Metamath Proof Explorer

Theorem fourierdlem103

Description: The half lower part of the integral equal to the fourier partial sum, converges to half the left limit of the original function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019)

Ref Expression
Hypotheses fourierdlem103.f ⊢ φ → F : ℝ ⟶ ℝ
fourierdlem103.xre ⊢ φ → X ∈ ℝ
fourierdlem103.p ⊢ P = m ∈ ℕ ⟼ p ∈ ℝ 0 … m | p ⁡ 0 = - π + X ∧ p ⁡ m = π + X ∧ ∀ i ∈ 0 ..^ m p ⁡ i < p ⁡ i + 1
fourierdlem103.m ⊢ φ → M ∈ ℕ
fourierdlem103.v ⊢ φ → V ∈ P ⁡ M
fourierdlem103.x ⊢ φ → X ∈ ran ⁡ V
fourierdlem103.fcn ⊢ φ ∧ i ∈ 0 ..^ M → F ↾ V ⁡ i V ⁡ i + 1 : V ⁡ i V ⁡ i + 1 ⟶cn ℂ
fourierdlem103.fbdioo ⊢ φ ∧ i ∈ 0 ..^ M → ∃ w ∈ ℝ ∀ t ∈ V ⁡ i V ⁡ i + 1 F ⁡ t ≤ w
fourierdlem103.fdvcn ⊢ φ ∧ i ∈ 0 ..^ M → F ℝ ′ ↾ V ⁡ i V ⁡ i + 1 : V ⁡ i V ⁡ i + 1 ⟶cn ℝ
fourierdlem103.fdvbd ⊢ φ ∧ i ∈ 0 ..^ M → ∃ z ∈ ℝ ∀ t ∈ V ⁡ i V ⁡ i + 1 F ℝ ′ ⁡ t ≤ z
fourierdlem103.r ⊢ φ ∧ i ∈ 0 ..^ M → R ∈ F ↾ V ⁡ i V ⁡ i + 1 lim ℂ V ⁡ i
fourierdlem103.l ⊢ φ ∧ i ∈ 0 ..^ M → L ∈ F ↾ V ⁡ i V ⁡ i + 1 lim ℂ V ⁡ i + 1
fourierdlem103.h ⊢ H = s ∈ − π π ⟼ if s = 0 0 F ⁡ X + s − if 0 < s Y W s
fourierdlem103.k ⊢ K = s ∈ − π π ⟼ if s = 0 1 s 2 ⁢ sin ⁡ s 2
fourierdlem103.u ⊢ U = s ∈ − π π ⟼ H ⁡ s ⁢ K ⁡ s
fourierdlem103.s ⊢ S = s ∈ − π π ⟼ sin ⁡ n + 1 2 ⁢ s
fourierdlem103.g ⊢ G = s ∈ − π π ⟼ U ⁡ s ⁢ S ⁡ s
fourierdlem103.z ⊢ Z = m ∈ ℕ ⟼ ∫ − π 0 F ⁡ X + s ⁢ D ⁡ m ⁡ s ds
fourierdlem103.e ⊢ E = n ∈ ℕ ⟼ ∫ − π 0 G ⁡ s ds π
fourierdlem103.y ⊢ φ → Y ∈ F ↾ X +∞ lim ℂ X
fourierdlem103.w ⊢ φ → W ∈ F ↾ −∞ X lim ℂ X
fourierdlem103.a ⊢ φ → A ∈ F ℝ ′ ↾ −∞ X lim ℂ X
fourierdlem103.b ⊢ φ → B ∈ F ℝ ′ ↾ X +∞ lim ℂ X
fourierdlem103.d ⊢ D = n ∈ ℕ ⟼ s ∈ ℝ ⟼ if s mod 2 ⁢ π = 0 2 ⁢ n + 1 2 ⁢ π sin ⁡ n + 1 2 ⁢ s 2 ⁢ π ⁢ sin ⁡ s 2
fourierdlem103.o ⊢ O = U ↾ − π d
fourierdlem103.t ⊢ T = − π d ∪ ran ⁡ Q ∩ − π d
fourierdlem103.n ⊢ N = T − 1
fourierdlem103.j ⊢ J = ι f | f Isom < , < 0 … N T
fourierdlem103.q ⊢ Q = i ∈ 0 … M ⟼ V ⁡ i − X
fourierdlem103.1 ⊢ C = ι l ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ l Q ⁡ l + 1
fourierdlem103.ch ⊢ χ ↔ φ ∧ e ∈ ℝ + ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ ℕ ∧ ∫ d 0 U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds < e 2 ∧ ∫ − π d U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds < e 2
Assertion fourierdlem103 ⊢ φ → Z ⇝ W 2

