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Theorem cdlemg9

Description: The triples <. P , ( F( GP ) ) , ( FP ) >. and <. Q , ( F( GQ ) ) , ( FQ ) >. are axially perspective by dalaw . Part of Lemma G of Crawley p. 116, last 2 lines. TODO: FIX COMMENT. (Contributed by NM, 1-May-2013)

Ref Expression
Hypotheses cdlemg8.l ⊢ ≤ ˙ = ≤ K
cdlemg8.j ⊢ ∨ ˙ = join ⁡ K
cdlemg8.m ⊢ ∧ ˙ = meet ⁡ K
cdlemg8.a ⊢ A = Atoms ⁡ K
cdlemg8.h ⊢ H = LHyp ⁡ K
cdlemg8.t ⊢ T = LTrn ⁡ K ⁡ W
Assertion cdlemg9 ⊢ K ∈ HL ∧ W ∈ H ∧ P ∈ A ∧ ¬ P ≤ ˙ W ∧ Q ∈ A ∧ ¬ Q ≤ ˙ W ∧ F ∈ T ∧ G ∈ T ∧ P ≠ Q ∧ F ⁡ G ⁡ P ∨ ˙ F ⁡ G ⁡ Q ≠ P ∨ ˙ Q → P ∨ ˙ F ⁡ G ⁡ P ∧ ˙ Q ∨ ˙ F ⁡ G ⁡ Q ≤ ˙ F ⁡ G ⁡ P ∨ ˙ G ⁡ P ∧ ˙ F ⁡ G ⁡ Q ∨ ˙ G ⁡ Q ∨ ˙ G ⁡ P ∨ ˙ P ∧ ˙ G ⁡ Q ∨ ˙ Q

