Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
ufilfil |
|- ( f e. ( UFil ` X ) -> f e. ( Fil ` X ) ) |
2 |
|
ufilmax |
|- ( ( F e. ( UFil ` X ) /\ f e. ( Fil ` X ) /\ F C_ f ) -> F = f ) |
3 |
2
|
3expa |
|- ( ( ( F e. ( UFil ` X ) /\ f e. ( Fil ` X ) ) /\ F C_ f ) -> F = f ) |
4 |
3
|
eqcomd |
|- ( ( ( F e. ( UFil ` X ) /\ f e. ( Fil ` X ) ) /\ F C_ f ) -> f = F ) |
5 |
4
|
ex |
|- ( ( F e. ( UFil ` X ) /\ f e. ( Fil ` X ) ) -> ( F C_ f -> f = F ) ) |
6 |
1 5
|
sylan2 |
|- ( ( F e. ( UFil ` X ) /\ f e. ( UFil ` X ) ) -> ( F C_ f -> f = F ) ) |
7 |
6
|
ralrimiva |
|- ( F e. ( UFil ` X ) -> A. f e. ( UFil ` X ) ( F C_ f -> f = F ) ) |
8 |
|
ssid |
|- F C_ F |
9 |
|
sseq2 |
|- ( f = F -> ( F C_ f <-> F C_ F ) ) |
10 |
9
|
eqreu |
|- ( ( F e. ( UFil ` X ) /\ F C_ F /\ A. f e. ( UFil ` X ) ( F C_ f -> f = F ) ) -> E! f e. ( UFil ` X ) F C_ f ) |
11 |
8 10
|
mp3an2 |
|- ( ( F e. ( UFil ` X ) /\ A. f e. ( UFil ` X ) ( F C_ f -> f = F ) ) -> E! f e. ( UFil ` X ) F C_ f ) |
12 |
7 11
|
mpdan |
|- ( F e. ( UFil ` X ) -> E! f e. ( UFil ` X ) F C_ f ) |
13 |
|
reu6 |
|- ( E! f e. ( UFil ` X ) F C_ f <-> E. g e. ( UFil ` X ) A. f e. ( UFil ` X ) ( F C_ f <-> f = g ) ) |
14 |
|
ibibr |
|- ( ( f = g -> F C_ f ) <-> ( f = g -> ( F C_ f <-> f = g ) ) ) |
15 |
14
|
pm5.74ri |
|- ( f = g -> ( F C_ f <-> ( F C_ f <-> f = g ) ) ) |
16 |
|
sseq2 |
|- ( f = g -> ( F C_ f <-> F C_ g ) ) |
17 |
15 16
|
bitr3d |
|- ( f = g -> ( ( F C_ f <-> f = g ) <-> F C_ g ) ) |
18 |
17
|
rspcva |
|- ( ( g e. ( UFil ` X ) /\ A. f e. ( UFil ` X ) ( F C_ f <-> f = g ) ) -> F C_ g ) |
19 |
18
|
adantll |
|- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ g e. ( UFil ` X ) ) /\ A. f e. ( UFil ` X ) ( F C_ f <-> f = g ) ) -> F C_ g ) |
20 |
|
ufilfil |
|- ( g e. ( UFil ` X ) -> g e. ( Fil ` X ) ) |
21 |
|
filelss |
|- ( ( g e. ( Fil ` X ) /\ x e. g ) -> x C_ X ) |
22 |
21
|
ex |
|- ( g e. ( Fil ` X ) -> ( x e. g -> x C_ X ) ) |
23 |
20 22
|
syl |
|- ( g e. ( UFil ` X ) -> ( x e. g -> x C_ X ) ) |
24 |
23
|
ad2antlr |
|- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ g e. ( UFil ` X ) ) /\ A. f e. ( UFil ` X ) ( F C_ f <-> f = g ) ) -> ( x e. g -> x C_ X ) ) |
25 |
|
filsspw |
|- ( F e. ( Fil ` X ) -> F C_ ~P X ) |
26 |
25
|
ad2antrr |
|- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ g e. ( UFil ` X ) ) /\ ( x C_ X /\ -. x e. F ) ) -> F C_ ~P X ) |
27 |
|
difss |
|- ( X \ x ) C_ X |
28 |
|
filtop |
|- ( F e. ( Fil ` X ) -> X e. F ) |
29 |
28
|
ad2antrr |
|- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ g e. ( UFil ` X ) ) /\ ( x C_ X /\ -. x e. F ) ) -> X e. F ) |
30 |
|
difexg |
|- ( X e. F -> ( X \ x ) e. _V ) |
31 |
29 30
|
syl |
|- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ g e. ( UFil ` X ) ) /\ ( x C_ X /\ -. x e. F ) ) -> ( X \ x ) e. _V ) |
32 |
|
elpwg |
|- ( ( X \ x ) e. _V -> ( ( X \ x ) e. ~P X <-> ( X \ x ) C_ X ) ) |
