Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
unab |
|- ( { z | E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) } u. { z | E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ps ) } ) = { z | ( E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) \/ E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ps ) ) } |
2 |
|
19.43 |
|- ( E. x ( E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) \/ E. y ( z = <. x , y >. /\ ps ) ) <-> ( E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) \/ E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ps ) ) ) |
3 |
|
andi |
|- ( ( z = <. x , y >. /\ ( ph \/ ps ) ) <-> ( ( z = <. x , y >. /\ ph ) \/ ( z = <. x , y >. /\ ps ) ) ) |
4 |
3
|
exbii |
|- ( E. y ( z = <. x , y >. /\ ( ph \/ ps ) ) <-> E. y ( ( z = <. x , y >. /\ ph ) \/ ( z = <. x , y >. /\ ps ) ) ) |
5 |
|
19.43 |
|- ( E. y ( ( z = <. x , y >. /\ ph ) \/ ( z = <. x , y >. /\ ps ) ) <-> ( E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) \/ E. y ( z = <. x , y >. /\ ps ) ) ) |
6 |
4 5
|
bitr2i |
|- ( ( E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) \/ E. y ( z = <. x , y >. /\ ps ) ) <-> E. y ( z = <. x , y >. /\ ( ph \/ ps ) ) ) |
7 |
6
|
exbii |
|- ( E. x ( E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) \/ E. y ( z = <. x , y >. /\ ps ) ) <-> E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ( ph \/ ps ) ) ) |
8 |
2 7
|
bitr3i |
|- ( ( E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) \/ E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ps ) ) <-> E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ( ph \/ ps ) ) ) |
9 |
8
|
abbii |
|- { z | ( E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) \/ E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ps ) ) } = { z | E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ( ph \/ ps ) ) } |
10 |
1 9
|
eqtri |
|- ( { z | E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) } u. { z | E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ps ) } ) = { z | E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ( ph \/ ps ) ) } |
11 |
|
df-opab |
|- { <. x , y >. | ph } = { z | E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) } |
12 |
|
df-opab |
|- { <. x , y >. | ps } = { z | E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ps ) } |
13 |
11 12
|
uneq12i |
|- ( { <. x , y >. | ph } u. { <. x , y >. | ps } ) = ( { z | E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) } u. { z | E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ps ) } ) |
14 |
|
df-opab |
|- { <. x , y >. | ( ph \/ ps ) } = { z | E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ( ph \/ ps ) ) } |
15 |
10 13 14
|
3eqtr4i |
|- ( { <. x , y >. | ph } u. { <. x , y >. | ps } ) = { <. x , y >. | ( ph \/ ps ) } |