Theorem uniun

Description: The class union of the union of two classes. Theorem 8.3 of Quine p. 53. (Contributed by NM, 20-Aug-1993)

	Ref	Expression
Assertion	uniun	|- U. ( A u. B ) = ( U. A u. U. B )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		19.43	|- ( E. y ( ( x e. y /\ y e. A ) \/ ( x e. y /\ y e. B ) ) <-> ( E. y ( x e. y /\ y e. A ) \/ E. y ( x e. y /\ y e. B ) ) )
2		elun	|- ( y e. ( A u. B ) <-> ( y e. A \/ y e. B ) )
3	2	anbi2i	|- ( ( x e. y /\ y e. ( A u. B ) ) <-> ( x e. y /\ ( y e. A \/ y e. B ) ) )
4		andi	|- ( ( x e. y /\ ( y e. A \/ y e. B ) ) <-> ( ( x e. y /\ y e. A ) \/ ( x e. y /\ y e. B ) ) )
5	3 4	bitri	|- ( ( x e. y /\ y e. ( A u. B ) ) <-> ( ( x e. y /\ y e. A ) \/ ( x e. y /\ y e. B ) ) )
6	5	exbii	|- ( E. y ( x e. y /\ y e. ( A u. B ) ) <-> E. y ( ( x e. y /\ y e. A ) \/ ( x e. y /\ y e. B ) ) )
7		eluni	|- ( x e. U. A <-> E. y ( x e. y /\ y e. A ) )
8		eluni	|- ( x e. U. B <-> E. y ( x e. y /\ y e. B ) )
9	7 8	orbi12i	|- ( ( x e. U. A \/ x e. U. B ) <-> ( E. y ( x e. y /\ y e. A ) \/ E. y ( x e. y /\ y e. B ) ) )
10	1 6 9	3bitr4i	|- ( E. y ( x e. y /\ y e. ( A u. B ) ) <-> ( x e. U. A \/ x e. U. B ) )
11		eluni	|- ( x e. U. ( A u. B ) <-> E. y ( x e. y /\ y e. ( A u. B ) ) )
12		elun	|- ( x e. ( U. A u. U. B ) <-> ( x e. U. A \/ x e. U. B ) )
13	10 11 12	3bitr4i	|- ( x e. U. ( A u. B ) <-> x e. ( U. A u. U. B ) )
14	13	eqriv	|- U. ( A u. B ) = ( U. A u. U. B )