Theorem 3dimlem1

Description: Lemma for 3dim1 . (Contributed by NM, 25-Jul-2012)

	Ref	Expression
Hypotheses	3dim0.j	$$⊢\underset{\dot{}}{\vee }=\mathrm{join}\left(K\right)$$
	3dim0.l	$$⊢\underset{\dot{}}{\le }={\le }_K$$
	3dim0.a	$$⊢A=\mathrm{Atoms}\left(K\right)$$
Assertion	3dimlem1	$$⊢\left(\left(Q\ne R\wedge \neg S\underset{\dot{}}{\le }\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\wedge \neg T\underset{\dot{}}{\le }\left(\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\underset{\dot{}}{\vee }S\right)\right)\wedge P=Q\right)\to \left(P\ne R\wedge \neg S\underset{\dot{}}{\le }\left(P\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\wedge \neg T\underset{\dot{}}{\le }\left(\left(P\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\underset{\dot{}}{\vee }S\right)\right)$$

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3dim0.j	$$⊢\underset{\dot{}}{\vee }=\mathrm{join}\left(K\right)$$
2		3dim0.l	$$⊢\underset{\dot{}}{\le }={\le }_K$$
3		3dim0.a	$$⊢A=\mathrm{Atoms}\left(K\right)$$
4		neeq1	$$⊢P=Q\to \left(P\ne R\leftrightarrow Q\ne R\right)$$
5		oveq1	$$⊢P=Q\to P\underset{\dot{}}{\vee }R=Q\underset{\dot{}}{\vee }R$$
6	5	breq2d	$$⊢P=Q\to \left(S\underset{\dot{}}{\le }\left(P\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\leftrightarrow S\underset{\dot{}}{\le }\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\right)$$
7	6	notbid	$$⊢P=Q\to \left(\neg S\underset{\dot{}}{\le }\left(P\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\leftrightarrow \neg S\underset{\dot{}}{\le }\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\right)$$
8	5	oveq1d	$$⊢P=Q\to \left(P\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\underset{\dot{}}{\vee }S=\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\underset{\dot{}}{\vee }S$$
9	8	breq2d	$$⊢P=Q\to \left(T\underset{\dot{}}{\le }\left(\left(P\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\underset{\dot{}}{\vee }S\right)\leftrightarrow T\underset{\dot{}}{\le }\left(\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\underset{\dot{}}{\vee }S\right)\right)$$
10	9	notbid	$$⊢P=Q\to \left(\neg T\underset{\dot{}}{\le }\left(\left(P\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\underset{\dot{}}{\vee }S\right)\leftrightarrow \neg T\underset{\dot{}}{\le }\left(\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\underset{\dot{}}{\vee }S\right)\right)$$
11	4 7 10	3anbi123d	$$⊢P=Q\to \left(\left(P\ne R\wedge \neg S\underset{\dot{}}{\le }\left(P\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\wedge \neg T\underset{\dot{}}{\le }\left(\left(P\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\underset{\dot{}}{\vee }S\right)\right)\leftrightarrow \left(Q\ne R\wedge \neg S\underset{\dot{}}{\le }\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\wedge \neg T\underset{\dot{}}{\le }\left(\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\underset{\dot{}}{\vee }S\right)\right)\right)$$
12	11	biimparc	$$⊢\left(\left(Q\ne R\wedge \neg S\underset{\dot{}}{\le }\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\wedge \neg T\underset{\dot{}}{\le }\left(\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\underset{\dot{}}{\vee }S\right)\right)\wedge P=Q\right)\to \left(P\ne R\wedge \neg S\underset{\dot{}}{\le }\left(P\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\wedge \neg T\underset{\dot{}}{\le }\left(\left(P\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\underset{\dot{}}{\vee }S\right)\right)$$