) ` w ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` w ) , g e. ( ( LTrn ` K ) ` w ) |-> ( f o. g ) ) >. } ) ` W ) )
6 fveq2 
 |-  ( w = W -> ( ( LTrn ` K ) ` w ) = ( ( LTrn ` K ) ` W ) )
7 6 opeq2d 
 |-  ( w = W -> <. ( Base ` ndx ) , ( ( LTrn ` K ) ` w ) >. = <. ( Base ` ndx ) , ( ( LTrn ` K ) ` W ) >. )
8 eqidd 
 |-  ( w = W -> ( f o. g ) = ( f o. g ) )
9 6 6 8 mpoeq123dv 
 |-  ( w = W -> ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` w ) , g e. ( ( LTrn ` K ) ` w ) |-> ( f o. g ) ) = ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) , g e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( f o. g ) ) )
10 9 opeq2d 
 |-  ( w = W -> <. ( +g ` ndx ) , ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` w ) , g e. ( ( LTrn ` K ) ` w ) |-> ( f o. g ) ) >. = <. ( +g ` ndx ) , ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) , g e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( f o. g ) ) >. )
11 7 10 preq12d 
 |-  ( w = W -> { <. ( Base ` ndx ) , ( ( LTrn ` K ) ` w ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` w ) , g e. ( ( LTrn ` K ) ` w ) |-> ( f o. g ) ) >. } = { <. ( Base ` ndx ) , ( ( LTrn ` K ) ` W ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) , g e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( f o. g ) ) >. } )
12 eqid 
 |-  ( w e. H |-> { <. ( Base ` ndx ) , ( ( LTrn ` K ) ` w ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` w ) , g e. ( ( LTrn ` K ) ` w ) |-> ( f o. g ) ) >. } ) = ( w e. H |-> { <. ( Base ` ndx ) , ( ( LTrn ` K ) ` w ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` w ) , g e. ( ( LTrn ` K ) ` w ) |-> ( f o. g ) ) >. } )
13 prex 
 |-  { <. ( Base ` ndx ) , ( ( LTrn ` K ) ` W ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) , g e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( f o. g ) ) >. } e. _V
14 11 12 13 fvmpt 
 |-  ( W e. H -> ( ( w e. H |-> { <. ( Base ` ndx ) , ( ( LTrn ` K ) ` w ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` w ) , g e. ( ( LTrn ` K ) ` w ) |-> ( f o. g ) ) >. } ) ` W ) = { <. ( Base ` ndx ) , ( ( LTrn ` K ) ` W ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) , g e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( f o. g ) ) >. } )
15 2 opeq2i 
 |-  <. ( Base ` ndx ) , T >. = <. ( Base ` ndx ) , ( ( LTrn ` K ) ` W ) >.
16 eqid 
 |-  ( f o. g ) = ( f o. g )
17 2 2 16 mpoeq123i 
 |-  ( f e. T , g e. T |-> ( f o. g ) ) = ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) , g e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( f o. g ) )
18 17 opeq2i 
 |-  <. ( +g ` ndx ) , ( f e. T , g e. T |-> ( f o. g ) ) >. = <. ( +g ` ndx ) , ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) , g e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( f o. g ) ) >.
19 15 18 preq12i 
 |-  { <. ( Base ` ndx ) , T >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. T , g e. T |-> ( f o. g ) ) >. } = { <. ( Base ` ndx ) , ( ( LTrn ` K ) ` W ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) , g e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( f o. g ) ) >. }
20 14 19 eqtr4di 
 |-  ( W e. H -> ( ( w e. H |-> { <. ( Base ` ndx ) , ( ( LTrn ` K ) ` w ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` w ) , g e. ( ( LTrn ` K ) ` w ) |-> ( f o. g ) ) >. } ) ` W ) = { <. ( Base ` ndx ) , T >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. T , g e. T |-> ( f o. g ) ) >. } )
21 5 20 sylan9eq 
 |-  ( ( K e. V /\ W e. H ) -> ( ( TGrp ` K ) ` W ) = { <. ( Base ` ndx ) , T >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. T , g e. T |-> ( f o. g ) ) >. } )
22 3 21 syl5eq 
 |-  ( ( K e. V /\ W e. H ) -> G = { <. ( Base ` ndx ) , T >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. T , g e. T |-> ( f o. g ) ) >. } )