Theorem 3dimlem3a

Description: Lemma for 3dim3 . (Contributed by NM, 27-Jul-2012)

	Ref	Expression
Hypotheses	3dim0.j	$$⊢\underset{\dot{}}{\vee }=\mathrm{join}\left(K\right)$$
	3dim0.l	$$⊢\underset{\dot{}}{\le }={\le }_K$$
	3dim0.a	$$⊢A=\mathrm{Atoms}\left(K\right)$$
Assertion	3dimlem3a	$$⊢\left(\left(K\in \mathrm{HL}\wedge P\in A\wedge Q\in A\right)\wedge \left(R\in A\wedge S\in A\right)\wedge \left(\neg T\underset{\dot{}}{\le }\left(\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\underset{\dot{}}{\vee }S\right)\wedge \neg P\underset{\dot{}}{\le }\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\wedge P\underset{\dot{}}{\le }\left(\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\underset{\dot{}}{\vee }S\right)\right)\right)\to \neg T\underset{\dot{}}{\le }\left(\left(P\underset{\dot{}}{\vee }Q\right)\underset{\dot{}}{\vee }R\right)$$

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3dim0.j	$$⊢\underset{\dot{}}{\vee }=\mathrm{join}\left(K\right)$$
2		3dim0.l	$$⊢\underset{\dot{}}{\le }={\le }_K$$
3		3dim0.a	$$⊢A=\mathrm{Atoms}\left(K\right)$$
4		simp31	$$⊢\left(\left(K\in \mathrm{HL}\wedge P\in A\wedge Q\in A\right)\wedge \left(R\in A\wedge S\in A\right)\wedge \left(\neg T\underset{\dot{}}{\le }\left(\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\underset{\dot{}}{\vee }S\right)\wedge \neg P\underset{\dot{}}{\le }\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\wedge P\underset{\dot{}}{\le }\left(\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\underset{\dot{}}{\vee }S\right)\right)\right)\to \neg T\underset{\dot{}}{\le }\left(\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\underset{\dot{}}{\vee }S\right)$$
5		simp11	$$⊢\left(\left(K\in \mathrm{HL}\wedge P\in A\wedge Q\in A\right)\wedge \left(R\in A\wedge S\in A\right)\wedge \left(\neg T\underset{\dot{}}{\le }\left(\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\underset{\dot{}}{\vee }S\right)\wedge \neg P\underset{\dot{}}{\le }\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\wedge P\underset{\dot{}}{\le }\left(\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\underset{\dot{}}{\vee }S\right)\right)\right)\to K\in \mathrm{HL}$$
6	5	hllatd	$$⊢\left(\left(K\in \mathrm{HL}\wedge P\in A\wedge Q\in A\right)\wedge \left(R\in A\wedge S\in A\right)\wedge \left(\neg T\underset{\dot{}}{\le }\left(\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\underset{\dot{}}{\vee }S\right)\wedge \neg P\underset{\dot{}}{\le }\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\wedge P\underset{\dot{}}{\le }\left(\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\underset{\dot{}}{\vee }S\right)\right)\right)\to K\in \mathrm{Lat}$$
7		simp13	$$⊢\left(\left(K\in \mathrm{HL}\wedge P\in A\wedge Q\in A\right)\wedge \left(R\in A\wedge S\in A\right)\wedge \left(\neg T\underset{\dot{}}{\le }\left(\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\underset{\dot{}}{\vee }S\right)\wedge \neg P\underset{\dot{}}{\le }\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\wedge P\underset{\dot{}}{\le }\left(\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\underset{\dot{}}{\vee }S\right)\right)\right)\to Q\in A$$
8		eqid	$$⊢{\mathrm{Base}}_K={\mathrm{Base}}_K$$
9	8 3	atbase	$$⊢Q\in A\to Q\in {\mathrm{Base}}_K$$
10	7 9	syl	$$⊢\left(\left(K\in \mathrm{HL}\wedge P\in A\wedge Q\in A\right)\wedge \left(R\in A\wedge S\in A\right)\wedge \left(\neg T\underset{\dot{}}{\le }\left(\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\underset{\dot{}}{\vee }S\right)\wedge \neg P\underset{\dot{}}{\le }\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\wedge P\underset{\dot{}}{\le }\left(\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\underset{\dot{}}{\vee }S\right)\right)\right)\to Q\in {\mathrm{Base}}_K$$
11		simp2l	$$⊢\left(\left(K\in \mathrm{HL}\wedge P\in A\wedge Q\in A\right)\wedge \left(R\in A\wedge S\in A\right)\wedge \left(\neg T\underset{\dot{}}{\le }\left(\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\underset{\dot{}}{\vee }S\right)\wedge \neg P\underset{\dot{}}{\le }\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\wedge P\underset{\dot{}}{\le }\left(\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\underset{\dot{}}{\vee }S\right)\right)\right)\to R\in A$$
12	8 3	atbase	$$⊢R\in A\to R\in {\mathrm{Base}}_K$$
