Theorem tleile

Description: In a Toset, any two elements are comparable. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Feb-2018)

	Ref	Expression
Hypotheses	tleile.b	|- B = ( Base ` K )
	tleile.l	|- .<_ = ( le ` K )
Assertion	tleile	|- ( ( K e. Toset /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .<_ Y \/ Y .<_ X ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tleile.b	|- B = ( Base ` K )
2		tleile.l	|- .<_ = ( le ` K )
3		simp2	|- ( ( K e. Toset /\ X e. B /\ Y e. B ) -> X e. B )
4		simp3	|- ( ( K e. Toset /\ X e. B /\ Y e. B ) -> Y e. B )
5	1 2	istos	|- ( K e. Toset <-> ( K e. Poset /\ A. x e. B A. y e. B ( x .<_ y \/ y .<_ x ) ) )
6	5	simprbi	|- ( K e. Toset -> A. x e. B A. y e. B ( x .<_ y \/ y .<_ x ) )
7	6	3ad2ant1	|- ( ( K e. Toset /\ X e. B /\ Y e. B ) -> A. x e. B A. y e. B ( x .<_ y \/ y .<_ x ) )
8		breq1	|- ( x = X -> ( x .<_ y <-> X .<_ y ) )
9		breq2	|- ( x = X -> ( y .<_ x <-> y .<_ X ) )
10	8 9	orbi12d	|- ( x = X -> ( ( x .<_ y \/ y .<_ x ) <-> ( X .<_ y \/ y .<_ X ) ) )
11		breq2	|- ( y = Y -> ( X .<_ y <-> X .<_ Y ) )
12		breq1	|- ( y = Y -> ( y .<_ X <-> Y .<_ X ) )
13	11 12	orbi12d	|- ( y = Y -> ( ( X .<_ y \/ y .<_ X ) <-> ( X .<_ Y \/ Y .<_ X ) ) )
14	10 13	rspc2va	|- ( ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ A. x e. B A. y e. B ( x .<_ y \/ y .<_ x ) ) -> ( X .<_ Y \/ Y .<_ X ) )
15	3 4 7 14	syl21anc	|- ( ( K e. Toset /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .<_ Y \/ Y .<_ X ) )