33 |
31 32
|
syl |
|- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ g e. ( UFil ` X ) ) /\ ( x C_ X /\ -. x e. F ) ) -> ( ( X \ x ) e. ~P X <-> ( X \ x ) C_ X ) ) |
34 |
27 33
|
mpbiri |
|- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ g e. ( UFil ` X ) ) /\ ( x C_ X /\ -. x e. F ) ) -> ( X \ x ) e. ~P X ) |
35 |
34
|
snssd |
|- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ g e. ( UFil ` X ) ) /\ ( x C_ X /\ -. x e. F ) ) -> { ( X \ x ) } C_ ~P X ) |
36 |
26 35
|
unssd |
|- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ g e. ( UFil ` X ) ) /\ ( x C_ X /\ -. x e. F ) ) -> ( F u. { ( X \ x ) } ) C_ ~P X ) |
37 |
|
ssun1 |
|- F C_ ( F u. { ( X \ x ) } ) |
38 |
|
filn0 |
|- ( F e. ( Fil ` X ) -> F =/= (/) ) |
39 |
38
|
ad2antrr |
|- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ g e. ( UFil ` X ) ) /\ ( x C_ X /\ -. x e. F ) ) -> F =/= (/) ) |
40 |
|
ssn0 |
|- ( ( F C_ ( F u. { ( X \ x ) } ) /\ F =/= (/) ) -> ( F u. { ( X \ x ) } ) =/= (/) ) |
41 |
37 39 40
|
sylancr |
|- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ g e. ( UFil ` X ) ) /\ ( x C_ X /\ -. x e. F ) ) -> ( F u. { ( X \ x ) } ) =/= (/) ) |
42 |
|
filelss |
|- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ f e. F ) -> f C_ X ) |
43 |
42
|
ad2ant2rl |
|- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ g e. ( UFil ` X ) ) /\ ( x C_ X /\ f e. F ) ) -> f C_ X ) |
44 |
|
df-ss |
|- ( f C_ X <-> ( f i^i X ) = f ) |
45 |
43 44
|
sylib |
|- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ g e. ( UFil ` X ) ) /\ ( x C_ X /\ f e. F ) ) -> ( f i^i X ) = f ) |
46 |
45
|
sseq1d |
|- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ g e. ( UFil ` X ) ) /\ ( x C_ X /\ f e. F ) ) -> ( ( f i^i X ) C_ x <-> f C_ x ) ) |
47 |
|
filss |
|- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( f e. F /\ x C_ X /\ f C_ x ) ) -> x e. F ) |
48 |
47
|
3exp2 |
|- ( F e. ( Fil ` X ) -> ( f e. F -> ( x C_ X -> ( f C_ x -> x e. F ) ) ) ) |
49 |
48
|
impcomd |
|- ( F e. ( Fil ` X ) -> ( ( x C_ X /\ f e. F ) -> ( f C_ x -> x e. F ) ) ) |
50 |
49
|
adantr |
|- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ g e. ( UFil ` X ) ) -> ( ( x C_ X /\ f e. F ) -> ( f C_ x -> x e. F ) ) ) |
51 |
50
|
imp |
|- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ g e. ( UFil ` X ) ) /\ ( x C_ X /\ f e. F ) ) -> ( f C_ x -> x e. F ) ) |
52 |
46 51
|
sylbid |
|- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ g e. ( UFil ` X ) ) /\ ( x C_ X /\ f e. F ) ) -> ( ( f i^i X ) C_ x -> x e. F ) ) |
53 |
52
|
con3d |
|- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ g e. ( UFil ` X ) ) /\ ( x C_ X /\ f e. F ) ) -> ( -. x e. F -> -. ( f i^i X ) C_ x ) ) |
54 |
53
|
expr |
|- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ g e. ( UFil ` X ) ) /\ x C_ X ) -> ( f e. F -> ( -. x e. F -> -. ( f i^i X ) C_ x ) ) ) |
