Theorem 3dimlem2

Description: Lemma for 3dim1 . (Contributed by NM, 25-Jul-2012)

	Ref	Expression
Hypotheses	3dim0.j	$$⊢\underset{\dot{}}{\vee }=\mathrm{join}\left(K\right)$$
	3dim0.l	$$⊢\underset{\dot{}}{\le }={\le }_K$$
	3dim0.a	$$⊢A=\mathrm{Atoms}\left(K\right)$$
Assertion	3dimlem2	$$⊢\left(\left(K\in \mathrm{HL}\wedge P\in A\wedge Q\in A\right)\wedge \left(R\in A\wedge \neg S\underset{\dot{}}{\le }\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\wedge \neg T\underset{\dot{}}{\le }\left(\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\underset{\dot{}}{\vee }S\right)\right)\wedge \left(P\ne Q\wedge P\underset{\dot{}}{\le }\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\right)\right)\to \left(P\ne Q\wedge \neg S\underset{\dot{}}{\le }\left(P\underset{\dot{}}{\vee }Q\right)\wedge \neg T\underset{\dot{}}{\le }\left(\left(P\underset{\dot{}}{\vee }Q\right)\underset{\dot{}}{\vee }S\right)\right)$$

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3dim0.j	$$⊢\underset{\dot{}}{\vee }=\mathrm{join}\left(K\right)$$
2		3dim0.l	$$⊢\underset{\dot{}}{\le }={\le }_K$$
3		3dim0.a	$$⊢A=\mathrm{Atoms}\left(K\right)$$
4		simp3l	$$⊢\left(\left(K\in \mathrm{HL}\wedge P\in A\wedge Q\in A\right)\wedge \left(R\in A\wedge \neg S\underset{\dot{}}{\le }\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\wedge \neg T\underset{\dot{}}{\le }\left(\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\underset{\dot{}}{\vee }S\right)\right)\wedge \left(P\ne Q\wedge P\underset{\dot{}}{\le }\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\right)\right)\to P\ne Q$$
5		simp22	$$⊢\left(\left(K\in \mathrm{HL}\wedge P\in A\wedge Q\in A\right)\wedge \left(R\in A\wedge \neg S\underset{\dot{}}{\le }\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\wedge \neg T\underset{\dot{}}{\le }\left(\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\underset{\dot{}}{\vee }S\right)\right)\wedge \left(P\ne Q\wedge P\underset{\dot{}}{\le }\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\right)\right)\to \neg S\underset{\dot{}}{\le }\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)$$
6	1 3	hlatjcom	$$⊢\left(K\in \mathrm{HL}\wedge P\in A\wedge Q\in A\right)\to P\underset{\dot{}}{\vee }Q=Q\underset{\dot{}}{\vee }P$$
7	6	3ad2ant1	$$⊢\left(\left(K\in \mathrm{HL}\wedge P\in A\wedge Q\in A\right)\wedge \left(R\in A\wedge \neg S\underset{\dot{}}{\le }\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\wedge \neg T\underset{\dot{}}{\le }\left(\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\underset{\dot{}}{\vee }S\right)\right)\wedge \left(P\ne Q\wedge P\underset{\dot{}}{\le }\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\right)\right)\to P\underset{\dot{}}{\vee }Q=Q\underset{\dot{}}{\vee }P$$
8		simp3r	$$⊢\left(\left(K\in \mathrm{HL}\wedge P\in A\wedge Q\in A\right)\wedge \left(R\in A\wedge \neg S\underset{\dot{}}{\le }\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\wedge \neg T\underset{\dot{}}{\le }\left(\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\underset{\dot{}}{\vee }S\right)\right)\wedge \left(P\ne Q\wedge P\underset{\dot{}}{\le }\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\right)\right)\to P\underset{\dot{}}{\le }\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)$$
9		simp11	$$⊢\left(\left(K\in \mathrm{HL}\wedge P\in A\wedge Q\in A\right)\wedge \left(R\in A\wedge \neg S\underset{\dot{}}{\le }\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\wedge \neg T\underset{\dot{}}{\le }\left(\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\underset{\dot{}}{\vee }S\right)\right)\wedge \left(P\ne Q\wedge P\underset{\dot{}}{\le }\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\right)\right)\to K\in \mathrm{HL}$$
