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Theorem dedekindle

Description: The Dedekind cut theorem, with the hypothesis weakened to only require non-strict less than. (Contributed by Scott Fenton, 2-Jul-2013)

Ref Expression
Assertion dedekindle A B x A y B x y z x A y B x z z y

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 simpr1 A B = A B x A y B x y A
2 simpr2 A B = A B x A y B x y B
3 simp1 A B = A B A B =
4 simpl x A y B x A
5 disjel A B = x A ¬ x B
6 3 4 5 syl2an A B = A B x A y B ¬ x B
7 eleq1w y = x y B x B
8 7 biimpcd y B y = x x B
9 8 necon3bd y B ¬ x B y x
10 9 ad2antll A B = A B x A y B ¬ x B y x
11 6 10 mpd A B = A B x A y B y x
12 simp2 A B = A B A
13 ssel2 A x A x
14 12 4 13 syl2an A B = A B x A y B x
15 simp3 A B = A B B
16 simpr x A y B y B
17 ssel2 B y B y
18 15 16 17 syl2an A B = A B x A y B y
19 14 18 ltlend A B = A B x A y B x < y x y y x
20 19 biimprd A B = A B x A y B x y y x x < y
21 11 20 mpan2d A B = A B x A y B x y x < y
22 21 ralimdvva A B = A B x A y B x y x A y B x < y
23 22 3exp A B = A B x A y B x y x A y B x < y
24 23 3imp2 A B = A B x A y B x y x A y B x < y
25 dedekind A B x A y B x < y z x A y B x z z y
26 1 2 24 25 syl3anc A B = A B x A y B x y z x A y B x z z y
27 26 ex A B = A B x A y B x y z x A y B x z z y
28 n0 A B w w A B
29 simp1 A B x A y B x y A
30 elinel1 w A B w A
31 ssel2 A w A w
32 29 30 31 syl2an A B x A y B x y w A B w
33 nfv x A
34 nfv x B
35 nfra1 x x A y B x y
36 33 34 35 nf3an x A B x A y B x y
37 nfv x w A B
38 36 37 nfan x A B x A y B x y w A B
39 nfv y A
40 nfv y B
41 nfra2w y x A y B x y
42 39 40 41 nf3an y A B x A y B x y
43 nfv y w A B x A
44 42 43 nfan y A B x A y B x y w A B x A
45 rsp x A y B x y x A y B x y
46 elinel2 w A B w B
47 breq2 y = w x y x w
48 47 rspccv y B x y w B x w
49 46 48 syl5 y B x y w A B x w
50 45 49 syl6 x A y B x y x A w A B x w
51 50 com23 x A y B x y w A B x A x w
52 51 imp32 x A y B x y w A B x A x w
53 52 3ad2antl3 A B x A y B x y w A B x A x w
54 53 adantr A B x A y B x y w A B x A y B x w
55 simp3 A B x A y B x y x A y B x y
56 30 adantr w A B x A w A
57 breq1 x = w x y w y
58 57 ralbidv x = w y B x y y B w y
59 58 rspccva x A y B x y w A y B w y
60 55 56 59 syl2an A B x A y B x y w A B x A y B w y
61 60 r19.21bi A B x A y B x y w A B x A y B w y
62 54 61 jca A B x A y B x y w A B x A y B x w w y
63 62 ex A B x A y B x y w A B x A y B x w w y
64 44 63 ralrimi A B x A y B x y w A B x A y B x w w y
65 64 expr A B x A y B x y w A B x A y B x w w y
66 38 65 ralrimi A B x A y B x y w A B x A y B x w w y
67 breq2 z = w x z x w
68 breq1 z = w z y w y
69 67 68 anbi12d z = w x z z y x w w y
70 69 2ralbidv z = w x A y B x z z y x A y B x w w y
71 70 rspcev w x A y B x w w y z x A y B x z z y
72 32 66 71 syl2anc A B x A y B x y w A B z x A y B x z z y
73 72 expcom w A B A B x A y B x y z x A y B x z z y
74 73 exlimiv w w A B A B x A y B x y z x A y B x z z y
75 28 74 sylbi A B A B x A y B x y z x A y B x z z y
76 27 75 pm2.61ine A B x A y B x y z x A y B x z z y