Theorem wrdval

Description: Value of the set of words over a set. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Aug-2015) (Revised by Mario Carneiro, 26-Feb-2016)

	Ref	Expression
Assertion	wrdval	|- ( S e. V -> Word S = U_ l e. NN0 ( S ^m ( 0 ..^ l ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-word	|- Word S = { w | E. l e. NN0 w : ( 0 ..^ l ) --> S }
2		eliun	|- ( w e. U_ l e. NN0 ( S ^m ( 0 ..^ l ) ) <-> E. l e. NN0 w e. ( S ^m ( 0 ..^ l ) ) )
3		ovex	|- ( 0 ..^ l ) e. _V
4		elmapg	|- ( ( S e. V /\ ( 0 ..^ l ) e. _V ) -> ( w e. ( S ^m ( 0 ..^ l ) ) <-> w : ( 0 ..^ l ) --> S ) )
5	3 4	mpan2	|- ( S e. V -> ( w e. ( S ^m ( 0 ..^ l ) ) <-> w : ( 0 ..^ l ) --> S ) )
6	5	rexbidv	|- ( S e. V -> ( E. l e. NN0 w e. ( S ^m ( 0 ..^ l ) ) <-> E. l e. NN0 w : ( 0 ..^ l ) --> S ) )
7	2 6	syl5bb	|- ( S e. V -> ( w e. U_ l e. NN0 ( S ^m ( 0 ..^ l ) ) <-> E. l e. NN0 w : ( 0 ..^ l ) --> S ) )
8	7	abbi2dv	|- ( S e. V -> U_ l e. NN0 ( S ^m ( 0 ..^ l ) ) = { w | E. l e. NN0 w : ( 0 ..^ l ) --> S } )
9	1 8	eqtr4id	|- ( S e. V -> Word S = U_ l e. NN0 ( S ^m ( 0 ..^ l ) ) )