Theorem zfun

Description: Axiom of Union expressed with the fewest number of different variables. (Contributed by NM, 14-Aug-2003) Use ax-un instead. (New usage is discouraged.)

	Ref	Expression
Assertion	zfun	|- E. x A. y ( E. x ( y e. x /\ x e. z ) -> y e. x )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-un	|- E. x A. y ( E. w ( y e. w /\ w e. z ) -> y e. x )
2		elequ2	|- ( w = x -> ( y e. w <-> y e. x ) )
3		elequ1	|- ( w = x -> ( w e. z <-> x e. z ) )
4	2 3	anbi12d	|- ( w = x -> ( ( y e. w /\ w e. z ) <-> ( y e. x /\ x e. z ) ) )
5	4	cbvexvw	|- ( E. w ( y e. w /\ w e. z ) <-> E. x ( y e. x /\ x e. z ) )
6	5	imbi1i	|- ( ( E. w ( y e. w /\ w e. z ) -> y e. x ) <-> ( E. x ( y e. x /\ x e. z ) -> y e. x ) )
7	6	albii	|- ( A. y ( E. w ( y e. w /\ w e. z ) -> y e. x ) <-> A. y ( E. x ( y e. x /\ x e. z ) -> y e. x ) )
8	7	exbii	|- ( E. x A. y ( E. w ( y e. w /\ w e. z ) -> y e. x ) <-> E. x A. y ( E. x ( y e. x /\ x e. z ) -> y e. x ) )
9	1 8	mpbi	|- E. x A. y ( E. x ( y e. x /\ x e. z ) -> y e. x )