10		simp12	$$⊢\left(\left(K\in \mathrm{HL}\wedge P\in A\wedge Q\in A\right)\wedge \left(R\in A\wedge \neg S\underset{\dot{}}{\le }\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\wedge \neg T\underset{\dot{}}{\le }\left(\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\underset{\dot{}}{\vee }S\right)\right)\wedge \left(P\ne Q\wedge P\underset{\dot{}}{\le }\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\right)\right)\to P\in A$$
11		simp21	$$⊢\left(\left(K\in \mathrm{HL}\wedge P\in A\wedge Q\in A\right)\wedge \left(R\in A\wedge \neg S\underset{\dot{}}{\le }\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\wedge \neg T\underset{\dot{}}{\le }\left(\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\underset{\dot{}}{\vee }S\right)\right)\wedge \left(P\ne Q\wedge P\underset{\dot{}}{\le }\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\right)\right)\to R\in A$$
12		simp13	$$⊢\left(\left(K\in \mathrm{HL}\wedge P\in A\wedge Q\in A\right)\wedge \left(R\in A\wedge \neg S\underset{\dot{}}{\le }\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\wedge \neg T\underset{\dot{}}{\le }\left(\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\underset{\dot{}}{\vee }S\right)\right)\wedge \left(P\ne Q\wedge P\underset{\dot{}}{\le }\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\right)\right)\to Q\in A$$
13	2 1 3	hlatexchb1	$$⊢\left(K\in \mathrm{HL}\wedge \left(P\in A\wedge R\in A\wedge Q\in A\right)\wedge P\ne Q\right)\to \left(P\underset{\dot{}}{\le }\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\leftrightarrow Q\underset{\dot{}}{\vee }P=Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)$$
14	9 10 11 12 4 13	syl131anc	$$⊢\left(\left(K\in \mathrm{HL}\wedge P\in A\wedge Q\in A\right)\wedge \left(R\in A\wedge \neg S\underset{\dot{}}{\le }\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\wedge \neg T\underset{\dot{}}{\le }\left(\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\underset{\dot{}}{\vee }S\right)\right)\wedge \left(P\ne Q\wedge P\underset{\dot{}}{\le }\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\right)\right)\to \left(P\underset{\dot{}}{\le }\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\leftrightarrow Q\underset{\dot{}}{\vee }P=Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)$$
15	8 14	mpbid	$$⊢\left(\left(K\in \mathrm{HL}\wedge P\in A\wedge Q\in A\right)\wedge \left(R\in A\wedge \neg S\underset{\dot{}}{\le }\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\wedge \neg T\underset{\dot{}}{\le }\left(\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\underset{\dot{}}{\vee }S\right)\right)\wedge \left(P\ne Q\wedge P\underset{\dot{}}{\le }\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\right)\right)\to Q\underset{\dot{}}{\vee }P=Q\underset{\dot{}}{\vee }R$$
16	7 15	eqtrd	$$⊢\left(\left(K\in \mathrm{HL}\wedge P\in A\wedge Q\in A\right)\wedge \left(R\in A\wedge \neg S\underset{\dot{}}{\le }\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\wedge \neg T\underset{\dot{}}{\le }\left(\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\underset{\dot{}}{\vee }S\right)\right)\wedge \left(P\ne Q\wedge P\underset{\dot{}}{\le }\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\right)\right)\to P\underset{\dot{}}{\vee }Q=Q\underset{\dot{}}{\vee }R$$
17	16	breq2d	$$⊢\left(\left(K\in \mathrm{HL}\wedge P\in A\wedge Q\in A\right)\wedge \left(R\in A\wedge \neg S\underset{\dot{}}{\le }\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\wedge \neg T\underset{\dot{}}{\le }\left(\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\underset{\dot{}}{\vee }S\right)\right)\wedge \left(P\ne Q\wedge P\underset{\dot{}}{\le }\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\right)\right)\to \left(S\underset{\dot{}}{\le }\left(P\underset{\dot{}}{\vee }Q\right)\leftrightarrow S\underset{\dot{}}{\le }\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\right)$$
