Theorem unass

Description: Associative law for union of classes. Exercise 8 of TakeutiZaring p. 17. (Contributed by NM, 3-May-1994) (Proof shortened by Andrew Salmon, 26-Jun-2011)

	Ref	Expression
Assertion	unass	|- ( ( A u. B ) u. C ) = ( A u. ( B u. C ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elun	|- ( x e. ( A u. ( B u. C ) ) <-> ( x e. A \/ x e. ( B u. C ) ) )
2		elun	|- ( x e. ( B u. C ) <-> ( x e. B \/ x e. C ) )
3	2	orbi2i	|- ( ( x e. A \/ x e. ( B u. C ) ) <-> ( x e. A \/ ( x e. B \/ x e. C ) ) )
4		elun	|- ( x e. ( A u. B ) <-> ( x e. A \/ x e. B ) )
5	4	orbi1i	|- ( ( x e. ( A u. B ) \/ x e. C ) <-> ( ( x e. A \/ x e. B ) \/ x e. C ) )
6		orass	|- ( ( ( x e. A \/ x e. B ) \/ x e. C ) <-> ( x e. A \/ ( x e. B \/ x e. C ) ) )
7	5 6	bitr2i	|- ( ( x e. A \/ ( x e. B \/ x e. C ) ) <-> ( x e. ( A u. B ) \/ x e. C ) )
8	1 3 7	3bitrri	|- ( ( x e. ( A u. B ) \/ x e. C ) <-> x e. ( A u. ( B u. C ) ) )
9	8	uneqri	|- ( ( A u. B ) u. C ) = ( A u. ( B u. C ) )