Theorem unissb

Description: Relationship involving membership, subset, and union. Exercise 5 of Enderton p. 26 and its converse. (Contributed by NM, 20-Sep-2003) Avoid ax-11 . (Revised by BTernaryTau, 28-Dec-2024)

	Ref	Expression
Assertion	unissb	|- ( U. A C_ B <-> A. x e. A x C_ B )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluni	|- ( y e. U. A <-> E. x ( y e. x /\ x e. A ) )
2	1	imbi1i	|- ( ( y e. U. A -> y e. B ) <-> ( E. x ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. B ) )
3		19.23v	|- ( A. x ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. B ) <-> ( E. x ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. B ) )
4	2 3	bitr4i	|- ( ( y e. U. A -> y e. B ) <-> A. x ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. B ) )
5	4	albii	|- ( A. y ( y e. U. A -> y e. B ) <-> A. y A. x ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. B ) )
6		elequ1	|- ( y = z -> ( y e. x <-> z e. x ) )
7	6	anbi1d	|- ( y = z -> ( ( y e. x /\ x e. A ) <-> ( z e. x /\ x e. A ) ) )
8		eleq1w	|- ( y = z -> ( y e. B <-> z e. B ) )
9	7 8	imbi12d	|- ( y = z -> ( ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. B ) <-> ( ( z e. x /\ x e. A ) -> z e. B ) ) )
10		elequ2	|- ( x = z -> ( y e. x <-> y e. z ) )
11		eleq1w	|- ( x = z -> ( x e. A <-> z e. A ) )
12	10 11	anbi12d	|- ( x = z -> ( ( y e. x /\ x e. A ) <-> ( y e. z /\ z e. A ) ) )
13	12	imbi1d	|- ( x = z -> ( ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. B ) <-> ( ( y e. z /\ z e. A ) -> y e. B ) ) )
14	9 13	alcomw	|- ( A. y A. x ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. B ) <-> A. x A. y ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. B ) )
15		19.21v	|- ( A. y ( x e. A -> ( y e. x -> y e. B ) ) <-> ( x e. A -> A. y ( y e. x -> y e. B ) ) )
16		impexp	|- ( ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. B ) <-> ( y e. x -> ( x e. A -> y e. B ) ) )
17		bi2.04	|- ( ( y e. x -> ( x e. A -> y e. B ) ) <-> ( x e. A -> ( y e. x -> y e. B ) ) )
18	16 17	bitri	|- ( ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. B ) <-> ( x e. A -> ( y e. x -> y e. B ) ) )
19	18	albii	|- ( A. y ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. B ) <-> A. y ( x e. A -> ( y e. x -> y e. B ) ) )
20		dfss2	|- ( x C_ B <-> A. y ( y e. x -> y e. B ) )
21	20	imbi2i	|- ( ( x e. A -> x C_ B ) <-> ( x e. A -> A. y ( y e. x -> y e. B ) ) )
22	15 19 21	3bitr4i	|- ( A. y ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. B ) <-> ( x e. A -> x C_ B ) )
23	22	albii	|- ( A. x A. y ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. B ) <-> A. x ( x e. A -> x C_ B ) )
24	14 23	bitri	|- ( A. y A. x ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. B ) <-> A. x ( x e. A -> x C_ B ) )
25	5 24	bitri	|- ( A. y ( y e. U. A -> y e. B ) <-> A. x ( x e. A -> x C_ B ) )
26		dfss2	|- ( U. A C_ B <-> A. y ( y e. U. A -> y e. B ) )
27		df-ral	|- ( A. x e. A x C_ B <-> A. x ( x e. A -> x C_ B ) )
28	25 26 27	3bitr4i	|- ( U. A C_ B <-> A. x e. A x C_ B )