13	11 12	syl	$$⊢\left(\left(K\in \mathrm{HL}\wedge P\in A\wedge Q\in A\right)\wedge \left(R\in A\wedge S\in A\right)\wedge \left(\neg T\underset{\dot{}}{\le }\left(\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\underset{\dot{}}{\vee }S\right)\wedge \neg P\underset{\dot{}}{\le }\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\wedge P\underset{\dot{}}{\le }\left(\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\underset{\dot{}}{\vee }S\right)\right)\right)\to R\in {\mathrm{Base}}_K$$
14		simp12	$$⊢\left(\left(K\in \mathrm{HL}\wedge P\in A\wedge Q\in A\right)\wedge \left(R\in A\wedge S\in A\right)\wedge \left(\neg T\underset{\dot{}}{\le }\left(\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\underset{\dot{}}{\vee }S\right)\wedge \neg P\underset{\dot{}}{\le }\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\wedge P\underset{\dot{}}{\le }\left(\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\underset{\dot{}}{\vee }S\right)\right)\right)\to P\in A$$
15	8 3	atbase	$$⊢P\in A\to P\in {\mathrm{Base}}_K$$
16	14 15	syl	$$⊢\left(\left(K\in \mathrm{HL}\wedge P\in A\wedge Q\in A\right)\wedge \left(R\in A\wedge S\in A\right)\wedge \left(\neg T\underset{\dot{}}{\le }\left(\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\underset{\dot{}}{\vee }S\right)\wedge \neg P\underset{\dot{}}{\le }\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\wedge P\underset{\dot{}}{\le }\left(\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\underset{\dot{}}{\vee }S\right)\right)\right)\to P\in {\mathrm{Base}}_K$$
17	8 1	latjrot	$$⊢\left(K\in \mathrm{Lat}\wedge \left(Q\in {\mathrm{Base}}_K\wedge R\in {\mathrm{Base}}_K\wedge P\in {\mathrm{Base}}_K\right)\right)\to \left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\underset{\dot{}}{\vee }P=\left(P\underset{\dot{}}{\vee }Q\right)\underset{\dot{}}{\vee }R$$
18	6 10 13 16 17	syl13anc	$$⊢\left(\left(K\in \mathrm{HL}\wedge P\in A\wedge Q\in A\right)\wedge \left(R\in A\wedge S\in A\right)\wedge \left(\neg T\underset{\dot{}}{\le }\left(\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\underset{\dot{}}{\vee }S\right)\wedge \neg P\underset{\dot{}}{\le }\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\wedge P\underset{\dot{}}{\le }\left(\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\underset{\dot{}}{\vee }S\right)\right)\right)\to \left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\underset{\dot{}}{\vee }P=\left(P\underset{\dot{}}{\vee }Q\right)\underset{\dot{}}{\vee }R$$
19		simp33	$$⊢\left(\left(K\in \mathrm{HL}\wedge P\in A\wedge Q\in A\right)\wedge \left(R\in A\wedge S\in A\right)\wedge \left(\neg T\underset{\dot{}}{\le }\left(\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\underset{\dot{}}{\vee }S\right)\wedge \neg P\underset{\dot{}}{\le }\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\wedge P\underset{\dot{}}{\le }\left(\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\underset{\dot{}}{\vee }S\right)\right)\right)\to P\underset{\dot{}}{\le }\left(\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\underset{\dot{}}{\vee }S\right)$$
20		simp2r	$$⊢\left(\left(K\in \mathrm{HL}\wedge P\in A\wedge Q\in A\right)\wedge \left(R\in A\wedge S\in A\right)\wedge \left(\neg T\underset{\dot{}}{\le }\left(\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\underset{\dot{}}{\vee }S\right)\wedge \neg P\underset{\dot{}}{\le }\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\wedge P\underset{\dot{}}{\le }\left(\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\underset{\dot{}}{\vee }S\right)\right)\right)\to S\in A$$
21	8 1 3	hlatjcl	$$⊢\left(K\in \mathrm{HL}\wedge Q\in A\wedge R\in A\right)\to Q\underset{\dot{}}{\vee }R\in {\mathrm{Base}}_K$$
22	5 7 11 21	syl3anc	$$⊢\left(\left(K\in \mathrm{HL}\wedge P\in A\wedge Q\in A\right)\wedge \left(R\in A\wedge S\in A\right)\wedge \left(\neg T\underset{\dot{}}{\le }\left(\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\underset{\dot{}}{\vee }S\right)\wedge \neg P\underset{\dot{}}{\le }\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\wedge P\underset{\dot{}}{\le }\left(\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\underset{\dot{}}{\vee }S\right)\right)\right)\to Q\underset{\dot{}}{\vee }R\in {\mathrm{Base}}_K$$
