Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
trlcocnv.h |
|- H = ( LHyp ` K ) |
2 |
|
trlcocnv.t |
|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W ) |
3 |
|
trlcocnv.r |
|- R = ( ( trL ` K ) ` W ) |
4 |
|
cnvco |
|- `' ( F o. `' G ) = ( `' `' G o. `' F ) |
5 |
|
cocnvcnv1 |
|- ( `' `' G o. `' F ) = ( G o. `' F ) |
6 |
4 5
|
eqtri |
|- `' ( F o. `' G ) = ( G o. `' F ) |
7 |
6
|
fveq2i |
|- ( R ` `' ( F o. `' G ) ) = ( R ` ( G o. `' F ) ) |
8 |
|
simp1 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) ) |
9 |
1 2
|
ltrncnv |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ G e. T ) -> `' G e. T ) |
10 |
9
|
3adant2 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) -> `' G e. T ) |
11 |
1 2
|
ltrnco |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ `' G e. T ) -> ( F o. `' G ) e. T ) |
12 |
10 11
|
syld3an3 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) -> ( F o. `' G ) e. T ) |
13 |
1 2 3
|
trlcnv |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F o. `' G ) e. T ) -> ( R ` `' ( F o. `' G ) ) = ( R ` ( F o. `' G ) ) ) |
14 |
8 12 13
|
syl2anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) -> ( R ` `' ( F o. `' G ) ) = ( R ` ( F o. `' G ) ) ) |
15 |
7 14
|
syl5reqr |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) -> ( R ` ( F o. `' G ) ) = ( R ` ( G o. `' F ) ) ) |