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Theorem ustexhalf

Description: For each entourage V there is an entourage w that is "not more than half as large". Condition U_III of BourbakiTop1 p. II.1. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Dec-2017)

Ref Expression
Assertion ustexhalf 
|- ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ V e. U ) -> E. w e. U ( w o. w ) C_ V )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 elfvex 
 |-  ( U e. ( UnifOn ` X ) -> X e. _V )
2 isust 
 |-  ( X e. _V -> ( U e. ( UnifOn ` X ) <-> ( U C_ ~P ( X X. X ) /\ ( X X. X ) e. U /\ A. v e. U ( A. w e. ~P ( X X. X ) ( v C_ w -> w e. U ) /\ A. w e. U ( v i^i w ) e. U /\ ( ( _I |` X ) C_ v /\ `' v e. U /\ E. w e. U ( w o. w ) C_ v ) ) ) ) )
3 1 2 syl 
 |-  ( U e. ( UnifOn ` X ) -> ( U e. ( UnifOn ` X ) <-> ( U C_ ~P ( X X. X ) /\ ( X X. X ) e. U /\ A. v e. U ( A. w e. ~P ( X X. X ) ( v C_ w -> w e. U ) /\ A. w e. U ( v i^i w ) e. U /\ ( ( _I |` X ) C_ v /\ `' v e. U /\ E. w e. U ( w o. w ) C_ v ) ) ) ) )
4 3 ibi 
 |-  ( U e. ( UnifOn ` X ) -> ( U C_ ~P ( X X. X ) /\ ( X X. X ) e. U /\ A. v e. U ( A. w e. ~P ( X X. X ) ( v C_ w -> w e. U ) /\ A. w e. U ( v i^i w ) e. U /\ ( ( _I |` X ) C_ v /\ `' v e. U /\ E. w e. U ( w o. w ) C_ v ) ) ) )
5 4 simp3d 
 |-  ( U e. ( UnifOn ` X ) -> A. v e. U ( A. w e. ~P ( X X. X ) ( v C_ w -> w e. U ) /\ A. w e. U ( v i^i w ) e. U /\ ( ( _I |` X ) C_ v /\ `' v e. U /\ E. w e. U ( w o. w ) C_ v ) ) )
6 sseq1 
 |-  ( v = V -> ( v C_ w <-> V C_ w ) )
7 6 imbi1d 
 |-  ( v = V -> ( ( v C_ w -> w e. U ) <-> ( V C_ w -> w e. U ) ) )
8 7 ralbidv 
 |-  ( v = V -> ( A. w e. ~P ( X X. X ) ( v C_ w -> w e. U ) <-> A. w e. ~P ( X X. X ) ( V C_ w -> w e. U ) ) )
9 ineq1 
 |-  ( v = V -> ( v i^i w ) = ( V i^i w ) )
10 9 eleq1d 
 |-  ( v = V -> ( ( v i^i w ) e. U <-> ( V i^i w ) e. U ) )
11 10 ralbidv 
 |-  ( v = V -> ( A. w e. U ( v i^i w ) e. U <-> A. w e. U ( V i^i w ) e. U ) )
12 sseq2 
 |-  ( v = V -> ( ( _I |` X ) C_ v <-> ( _I |` X ) C_ V ) )
13 cnveq 
 |-  ( v = V -> `' v = `' V )
14 13 eleq1d 
 |-  ( v = V -> ( `' v e. U <-> `' V e. U ) )
15 sseq2 
 |-  ( v = V -> ( ( w o. w ) C_ v <-> ( w o. w ) C_ V ) )
16 15 rexbidv 
 |-  ( v = V -> ( E. w e. U ( w o. w ) C_ v <-> E. w e. U ( w o. w ) C_ V ) )
17 12 14 16 3anbi123d 
 |-  ( v = V -> ( ( ( _I |` X ) C_ v /\ `' v e. U /\ E. w e. U ( w o. w ) C_ v ) <-> ( ( _I |` X ) C_ V /\ `' V e. U /\ E. w e. U ( w o. w ) C_ V ) ) )
18 8 11 17 3anbi123d 
 |-  ( v = V -> ( ( A. w e. ~P ( X X. X ) ( v C_ w -> w e. U ) /\ A. w e. U ( v i^i w ) e. U /\ ( ( _I |` X ) C_ v /\ `' v e. U /\ E. w e. U ( w o. w ) C_ v ) ) <-> ( A. w e. ~P ( X X. X ) ( V C_ w -> w e. U ) /\ A. w e. U ( V i^i w ) e. U /\ ( ( _I |` X ) C_ V /\ `' V e. U /\ E. w e. U ( w o. w ) C_ V ) ) ) )
19 18 rspcv 
 |-  ( V e. U -> ( A. v e. U ( A. w e. ~P ( X X. X ) ( v C_ w -> w e. U ) /\ A. w e. U ( v i^i w ) e. U /\ ( ( _I |` X ) C_ v /\ `' v e. U /\ E. w e. U ( w o. w ) C_ v ) ) -> ( A. w e. ~P ( X X. X ) ( V C_ w -> w e. U ) /\ A. w e. U ( V i^i w ) e. U /\ ( ( _I |` X ) C_ V /\ `' V e. U /\ E. w e. U ( w o. w ) C_ V ) ) ) )
20 5 19 mpan9 
 |-  ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ V e. U ) -> ( A. w e. ~P ( X X. X ) ( V C_ w -> w e. U ) /\ A. w e. U ( V i^i w ) e. U /\ ( ( _I |` X ) C_ V /\ `' V e. U /\ E. w e. U ( w o. w ) C_ V ) ) )
21 20 simp3d 
 |-  ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ V e. U ) -> ( ( _I |` X ) C_ V /\ `' V e. U /\ E. w e. U ( w o. w ) C_ V ) )
22 21 simp3d 
 |-  ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ V e. U ) -> E. w e. U ( w o. w ) C_ V )