55 |
54
|
com23 |
|- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ g e. ( UFil ` X ) ) /\ x C_ X ) -> ( -. x e. F -> ( f e. F -> -. ( f i^i X ) C_ x ) ) ) |
56 |
55
|
impr |
|- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ g e. ( UFil ` X ) ) /\ ( x C_ X /\ -. x e. F ) ) -> ( f e. F -> -. ( f i^i X ) C_ x ) ) |
57 |
56
|
imp |
|- ( ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ g e. ( UFil ` X ) ) /\ ( x C_ X /\ -. x e. F ) ) /\ f e. F ) -> -. ( f i^i X ) C_ x ) |
58 |
|
ineq2 |
|- ( g = ( X \ x ) -> ( f i^i g ) = ( f i^i ( X \ x ) ) ) |
59 |
58
|
neeq1d |
|- ( g = ( X \ x ) -> ( ( f i^i g ) =/= (/) <-> ( f i^i ( X \ x ) ) =/= (/) ) ) |
60 |
59
|
ralsng |
|- ( ( X \ x ) e. _V -> ( A. g e. { ( X \ x ) } ( f i^i g ) =/= (/) <-> ( f i^i ( X \ x ) ) =/= (/) ) ) |
61 |
|
inssdif0 |
|- ( ( f i^i X ) C_ x <-> ( f i^i ( X \ x ) ) = (/) ) |
62 |
61
|
necon3bbii |
|- ( -. ( f i^i X ) C_ x <-> ( f i^i ( X \ x ) ) =/= (/) ) |
63 |
60 62
|
bitr4di |
|- ( ( X \ x ) e. _V -> ( A. g e. { ( X \ x ) } ( f i^i g ) =/= (/) <-> -. ( f i^i X ) C_ x ) ) |
64 |
31 63
|
syl |
|- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ g e. ( UFil ` X ) ) /\ ( x C_ X /\ -. x e. F ) ) -> ( A. g e. { ( X \ x ) } ( f i^i g ) =/= (/) <-> -. ( f i^i X ) C_ x ) ) |
65 |
64
|
adantr |
|- ( ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ g e. ( UFil ` X ) ) /\ ( x C_ X /\ -. x e. F ) ) /\ f e. F ) -> ( A. g e. { ( X \ x ) } ( f i^i g ) =/= (/) <-> -. ( f i^i X ) C_ x ) ) |
66 |
57 65
|
mpbird |
|- ( ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ g e. ( UFil ` X ) ) /\ ( x C_ X /\ -. x e. F ) ) /\ f e. F ) -> A. g e. { ( X \ x ) } ( f i^i g ) =/= (/) ) |
67 |
66
|
ralrimiva |
|- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ g e. ( UFil ` X ) ) /\ ( x C_ X /\ -. x e. F ) ) -> A. f e. F A. g e. { ( X \ x ) } ( f i^i g ) =/= (/) ) |
68 |
|
filfbas |
|- ( F e. ( Fil ` X ) -> F e. ( fBas ` X ) ) |
69 |
68
|
ad2antrr |
|- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ g e. ( UFil ` X ) ) /\ ( x C_ X /\ -. x e. F ) ) -> F e. ( fBas ` X ) ) |
70 |
|
difssd |
|- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ g e. ( UFil ` X ) ) /\ ( x C_ X /\ -. x e. F ) ) -> ( X \ x ) C_ X ) |
71 |
|
ssdif0 |
|- ( X C_ x <-> ( X \ x ) = (/) ) |
72 |
|
eqss |
|- ( x = X <-> ( x C_ X /\ X C_ x ) ) |
73 |
72
|
simplbi2 |
|- ( x C_ X -> ( X C_ x -> x = X ) ) |
74 |
|
eleq1 |
|- ( x = X -> ( x e. F <-> X e. F ) ) |
75 |
74
|
notbid |
|- ( x = X -> ( -. x e. F <-> -. X e. F ) ) |
76 |
75
|
biimpcd |
|- ( -. x e. F -> ( x = X -> -. X e. F ) ) |
77 |
73 76
|
sylan9 |
|- ( ( x C_ X /\ -. x e. F ) -> ( X C_ x -> -. X e. F ) ) |
78 |
77
|
adantl |
|- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ g e. ( UFil ` X ) ) /\ ( x C_ X /\ -. x e. F ) ) -> ( X C_ x -> -. X e. F ) ) |
79 |
71 78
|
syl5bir |
|- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ g e. ( UFil ` X ) ) /\ ( x C_ X /\ -. x e. F ) ) -> ( ( X \ x ) = (/) -> -. X e. F ) ) |
80 |
79
|
necon2ad |
|- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ g e. ( UFil ` X ) ) /\ ( x C_ X /\ -. x e. F ) ) -> ( X e. F -> ( X \ x ) =/= (/) ) ) |
81 |
29 80
|
mpd |
|- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ g e. ( UFil ` X ) ) /\ ( x C_ X /\ -. x e. F ) ) -> ( X \ x ) =/= (/) ) |
82 |
|
snfbas |
|- ( ( ( X \ x ) C_ X /\ ( X \ x ) =/= (/) /\ X e. F ) -> { ( X \ x ) } e. ( fBas ` X ) ) |
83 |
70 81 29 82
|
syl3anc |
|- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ g e. ( UFil ` X ) ) /\ ( x C_ X /\ -. x e. F ) ) -> { ( X \ x ) } e. ( fBas ` X ) ) |
84 |
|
fbunfip |
|- ( ( F e. ( fBas ` X ) /\ { ( X \ x ) } e. ( fBas ` X ) ) -> ( -. (/) e. ( fi ` ( F u. { ( X \ x ) } ) ) <-> A. f e. F A. g e. { ( X \ x ) } ( f i^i g ) =/= (/) ) ) |
85 |
69 83 84
|
syl2anc |
|- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ g e. ( UFil ` X ) ) /\ ( x C_ X /\ -. x e. F ) ) -> ( -. (/) e. ( fi ` ( F u. { ( X \ x ) } ) ) <-> A. f e. F A. g e. { ( X \ x ) } ( f i^i g ) =/= (/) ) ) |
86 |
67 85
|
mpbird |
|- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ g e. ( UFil ` X ) ) /\ ( x C_ X /\ -. x e. F ) ) -> -. (/) e. ( fi ` ( F u. { ( X \ x ) } ) ) ) |
87 |
|
fsubbas |
|- ( X e. F -> ( ( fi ` ( F u. { ( X \ x ) } ) ) e. ( fBas ` X ) <-> ( ( F u. { ( X \ x ) } ) C_ ~P X /\ ( F u. { ( X \ x ) } ) =/= (/) /\ -. (/) e. ( fi ` ( F u. { ( X \ x ) } ) ) ) ) ) |
88 |
29 87
|
syl |
|- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ g e. ( UFil ` X ) ) /\ ( x C_ X /\ -. x e. F ) ) -> ( ( fi ` ( F u. { ( X \ x ) } ) ) e. ( fBas ` X ) <-> ( ( F u. { ( X \ x ) } ) C_ ~P X /\ ( F u. { ( X \ x ) } ) =/= (/) /\ -. (/) e. ( fi ` ( F u. { ( X \ x ) } ) ) ) ) ) |
89 |
36 41 86 88
|
mpbir3and |
|- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ g e. ( UFil ` X ) ) /\ ( x C_ X /\ -. x e. F ) ) -> ( fi ` ( F u. { ( X \ x ) } ) ) e. ( fBas ` X ) ) |
90 |
|
fgcl |
|- ( ( fi ` ( F u. { ( X \ x ) } ) ) e. ( fBas ` X ) -> ( X filGen ( fi ` ( F u. { ( X \ x ) } ) ) ) e. ( Fil ` X ) ) |
91 |
89 90
|
syl |
|- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ g e. ( UFil ` X ) ) /\ ( x C_ X /\ -. x e. F ) ) -> ( X filGen ( fi ` ( F u. { ( X \ x ) } ) ) ) e. ( Fil ` X ) ) |
92 |
|
filssufil |
|- ( ( X filGen ( fi ` ( F u. { ( X \ x ) } ) ) ) e. ( Fil ` X ) -> E. f e. ( UFil ` X ) ( X filGen ( fi ` ( F u. { ( X \ x ) } ) ) ) C_ f ) |
93 |
91 92
|
syl |
|- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ g e. ( UFil ` X ) ) /\ ( x C_ X /\ -. x e. F ) ) -> E. f e. ( UFil ` X ) ( X filGen ( fi ` ( F u. { ( X \ x ) } ) ) ) C_ f ) |
94 |
|
r19.29 |
