Theorem difdif

Description: Double class difference. Exercise 11 of TakeutiZaring p. 22. (Contributed by NM, 17-May-1998)

	Ref	Expression
Assertion	difdif	$$⊢A\setminus \left(B\setminus A\right)=A$$

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pm4.45im	$$⊢x\in A\leftrightarrow \left(x\in A\wedge \left(x\in B\to x\in A\right)\right)$$
2		iman	$$⊢\left(x\in B\to x\in A\right)\leftrightarrow \neg \left(x\in B\wedge \neg x\in A\right)$$
3		eldif	$$⊢x\in \left(B\setminus A\right)\leftrightarrow \left(x\in B\wedge \neg x\in A\right)$$
4	2 3	xchbinxr	$$⊢\left(x\in B\to x\in A\right)\leftrightarrow \neg x\in \left(B\setminus A\right)$$
5	4	anbi2i	$$⊢\left(x\in A\wedge \left(x\in B\to x\in A\right)\right)\leftrightarrow \left(x\in A\wedge \neg x\in \left(B\setminus A\right)\right)$$
6	1 5	bitr2i	$$⊢\left(x\in A\wedge \neg x\in \left(B\setminus A\right)\right)\leftrightarrow x\in A$$
7	6	difeqri	$$⊢A\setminus \left(B\setminus A\right)=A$$