Theorem cdleme43frv1snN

Description: Value of [_ R / s ]_ N when -. R .<_ ( P .\/ Q ) . (Contributed by NM, 30-Mar-2013) (New usage is discouraged.)

	Ref	Expression
Hypotheses	cdlemefr27.b	$$⊢B={\mathrm{Base}}_K$$
	cdlemefr27.l	$$⊢\underset{\dot{}}{\le }={\le }_K$$
	cdlemefr27.j	$$⊢\underset{\dot{}}{\vee }=\mathrm{join}\left(K\right)$$
	cdlemefr27.m	$$⊢\underset{\dot{}}{\wedge }=\mathrm{meet}\left(K\right)$$
	cdlemefr27.a	$$⊢A=\mathrm{Atoms}\left(K\right)$$
	cdlemefr27.h	$$⊢H=\mathrm{LHyp}\left(K\right)$$
	cdlemefr27.u	$$⊢U=\left(P\underset{\dot{}}{\vee }Q\right)\underset{\dot{}}{\wedge }W$$
	cdlemefr27.c	$$⊢C=\left(s\underset{\dot{}}{\vee }U\right)\underset{\dot{}}{\wedge }\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }\left(\left(P\underset{\dot{}}{\vee }s\right)\underset{\dot{}}{\wedge }W\right)\right)$$
	cdlemefr27.n	$$⊢N=if\left(s\underset{\dot{}}{\le }\left(P\underset{\dot{}}{\vee }Q\right),I,C\right)$$
	cdleme43fr.x	$$⊢X=\left(R\underset{\dot{}}{\vee }U\right)\underset{\dot{}}{\wedge }\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }\left(\left(P\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\underset{\dot{}}{\wedge }W\right)\right)$$
Assertion	cdleme43frv1snN	$$⊢\left(R\in A\wedge \neg R\underset{\dot{}}{\le }\left(P\underset{\dot{}}{\vee }Q\right)\right)\to ⦋R/s⦌N=X$$

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdlemefr27.b	$$⊢B={\mathrm{Base}}_K$$
2		cdlemefr27.l	$$⊢\underset{\dot{}}{\le }={\le }_K$$
3		cdlemefr27.j	$$⊢\underset{\dot{}}{\vee }=\mathrm{join}\left(K\right)$$
4		cdlemefr27.m	$$⊢\underset{\dot{}}{\wedge }=\mathrm{meet}\left(K\right)$$
5		cdlemefr27.a	$$⊢A=\mathrm{Atoms}\left(K\right)$$
6		cdlemefr27.h	$$⊢H=\mathrm{LHyp}\left(K\right)$$
7		cdlemefr27.u	$$⊢U=\left(P\underset{\dot{}}{\vee }Q\right)\underset{\dot{}}{\wedge }W$$
8		cdlemefr27.c	$$⊢C=\left(s\underset{\dot{}}{\vee }U\right)\underset{\dot{}}{\wedge }\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }\left(\left(P\underset{\dot{}}{\vee }s\right)\underset{\dot{}}{\wedge }W\right)\right)$$
9		cdlemefr27.n	$$⊢N=if\left(s\underset{\dot{}}{\le }\left(P\underset{\dot{}}{\vee }Q\right),I,C\right)$$
10		cdleme43fr.x	$$⊢X=\left(R\underset{\dot{}}{\vee }U\right)\underset{\dot{}}{\wedge }\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }\left(\left(P\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\underset{\dot{}}{\wedge }W\right)\right)$$
11	8 9 10	cdleme31sn2	$$⊢\left(R\in A\wedge \neg R\underset{\dot{}}{\le }\left(P\underset{\dot{}}{\vee }Q\right)\right)\to ⦋R/s⦌N=X$$