|- ( ( A. f e. ( UFil ` X ) ( F C_ f <-> f = g ) /\ E. f e. ( UFil ` X ) ( X filGen ( fi ` ( F u. { ( X \ x ) } ) ) ) C_ f ) -> E. f e. ( UFil ` X ) ( ( F C_ f <-> f = g ) /\ ( X filGen ( fi ` ( F u. { ( X \ x ) } ) ) ) C_ f ) ) |
95 |
|
biimp |
|- ( ( F C_ f <-> f = g ) -> ( F C_ f -> f = g ) ) |
96 |
|
simpll |
|- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ g e. ( UFil ` X ) ) /\ ( x C_ X /\ -. x e. F ) ) -> F e. ( Fil ` X ) ) |
97 |
|
snex |
|- { ( X \ x ) } e. _V |
98 |
|
unexg |
|- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ { ( X \ x ) } e. _V ) -> ( F u. { ( X \ x ) } ) e. _V ) |
99 |
96 97 98
|
sylancl |
|- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ g e. ( UFil ` X ) ) /\ ( x C_ X /\ -. x e. F ) ) -> ( F u. { ( X \ x ) } ) e. _V ) |
100 |
|
ssfii |
|- ( ( F u. { ( X \ x ) } ) e. _V -> ( F u. { ( X \ x ) } ) C_ ( fi ` ( F u. { ( X \ x ) } ) ) ) |
101 |
99 100
|
syl |
|- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ g e. ( UFil ` X ) ) /\ ( x C_ X /\ -. x e. F ) ) -> ( F u. { ( X \ x ) } ) C_ ( fi ` ( F u. { ( X \ x ) } ) ) ) |
102 |
|
ssfg |
|- ( ( fi ` ( F u. { ( X \ x ) } ) ) e. ( fBas ` X ) -> ( fi ` ( F u. { ( X \ x ) } ) ) C_ ( X filGen ( fi ` ( F u. { ( X \ x ) } ) ) ) ) |
103 |
89 102
|
syl |
|- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ g e. ( UFil ` X ) ) /\ ( x C_ X /\ -. x e. F ) ) -> ( fi ` ( F u. { ( X \ x ) } ) ) C_ ( X filGen ( fi ` ( F u. { ( X \ x ) } ) ) ) ) |
104 |
101 103
|
sstrd |
|- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ g e. ( UFil ` X ) ) /\ ( x C_ X /\ -. x e. F ) ) -> ( F u. { ( X \ x ) } ) C_ ( X filGen ( fi ` ( F u. { ( X \ x ) } ) ) ) ) |
105 |
104
|
unssad |
|- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ g e. ( UFil ` X ) ) /\ ( x C_ X /\ -. x e. F ) ) -> F C_ ( X filGen ( fi ` ( F u. { ( X \ x ) } ) ) ) ) |
106 |
|
sstr2 |
|- ( F C_ ( X filGen ( fi ` ( F u. { ( X \ x ) } ) ) ) -> ( ( X filGen ( fi ` ( F u. { ( X \ x ) } ) ) ) C_ f -> F C_ f ) ) |
107 |
105 106
|
syl |
|- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ g e. ( UFil ` X ) ) /\ ( x C_ X /\ -. x e. F ) ) -> ( ( X filGen ( fi ` ( F u. { ( X \ x ) } ) ) ) C_ f -> F C_ f ) ) |
108 |
107
|
imim1d |
|- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ g e. ( UFil ` X ) ) /\ ( x C_ X /\ -. x e. F ) ) -> ( ( F C_ f -> f = g ) -> ( ( X filGen ( fi ` ( F u. { ( X \ x ) } ) ) ) C_ f -> f = g ) ) ) |
109 |
|
sseq2 |
|- ( f = g -> ( ( X filGen ( fi ` ( F u. { ( X \ x ) } ) ) ) C_ f <-> ( X filGen ( fi ` ( F u. { ( X \ x ) } ) ) ) C_ g ) ) |
110 |
109
|
biimpcd |
|- ( ( X filGen ( fi ` ( F u. { ( X \ x ) } ) ) ) C_ f -> ( f = g -> ( X filGen ( fi ` ( F u. { ( X \ x ) } ) ) ) C_ g ) ) |
111 |
110
|
a2i |
|- ( ( ( X filGen ( fi ` ( F u. { ( X \ x ) } ) ) ) C_ f -> f = g ) -> ( ( X filGen ( fi ` ( F u. { ( X \ x ) } ) ) ) C_ f -> ( X filGen ( fi ` ( F u. { ( X \ x ) } ) ) ) C_ g ) ) |
112 |
95 108 111
|
syl56 |
|- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ g e. ( UFil ` X ) ) /\ ( x C_ X /\ -. x e. F ) ) -> ( ( F C_ f <-> f = g ) -> ( ( X filGen ( fi ` ( F u. { ( X \ x ) } ) ) ) C_ f -> ( X filGen ( fi ` ( F u. { ( X \ x ) } ) ) ) C_ g ) ) ) |
113 |
112
|
impd |
|- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ g e. ( UFil ` X ) ) /\ ( x C_ X /\ -. x e. F ) ) -> ( ( ( F C_ f <-> f = g ) /\ ( X filGen ( fi ` ( F u. { ( X \ x ) } ) ) ) C_ f ) -> ( X filGen ( fi ` ( F u. { ( X \ x ) } ) ) ) C_ g ) ) |
114 |
113
|
rexlimdvw |
|- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ g e. ( UFil ` X ) ) /\ ( x C_ X /\ -. x e. F ) ) -> ( E. f e. ( UFil ` X ) ( ( F C_ f <-> f = g ) /\ ( X filGen ( fi ` ( F u. { ( X \ x ) } ) ) ) C_ f ) -> ( X filGen ( fi ` ( F u. { ( X \ x ) } ) ) ) C_ g ) ) |
115 |
94 114
|
syl5 |
|- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ g e. ( UFil ` X ) ) /\ ( x C_ X /\ -. x e. F ) ) -> ( ( A. f e. ( UFil ` X ) ( F C_ f <-> f = g ) /\ E. f e. ( UFil ` X ) ( X filGen ( fi ` ( F u. { ( X \ x ) } ) ) ) C_ f ) -> ( X filGen ( fi ` ( F u. { ( X \ x ) } ) ) ) C_ g ) ) |
116 |
93 115
|
mpan2d |
|- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ g e. ( UFil ` X ) ) /\ ( x C_ X /\ -. x e. F ) ) -> ( A. f e. ( UFil ` X ) ( F C_ f <-> f = g ) -> ( X filGen ( fi ` ( F u. { ( X \ x ) } ) ) ) C_ g ) ) |
117 |
116
|
imp |
|- ( ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ g e. ( UFil ` X ) ) /\ ( x C_ X /\ -. x e. F ) ) /\ A. f e. ( UFil ` X ) ( F C_ f <-> f = g ) ) -> ( X filGen ( fi ` ( F u. { ( X \ x ) } ) ) ) C_ g ) |
118 |
117
|
an32s |
|- ( ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ g e. ( UFil ` X ) ) /\ A. f e. ( UFil ` X ) ( F C_ f <-> f = g ) ) /\ ( x C_ X /\ -. x e. F ) ) -> ( X filGen ( fi ` ( F u. { ( X \ x ) } ) ) ) C_ g ) |
119 |
|
snidg |
|- ( ( X \ x ) e. _V -> ( X \ x ) e. { ( X \ x ) } ) |
120 |
31 119
|
syl |
|- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ g e. ( UFil ` X ) ) /\ ( x C_ X /\ -. x e. F ) ) -> ( X \ x ) e. { ( X \ x ) } ) |
121 |
|
elun2 |
|- ( ( X \ x ) e. { ( X \ x ) } -> ( X \ x ) e. ( F u. { ( X \ x ) } ) ) |
122 |
120 121
|
syl |
|- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ g e. ( UFil ` X ) ) /\ ( x C_ X /\ -. x e. F ) ) -> ( X \ x ) e. ( F u. { ( X \ x ) } ) ) |
123 |
104 122
|
sseldd |
|- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ g e. ( UFil ` X ) ) /\ ( x C_ X /\ -. x e. F ) ) -> ( X \ x ) e. ( X filGen ( fi ` ( F u. { ( X \ x ) } ) ) ) ) |
124 |
123
|
adantlr |
|- ( ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ g e. ( UFil ` X ) ) /\ A. f e. ( UFil ` X ) ( F C_ f <-> f = g ) ) /\ ( x C_ X /\ -. x e. F ) ) -> ( X \ x ) e. ( X filGen ( fi ` ( F u. { ( X \ x ) } ) ) ) ) |
125 |
118 124
|
sseldd |
|- ( ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ g e. ( UFil ` X ) ) /\ A. f e. ( UFil ` X ) ( F C_ f <-> f = g ) ) /\ ( x C_ X /\ -. x e. F ) ) -> ( X \ x ) e. g ) |
