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Theorem tosso

Description: Write the totally ordered set structure predicate in terms of the proper class strict order predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015)

Ref Expression
Hypotheses tosso.b 
|- B = ( Base ` K )
tosso.l 
|- .<_ = ( le ` K )
tosso.s 
|- .< = ( lt ` K )
Assertion tosso 
|- ( K e. V -> ( K e. Toset <-> ( .< Or B /\ ( _I |` B ) C_ .<_ ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 tosso.b 
 |-  B = ( Base ` K )
2 tosso.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
3 tosso.s 
 |-  .< = ( lt ` K )
4 1 2 3 pleval2 
 |-  ( ( K e. Poset /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( x .<_ y <-> ( x .< y \/ x = y ) ) )
5 4 3expb 
 |-  ( ( K e. Poset /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x .<_ y <-> ( x .< y \/ x = y ) ) )
6 1 2 3 pleval2 
 |-  ( ( K e. Poset /\ y e. B /\ x e. B ) -> ( y .<_ x <-> ( y .< x \/ y = x ) ) )
7 equcom 
 |-  ( y = x <-> x = y )
8 7 orbi2i 
 |-  ( ( y .< x \/ y = x ) <-> ( y .< x \/ x = y ) )
9 6 8 bitrdi 
 |-  ( ( K e. Poset /\ y e. B /\ x e. B ) -> ( y .<_ x <-> ( y .< x \/ x = y ) ) )
10 9 3com23 
 |-  ( ( K e. Poset /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( y .<_ x <-> ( y .< x \/ x = y ) ) )
11 10 3expb 
 |-  ( ( K e. Poset /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( y .<_ x <-> ( y .< x \/ x = y ) ) )
12 5 11 orbi12d 
 |-  ( ( K e. Poset /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( x .<_ y \/ y .<_ x ) <-> ( ( x .< y \/ x = y ) \/ ( y .< x \/ x = y ) ) ) )
13 df-3or 
 |-  ( ( x .< y \/ x = y \/ y .< x ) <-> ( ( x .< y \/ x = y ) \/ y .< x ) )
14 or32 
 |-  ( ( ( x .< y \/ x = y ) \/ y .< x ) <-> ( ( x .< y \/ y .< x ) \/ x = y ) )
15 orordir 
 |-  ( ( ( x .< y \/ y .< x ) \/ x = y ) <-> ( ( x .< y \/ x = y ) \/ ( y .< x \/ x = y ) ) )
16 14 15 bitri 
 |-  ( ( ( x .< y \/ x = y ) \/ y .< x ) <-> ( ( x .< y \/ x = y ) \/ ( y .< x \/ x = y ) ) )
17 13 16 bitri 
 |-  ( ( x .< y \/ x = y \/ y .< x ) <-> ( ( x .< y \/ x = y ) \/ ( y .< x \/ x = y ) ) )
18 12 17 bitr4di 
 |-  ( ( K e. Poset /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( x .<_ y \/ y .<_ x ) <-> ( x .< y \/ x = y \/ y .< x ) ) )
19 18 2ralbidva 
 |-  ( K e. Poset -> ( A. x e. B A. y e. B ( x .<_ y \/ y .<_ x ) <-> A. x e. B A. y e. B ( x .< y \/ x = y \/ y .< x ) ) )
20 19 pm5.32i 
 |-  ( ( K e. Poset /\ A. x e. B A. y e. B ( x .<_ y \/ y .<_ x ) ) <-> ( K e. Poset /\ A. x e. B A. y e. B ( x .< y \/ x = y \/ y .< x ) ) )
21 1 2 3 pospo 
 |-  ( K e. V -> ( K e. Poset <-> ( .< Po B /\ ( _I |` B ) C_ .<_ ) ) )
22 21 anbi1d 
 |-  ( K e. V -> ( ( K e. Poset /\ A. x e. B A. y e. B ( x .< y \/ x = y \/ y .< x ) ) <-> ( ( .< Po B /\ ( _I |` B ) C_ .<_ ) /\ A. x e. B A. y e. B ( x .< y \/ x = y \/ y .< x ) ) ) )
23 20 22 syl5bb 
 |-  ( K e. V -> ( ( K e. Poset /\ A. x e. B A. y e. B ( x .<_ y \/ y .<_ x ) ) <-> ( ( .< Po B /\ ( _I |` B ) C_ .<_ ) /\ A. x e. B A. y e. B ( x .< y \/ x = y \/ y .< x ) ) ) )
24 1 2 istos 
 |-  ( K e. Toset <-> ( K e. Poset /\ A. x e. B A. y e. B ( x .<_ y \/ y .<_ x ) ) )
25 df-so 
 |-  ( .< Or B <-> ( .< Po B /\ A. x e. B A. y e. B ( x .< y \/ x = y \/ y .< x ) ) )
26 25 anbi1i 
 |-  ( ( .< Or B /\ ( _I |` B ) C_ .<_ ) <-> ( ( .< Po B /\ A. x e. B A. y e. B ( x .< y \/ x = y \/ y .< x ) ) /\ ( _I |` B ) C_ .<_ ) )
27 an32 
 |-  ( ( ( .< Po B /\ A. x e. B A. y e. B ( x .< y \/ x = y \/ y .< x ) ) /\ ( _I |` B ) C_ .<_ ) <-> ( ( .< Po B /\ ( _I |` B ) C_ .<_ ) /\ A. x e. B A. y e. B ( x .< y \/ x = y \/ y .< x ) ) )
28 26 27 bitri 
 |-  ( ( .< Or B /\ ( _I |` B ) C_ .<_ ) <-> ( ( .< Po B /\ ( _I |` B ) C_ .<_ ) /\ A. x e. B A. y e. B ( x .< y \/ x = y \/ y .< x ) ) )
29 23 24 28 3bitr4g 
 |-  ( K e. V -> ( K e. Toset <-> ( .< Or B /\ ( _I |` B ) C_ .<_ ) ) )