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdlemg8.l ⊢ ≤ ˙ = ≤ K
2 cdlemg8.j ⊢ ∨ ˙ = join ⁡ K
3 cdlemg8.m ⊢ ∧ ˙ = meet ⁡ K
4 cdlemg8.a ⊢ A = Atoms ⁡ K
5 cdlemg8.h ⊢ H = LHyp ⁡ K
6 cdlemg8.t ⊢ T = LTrn ⁡ K ⁡ W
7 1 2 3 4 5 6 cdlemg9b ⊢ K ∈ HL ∧ W ∈ H ∧ P ∈ A ∧ ¬ P ≤ ˙ W ∧ Q ∈ A ∧ ¬ Q ≤ ˙ W ∧ F ∈ T ∧ G ∈ T ∧ P ≠ Q ∧ F ⁡ G ⁡ P ∨ ˙ F ⁡ G ⁡ Q ≠ P ∨ ˙ Q → P ∨ ˙ Q ∧ ˙ F ⁡ G ⁡ P ∨ ˙ F ⁡ G ⁡ Q ≤ ˙ G ⁡ P ∨ ˙ G ⁡ Q
8 simp1l ⊢ K ∈ HL ∧ W ∈ H ∧ P ∈ A ∧ ¬ P ≤ ˙ W ∧ Q ∈ A ∧ ¬ Q ≤ ˙ W ∧ F ∈ T ∧ G ∈ T ∧ P ≠ Q ∧ F ⁡ G ⁡ P ∨ ˙ F ⁡ G ⁡ Q ≠ P ∨ ˙ Q → K ∈ HL
9 simp21l ⊢ K ∈ HL ∧ W ∈ H ∧ P ∈ A ∧ ¬ P ≤ ˙ W ∧ Q ∈ A ∧ ¬ Q ≤ ˙ W ∧ F ∈ T ∧ G ∈ T ∧ P ≠ Q ∧ F ⁡ G ⁡ P ∨ ˙ F ⁡ G ⁡ Q ≠ P ∨ ˙ Q → P ∈ A
10 simp1 ⊢ K ∈ HL ∧ W ∈ H ∧ P ∈ A ∧ ¬ P ≤ ˙ W ∧ Q ∈ A ∧ ¬ Q ≤ ˙ W ∧ F ∈ T ∧ G ∈ T ∧ P ≠ Q ∧ F ⁡ G ⁡ P ∨ ˙ F ⁡ G ⁡ Q ≠ P ∨ ˙ Q → K ∈ HL ∧ W ∈ H
11 simp23 ⊢ K ∈ HL ∧ W ∈ H ∧ P ∈ A ∧ ¬ P ≤ ˙ W ∧ Q ∈ A ∧ ¬ Q ≤ ˙ W ∧ F ∈ T ∧ G ∈ T ∧ P ≠ Q ∧ F ⁡ G ⁡ P ∨ ˙ F ⁡ G ⁡ Q ≠ P ∨ ˙ Q → F ∈ T
12 simp31 ⊢ K ∈ HL ∧ W ∈ H ∧ P ∈ A ∧ ¬ P ≤ ˙ W ∧ Q ∈ A ∧ ¬ Q ≤ ˙ W ∧ F ∈ T ∧ G ∈ T ∧ P ≠ Q ∧ F ⁡ G ⁡ P ∨ ˙ F ⁡ G ⁡ Q ≠ P ∨ ˙ Q → G ∈ T
13 1 4 5 6 ltrncoat ⊢ K ∈ HL ∧ W ∈ H ∧ F ∈ T ∧ G ∈ T ∧ P ∈ A → F ⁡ G ⁡ P ∈ A
14 10 11 12 9 13 syl121anc ⊢ K ∈ HL ∧ W ∈ H ∧ P ∈ A ∧ ¬ P ≤ ˙ W ∧ Q ∈ A ∧ ¬ Q ≤ ˙ W ∧ F ∈ T ∧ G ∈ T ∧ P ≠ Q ∧ F ⁡ G ⁡ P ∨ ˙ F ⁡ G ⁡ Q ≠ P ∨ ˙ Q → F ⁡ G ⁡ P ∈ A
15 1 4 5 6 ltrnat ⊢ K ∈ HL ∧ W ∈ H ∧ G ∈ T ∧ P ∈ A → G ⁡ P ∈ A
16 10 12 9 15 syl3anc ⊢ K ∈ HL ∧ W ∈ H ∧ P ∈ A ∧ ¬ P ≤ ˙ W ∧ Q ∈ A ∧ ¬ Q ≤ ˙ W ∧ F ∈ T ∧ G ∈ T ∧ P ≠ Q ∧ F ⁡ G ⁡ P ∨ ˙ F ⁡ G ⁡ Q ≠ P ∨ ˙ Q → G ⁡ P ∈ A
17 simp22l ⊢ K ∈ HL ∧ W ∈ H ∧ P ∈ A ∧ ¬ P ≤ ˙ W ∧ Q ∈ A ∧ ¬ Q ≤ ˙ W ∧ F ∈ T ∧ G ∈ T ∧ P ≠ Q ∧ F ⁡ G ⁡ P ∨ ˙ F ⁡ G ⁡ Q ≠ P ∨ ˙ Q → Q ∈ A
18 1 4 5 6 ltrncoat ⊢ K ∈ HL ∧ W ∈ H ∧ F ∈ T ∧ G ∈ T ∧ Q ∈ A → F ⁡ G ⁡ Q ∈ A
19 10 11 12 17 18 syl121anc ⊢ K ∈ HL ∧ W ∈ H ∧ P ∈ A ∧ ¬ P ≤ ˙ W ∧ Q ∈ A ∧ ¬ Q ≤ ˙ W ∧ F ∈ T ∧ G ∈ T ∧ P ≠ Q ∧ F ⁡ G ⁡ P ∨ ˙ F ⁡ G ⁡ Q ≠ P ∨ ˙ Q → F ⁡ G ⁡ Q ∈ A
20 1 4 5 6 ltrnat ⊢ K ∈ HL ∧ W ∈ H ∧ G ∈ T ∧ Q ∈ A → G ⁡ Q ∈ A
21 10 12 17 20 syl3anc ⊢ K ∈ HL ∧ W ∈ H ∧ P ∈ A ∧ ¬ P ≤ ˙ W ∧ Q ∈ A ∧ ¬ Q ≤ ˙ W ∧ F ∈ T ∧ G ∈ T ∧ P ≠ Q ∧ F ⁡ G ⁡ P ∨ ˙ F ⁡ G ⁡ Q ≠ P ∨ ˙ Q → G ⁡ Q ∈ A
22 1 2 3 4 dalaw ⊢ K ∈ HL ∧ P ∈ A ∧ F ⁡ G ⁡ P ∈ A ∧ G ⁡ P ∈ A ∧ Q ∈ A ∧ F ⁡ G ⁡ Q ∈ A ∧ G ⁡ Q ∈ A → P ∨ ˙ Q ∧ ˙ F ⁡ G ⁡ P ∨ ˙ F ⁡ G ⁡ Q ≤ ˙ G ⁡ P ∨ ˙ G ⁡ Q → P ∨ ˙ F ⁡ G ⁡ P ∧ ˙ Q ∨ ˙ F ⁡ G ⁡ Q ≤ ˙ F ⁡ G ⁡ P ∨ ˙ G ⁡ P ∧ ˙ F ⁡ G ⁡ Q ∨ ˙ G ⁡ Q ∨ ˙ G ⁡ P ∨ ˙ P ∧ ˙ G ⁡ Q ∨ ˙ Q
23 8 9 14 16 17 19 21 22 syl133anc ⊢ K ∈ HL ∧ W ∈ H ∧ P ∈ A ∧ ¬ P ≤ ˙ W ∧ Q ∈ A ∧ ¬ Q ≤ ˙ W ∧ F ∈ T ∧ G ∈ T ∧ P ≠ Q ∧ F ⁡ G ⁡ P ∨ ˙ F ⁡ G ⁡ Q ≠ P ∨ ˙ Q → P ∨ ˙ Q ∧ ˙ F ⁡ G ⁡ P ∨ ˙ F ⁡ G ⁡ Q ≤ ˙ G ⁡ P ∨ ˙ G ⁡ Q → P ∨ ˙ F ⁡ G ⁡ P ∧ ˙ Q ∨ ˙ F ⁡ G ⁡ Q ≤ ˙ F ⁡ G ⁡ P ∨ ˙ G ⁡ P ∧ ˙ F ⁡ G ⁡ Q ∨ ˙ G ⁡ Q ∨ ˙ G ⁡ P ∨ ˙ P ∧ ˙ G ⁡ Q ∨ ˙ Q
24 7 23 mpd ⊢ K ∈ HL ∧ W ∈ H ∧ P ∈ A ∧ ¬ P ≤ ˙ W ∧ Q ∈ A ∧ ¬ Q ≤ ˙ W ∧ F ∈ T ∧ G ∈ T ∧ P ≠ Q ∧ F ⁡ G ⁡ P ∨ ˙ F ⁡ G ⁡ Q ≠ P ∨ ˙ Q → P ∨ ˙ F ⁡ G ⁡ P ∧ ˙ Q ∨ ˙ F ⁡ G ⁡ Q ≤ ˙ F ⁡ G ⁡ P ∨ ˙ G ⁡ P ∧ ˙ F ⁡ G ⁡ Q ∨ ˙ G ⁡ Q ∨ ˙ G ⁡ P ∨ ˙ P ∧ ˙ G ⁡ Q ∨ ˙ Q