126 |
|
simpllr |
|- ( ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ g e. ( UFil ` X ) ) /\ A. f e. ( UFil ` X ) ( F C_ f <-> f = g ) ) /\ ( x C_ X /\ -. x e. F ) ) -> g e. ( UFil ` X ) ) |
127 |
|
simprl |
|- ( ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ g e. ( UFil ` X ) ) /\ A. f e. ( UFil ` X ) ( F C_ f <-> f = g ) ) /\ ( x C_ X /\ -. x e. F ) ) -> x C_ X ) |
128 |
|
ufilb |
|- ( ( g e. ( UFil ` X ) /\ x C_ X ) -> ( -. x e. g <-> ( X \ x ) e. g ) ) |
129 |
126 127 128
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ g e. ( UFil ` X ) ) /\ A. f e. ( UFil ` X ) ( F C_ f <-> f = g ) ) /\ ( x C_ X /\ -. x e. F ) ) -> ( -. x e. g <-> ( X \ x ) e. g ) ) |
130 |
125 129
|
mpbird |
|- ( ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ g e. ( UFil ` X ) ) /\ A. f e. ( UFil ` X ) ( F C_ f <-> f = g ) ) /\ ( x C_ X /\ -. x e. F ) ) -> -. x e. g ) |
131 |
130
|
expr |
|- ( ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ g e. ( UFil ` X ) ) /\ A. f e. ( UFil ` X ) ( F C_ f <-> f = g ) ) /\ x C_ X ) -> ( -. x e. F -> -. x e. g ) ) |
132 |
131
|
con4d |
|- ( ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ g e. ( UFil ` X ) ) /\ A. f e. ( UFil ` X ) ( F C_ f <-> f = g ) ) /\ x C_ X ) -> ( x e. g -> x e. F ) ) |
133 |
132
|
ex |
|- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ g e. ( UFil ` X ) ) /\ A. f e. ( UFil ` X ) ( F C_ f <-> f = g ) ) -> ( x C_ X -> ( x e. g -> x e. F ) ) ) |
134 |
133
|
com23 |
|- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ g e. ( UFil ` X ) ) /\ A. f e. ( UFil ` X ) ( F C_ f <-> f = g ) ) -> ( x e. g -> ( x C_ X -> x e. F ) ) ) |
135 |
24 134
|
mpdd |
|- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ g e. ( UFil ` X ) ) /\ A. f e. ( UFil ` X ) ( F C_ f <-> f = g ) ) -> ( x e. g -> x e. F ) ) |
136 |
135
|
ssrdv |
|- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ g e. ( UFil ` X ) ) /\ A. f e. ( UFil ` X ) ( F C_ f <-> f = g ) ) -> g C_ F ) |
137 |
19 136
|
eqssd |
|- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ g e. ( UFil ` X ) ) /\ A. f e. ( UFil ` X ) ( F C_ f <-> f = g ) ) -> F = g ) |
138 |
|
simplr |
|- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ g e. ( UFil ` X ) ) /\ A. f e. ( UFil ` X ) ( F C_ f <-> f = g ) ) -> g e. ( UFil ` X ) ) |
139 |
137 138
|
eqeltrd |
|- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ g e. ( UFil ` X ) ) /\ A. f e. ( UFil ` X ) ( F C_ f <-> f = g ) ) -> F e. ( UFil ` X ) ) |
140 |
139
|
rexlimdva2 |
|- ( F e. ( Fil ` X ) -> ( E. g e. ( UFil ` X ) A. f e. ( UFil ` X ) ( F C_ f <-> f = g ) -> F e. ( UFil ` X ) ) ) |
141 |
13 140
|
syl5bi |
|- ( F e. ( Fil ` X ) -> ( E! f e. ( UFil ` X ) F C_ f -> F e. ( UFil ` X ) ) ) |
142 |
12 141
|
impbid2 |
|- ( F e. ( Fil ` X ) -> ( F e. ( UFil ` X ) <-> E! f e. ( UFil ` X ) F C_ f ) ) |