23		simp32	$$⊢\left(\left(K\in \mathrm{HL}\wedge P\in A\wedge Q\in A\right)\wedge \left(R\in A\wedge S\in A\right)\wedge \left(\neg T\underset{\dot{}}{\le }\left(\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\underset{\dot{}}{\vee }S\right)\wedge \neg P\underset{\dot{}}{\le }\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\wedge P\underset{\dot{}}{\le }\left(\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\underset{\dot{}}{\vee }S\right)\right)\right)\to \neg P\underset{\dot{}}{\le }\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)$$
24	8 2 1 3	hlexchb1	$$⊢\left(K\in \mathrm{HL}\wedge \left(P\in A\wedge S\in A\wedge Q\underset{\dot{}}{\vee }R\in {\mathrm{Base}}_K\right)\wedge \neg P\underset{\dot{}}{\le }\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\right)\to \left(P\underset{\dot{}}{\le }\left(\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\underset{\dot{}}{\vee }S\right)\leftrightarrow \left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\underset{\dot{}}{\vee }P=\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\underset{\dot{}}{\vee }S\right)$$
25	5 14 20 22 23 24	syl131anc	$$⊢\left(\left(K\in \mathrm{HL}\wedge P\in A\wedge Q\in A\right)\wedge \left(R\in A\wedge S\in A\right)\wedge \left(\neg T\underset{\dot{}}{\le }\left(\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\underset{\dot{}}{\vee }S\right)\wedge \neg P\underset{\dot{}}{\le }\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\wedge P\underset{\dot{}}{\le }\left(\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\underset{\dot{}}{\vee }S\right)\right)\right)\to \left(P\underset{\dot{}}{\le }\left(\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\underset{\dot{}}{\vee }S\right)\leftrightarrow \left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\underset{\dot{}}{\vee }P=\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\underset{\dot{}}{\vee }S\right)$$
26	19 25	mpbid	$$⊢\left(\left(K\in \mathrm{HL}\wedge P\in A\wedge Q\in A\right)\wedge \left(R\in A\wedge S\in A\right)\wedge \left(\neg T\underset{\dot{}}{\le }\left(\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\underset{\dot{}}{\vee }S\right)\wedge \neg P\underset{\dot{}}{\le }\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\wedge P\underset{\dot{}}{\le }\left(\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\underset{\dot{}}{\vee }S\right)\right)\right)\to \left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\underset{\dot{}}{\vee }P=\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\underset{\dot{}}{\vee }S$$
27	18 26	eqtr3d	$$⊢\left(\left(K\in \mathrm{HL}\wedge P\in A\wedge Q\in A\right)\wedge \left(R\in A\wedge S\in A\right)\wedge \left(\neg T\underset{\dot{}}{\le }\left(\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\underset{\dot{}}{\vee }S\right)\wedge \neg P\underset{\dot{}}{\le }\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\wedge P\underset{\dot{}}{\le }\left(\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\underset{\dot{}}{\vee }S\right)\right)\right)\to \left(P\underset{\dot{}}{\vee }Q\right)\underset{\dot{}}{\vee }R=\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\underset{\dot{}}{\vee }S$$
28	27	breq2d	$$⊢\left(\left(K\in \mathrm{HL}\wedge P\in A\wedge Q\in A\right)\wedge \left(R\in A\wedge S\in A\right)\wedge \left(\neg T\underset{\dot{}}{\le }\left(\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\underset{\dot{}}{\vee }S\right)\wedge \neg P\underset{\dot{}}{\le }\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\wedge P\underset{\dot{}}{\le }\left(\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\underset{\dot{}}{\vee }S\right)\right)\right)\to \left(T\underset{\dot{}}{\le }\left(\left(P\underset{\dot{}}{\vee }Q\right)\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\leftrightarrow T\underset{\dot{}}{\le }\left(\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\underset{\dot{}}{\vee }S\right)\right)$$
29	4 28	mtbird	$$⊢\left(\left(K\in \mathrm{HL}\wedge P\in A\wedge Q\in A\right)\wedge \left(R\in A\wedge S\in A\right)\wedge \left(\neg T\underset{\dot{}}{\le }\left(\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\underset{\dot{}}{\vee }S\right)\wedge \neg P\underset{\dot{}}{\le }\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\wedge P\underset{\dot{}}{\le }\left(\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\underset{\dot{}}{\vee }S\right)\right)\right)\to \neg T\underset{\dot{}}{\le }\left(\left(P\underset{\dot{}}{\vee }Q\right)\underset{\dot{}}{\vee }R\right)$$