18	5 17	mtbird	$$⊢\left(\left(K\in \mathrm{HL}\wedge P\in A\wedge Q\in A\right)\wedge \left(R\in A\wedge \neg S\underset{\dot{}}{\le }\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\wedge \neg T\underset{\dot{}}{\le }\left(\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\underset{\dot{}}{\vee }S\right)\right)\wedge \left(P\ne Q\wedge P\underset{\dot{}}{\le }\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\right)\right)\to \neg S\underset{\dot{}}{\le }\left(P\underset{\dot{}}{\vee }Q\right)$$
19		simp23	$$⊢\left(\left(K\in \mathrm{HL}\wedge P\in A\wedge Q\in A\right)\wedge \left(R\in A\wedge \neg S\underset{\dot{}}{\le }\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\wedge \neg T\underset{\dot{}}{\le }\left(\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\underset{\dot{}}{\vee }S\right)\right)\wedge \left(P\ne Q\wedge P\underset{\dot{}}{\le }\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\right)\right)\to \neg T\underset{\dot{}}{\le }\left(\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\underset{\dot{}}{\vee }S\right)$$
20	16	oveq1d	$$⊢\left(\left(K\in \mathrm{HL}\wedge P\in A\wedge Q\in A\right)\wedge \left(R\in A\wedge \neg S\underset{\dot{}}{\le }\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\wedge \neg T\underset{\dot{}}{\le }\left(\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\underset{\dot{}}{\vee }S\right)\right)\wedge \left(P\ne Q\wedge P\underset{\dot{}}{\le }\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\right)\right)\to \left(P\underset{\dot{}}{\vee }Q\right)\underset{\dot{}}{\vee }S=\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\underset{\dot{}}{\vee }S$$
21	20	breq2d	$$⊢\left(\left(K\in \mathrm{HL}\wedge P\in A\wedge Q\in A\right)\wedge \left(R\in A\wedge \neg S\underset{\dot{}}{\le }\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\wedge \neg T\underset{\dot{}}{\le }\left(\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\underset{\dot{}}{\vee }S\right)\right)\wedge \left(P\ne Q\wedge P\underset{\dot{}}{\le }\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\right)\right)\to \left(T\underset{\dot{}}{\le }\left(\left(P\underset{\dot{}}{\vee }Q\right)\underset{\dot{}}{\vee }S\right)\leftrightarrow T\underset{\dot{}}{\le }\left(\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\underset{\dot{}}{\vee }S\right)\right)$$
22	19 21	mtbird	$$⊢\left(\left(K\in \mathrm{HL}\wedge P\in A\wedge Q\in A\right)\wedge \left(R\in A\wedge \neg S\underset{\dot{}}{\le }\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\wedge \neg T\underset{\dot{}}{\le }\left(\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\underset{\dot{}}{\vee }S\right)\right)\wedge \left(P\ne Q\wedge P\underset{\dot{}}{\le }\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\right)\right)\to \neg T\underset{\dot{}}{\le }\left(\left(P\underset{\dot{}}{\vee }Q\right)\underset{\dot{}}{\vee }S\right)$$
23	4 18 22	3jca	$$⊢\left(\left(K\in \mathrm{HL}\wedge P\in A\wedge Q\in A\right)\wedge \left(R\in A\wedge \neg S\underset{\dot{}}{\le }\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\wedge \neg T\underset{\dot{}}{\le }\left(\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\underset{\dot{}}{\vee }S\right)\right)\wedge \left(P\ne Q\wedge P\underset{\dot{}}{\le }\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\right)\right)\to \left(P\ne Q\wedge \neg S\underset{\dot{}}{\le }\left(P\underset{\dot{}}{\vee }Q\right)\wedge \neg T\underset{\dot{}}{\le }\left(\left(P\underset{\dot{}}{\vee }Q\right)\underset{\dot{}}{\vee }S\right)\right)$$