Theorem uzubico2

Description: The upper integers are unbounded above. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022)

	Ref	Expression
Hypotheses	uzubico2.1	|- ( ph -> M e. ZZ )
	uzubico2.2	|- Z = ( ZZ>= ` M )
Assertion	uzubico2	|- ( ph -> A. x e. RR E. k e. ( x [,) +oo ) k e. Z )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzubico2.1	|- ( ph -> M e. ZZ )
2		uzubico2.2	|- Z = ( ZZ>= ` M )
3	1 2	uzubioo2	|- ( ph -> A. x e. RR E. k e. ( x (,) +oo ) k e. Z )
4		ioossico	|- ( x (,) +oo ) C_ ( x [,) +oo )
5		ssrexv	|- ( ( x (,) +oo ) C_ ( x [,) +oo ) -> ( E. k e. ( x (,) +oo ) k e. Z -> E. k e. ( x [,) +oo ) k e. Z ) )
6	4 5	ax-mp	|- ( E. k e. ( x (,) +oo ) k e. Z -> E. k e. ( x [,) +oo ) k e. Z )
7	6	ralimi	|- ( A. x e. RR E. k e. ( x (,) +oo ) k e. Z -> A. x e. RR E. k e. ( x [,) +oo ) k e. Z )
8	3 7	syl	|- ( ph -> A. x e. RR E. k e. ( x [,) +oo ) k e. Z )