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Theorem wksonproplem

Description: Lemma for theorems for properties of walks between two vertices, e.g., trlsonprop . (Contributed by AV, 16-Jan-2021)

Ref Expression
Hypotheses wksonproplem.v 
|- V = ( Vtx ` G )
wksonproplem.b 
|- ( ( ( G e. _V /\ A e. V /\ B e. V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) -> ( F ( A ( W ` G ) B ) P <-> ( F ( A ( O ` G ) B ) P /\ F ( Q ` G ) P ) ) )
wksonproplem.d 
|- W = ( g e. _V |-> ( a e. ( Vtx ` g ) , b e. ( Vtx ` g ) |-> { <. f , p >. | ( f ( a ( O ` g ) b ) p /\ f ( Q ` g ) p ) } ) )
wksonproplem.w 
|- ( ( ( G e. _V /\ A e. V /\ B e. V ) /\ f ( Q ` G ) p ) -> f ( Walks ` G ) p )
Assertion wksonproplem 
|- ( F ( A ( W ` G ) B ) P -> ( ( G e. _V /\ A e. V /\ B e. V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) /\ ( F ( A ( O ` G ) B ) P /\ F ( Q ` G ) P ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 wksonproplem.v 
 |-  V = ( Vtx ` G )
2 wksonproplem.b 
 |-  ( ( ( G e. _V /\ A e. V /\ B e. V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) -> ( F ( A ( W ` G ) B ) P <-> ( F ( A ( O ` G ) B ) P /\ F ( Q ` G ) P ) ) )
3 wksonproplem.d 
 |-  W = ( g e. _V |-> ( a e. ( Vtx ` g ) , b e. ( Vtx ` g ) |-> { <. f , p >. | ( f ( a ( O ` g ) b ) p /\ f ( Q ` g ) p ) } ) )
4 wksonproplem.w 
 |-  ( ( ( G e. _V /\ A e. V /\ B e. V ) /\ f ( Q ` G ) p ) -> f ( Walks ` G ) p )
5 1 fvexi 
 |-  V e. _V
6 simp1 
 |-  ( ( G e. _V /\ A e. V /\ B e. V ) -> G e. _V )
7 simp2 
 |-  ( ( G e. _V /\ A e. V /\ B e. V ) -> A e. V )
8 7 1 eleqtrdi 
 |-  ( ( G e. _V /\ A e. V /\ B e. V ) -> A e. ( Vtx ` G ) )
9 simp3 
 |-  ( ( G e. _V /\ A e. V /\ B e. V ) -> B e. V )
10 9 1 eleqtrdi 
 |-  ( ( G e. _V /\ A e. V /\ B e. V ) -> B e. ( Vtx ` G ) )
11 wksv 
 |-  { <. f , p >. | f ( Walks ` G ) p } e. _V
12 11 a1i 
 |-  ( ( G e. _V /\ A e. V /\ B e. V ) -> { <. f , p >. | f ( Walks ` G ) p } e. _V )
13 6 8 10 12 4 3 mptmpoopabovd 
 |-  ( ( G e. _V /\ A e. V /\ B e. V ) -> ( A ( W ` G ) B ) = { <. f , p >. | ( f ( A ( O ` G ) B ) p /\ f ( Q ` G ) p ) } )
14 fveq2 
 |-  ( g = G -> ( Vtx ` g ) = ( Vtx ` G ) )
15 14 1 eqtr4di 
 |-  ( g = G -> ( Vtx ` g ) = V )
16 fveq2 
 |-  ( g = G -> ( O ` g ) = ( O ` G ) )
17 16 oveqd 
 |-  ( g = G -> ( a ( O ` g ) b ) = ( a ( O ` G ) b ) )
18 17 breqd 
 |-  ( g = G -> ( f ( a ( O ` g ) b ) p <-> f ( a ( O ` G ) b ) p ) )
19 fveq2 
 |-  ( g = G -> ( Q ` g ) = ( Q ` G ) )
20 19 breqd 
 |-  ( g = G -> ( f ( Q ` g ) p <-> f ( Q ` G ) p ) )
21 18 20 anbi12d 
 |-  ( g = G -> ( ( f ( a ( O ` g ) b ) p /\ f ( Q ` g ) p ) <-> ( f ( a ( O ` G ) b ) p /\ f ( Q ` G ) p ) ) )
22 3 13 15 15 21 bropfvvvv 
 |-  ( ( V e. _V /\ V e. _V ) -> ( F ( A ( W ` G ) B ) P -> ( G e. _V /\ ( A e. V /\ B e. V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) ) )
23 5 5 22 mp2an 
 |-  ( F ( A ( W ` G ) B ) P -> ( G e. _V /\ ( A e. V /\ B e. V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) )
24 3anass 
 |-  ( ( G e. _V /\ A e. V /\ B e. V ) <-> ( G e. _V /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) )
25 24 anbi1i 
 |-  ( ( ( G e. _V /\ A e. V /\ B e. V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) <-> ( ( G e. _V /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) )
26 df-3an 
 |-  ( ( G e. _V /\ ( A e. V /\ B e. V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) <-> ( ( G e. _V /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) )
27 25 26 bitr4i 
 |-  ( ( ( G e. _V /\ A e. V /\ B e. V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) <-> ( G e. _V /\ ( A e. V /\ B e. V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) )
28 23 27 sylibr 
 |-  ( F ( A ( W ` G ) B ) P -> ( ( G e. _V /\ A e. V /\ B e. V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) )
29 2 biimpd 
 |-  ( ( ( G e. _V /\ A e. V /\ B e. V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) -> ( F ( A ( W ` G ) B ) P -> ( F ( A ( O ` G ) B ) P /\ F ( Q ` G ) P ) ) )
30 29 imdistani 
 |-  ( ( ( ( G e. _V /\ A e. V /\ B e. V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) /\ F ( A ( W ` G ) B ) P ) -> ( ( ( G e. _V /\ A e. V /\ B e. V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) /\ ( F ( A ( O ` G ) B ) P /\ F ( Q ` G ) P ) ) )
31 28 30 mpancom 
 |-  ( F ( A ( W ` G ) B ) P -> ( ( ( G e. _V /\ A e. V /\ B e. V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) /\ ( F ( A ( O ` G ) B ) P /\ F ( Q ` G ) P ) ) )
32 df-3an 
 |-  ( ( ( G e. _V /\ A e. V /\ B e. V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) /\ ( F ( A ( O ` G ) B ) P /\ F ( Q ` G ) P ) ) <-> ( ( ( G e. _V /\ A e. V /\ B e. V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) /\ ( F ( A ( O ` G ) B ) P /\ F ( Q ` G ) P ) ) )
33 31 32 sylibr 
 |-  ( F ( A ( W ` G ) B ) P -> ( ( G e. _V /\ A e. V /\ B e. V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) /\ ( F ( A ( O ` G ) B ) P /\ F ( Q ` G ) P ) ) )