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 fourierdlem103.f ⊢ φ → F : ℝ ⟶ ℝ
2 fourierdlem103.xre ⊢ φ → X ∈ ℝ
3 fourierdlem103.p ⊢ P = m ∈ ℕ ⟼ p ∈ ℝ 0 … m | p ⁡ 0 = - π + X ∧ p ⁡ m = π + X ∧ ∀ i ∈ 0 ..^ m p ⁡ i < p ⁡ i + 1
4 fourierdlem103.m ⊢ φ → M ∈ ℕ
5 fourierdlem103.v ⊢ φ → V ∈ P ⁡ M
6 fourierdlem103.x ⊢ φ → X ∈ ran ⁡ V
7 fourierdlem103.fcn ⊢ φ ∧ i ∈ 0 ..^ M → F ↾ V ⁡ i V ⁡ i + 1 : V ⁡ i V ⁡ i + 1 ⟶cn ℂ
8 fourierdlem103.fbdioo ⊢ φ ∧ i ∈ 0 ..^ M → ∃ w ∈ ℝ ∀ t ∈ V ⁡ i V ⁡ i + 1 F ⁡ t ≤ w
9 fourierdlem103.fdvcn ⊢ φ ∧ i ∈ 0 ..^ M → F ℝ ′ ↾ V ⁡ i V ⁡ i + 1 : V ⁡ i V ⁡ i + 1 ⟶cn ℝ
10 fourierdlem103.fdvbd ⊢ φ ∧ i ∈ 0 ..^ M → ∃ z ∈ ℝ ∀ t ∈ V ⁡ i V ⁡ i + 1 F ℝ ′ ⁡ t ≤ z
11 fourierdlem103.r ⊢ φ ∧ i ∈ 0 ..^ M → R ∈ F ↾ V ⁡ i V ⁡ i + 1 lim ℂ V ⁡ i
12 fourierdlem103.l ⊢ φ ∧ i ∈ 0 ..^ M → L ∈ F ↾ V ⁡ i V ⁡ i + 1 lim ℂ V ⁡ i + 1
13 fourierdlem103.h ⊢ H = s ∈ − π π ⟼ if s = 0 0 F ⁡ X + s − if 0 < s Y W s
14 fourierdlem103.k ⊢ K = s ∈ − π π ⟼ if s = 0 1 s 2 ⁢ sin ⁡ s 2
15 fourierdlem103.u ⊢ U = s ∈ − π π ⟼ H ⁡ s ⁢ K ⁡ s
16 fourierdlem103.s ⊢ S = s ∈ − π π ⟼ sin ⁡ n + 1 2 ⁢ s
17 fourierdlem103.g ⊢ G = s ∈ − π π ⟼ U ⁡ s ⁢ S ⁡ s
18 fourierdlem103.z ⊢ Z = m ∈ ℕ ⟼ ∫ − π 0 F ⁡ X + s ⁢ D ⁡ m ⁡ s ds
19 fourierdlem103.e ⊢ E = n ∈ ℕ ⟼ ∫ − π 0 G ⁡ s ds π
20 fourierdlem103.y ⊢ φ → Y ∈ F ↾ X +∞ lim ℂ X
21 fourierdlem103.w ⊢ φ → W ∈ F ↾ −∞ X lim ℂ X
22 fourierdlem103.a ⊢ φ → A ∈ F ℝ ′ ↾ −∞ X lim ℂ X
23 fourierdlem103.b ⊢ φ → B ∈ F ℝ ′ ↾ X +∞ lim ℂ X
24 fourierdlem103.d ⊢ D = n ∈ ℕ ⟼ s ∈ ℝ ⟼ if s mod 2 ⁢ π = 0 2 ⁢ n + 1 2 ⁢ π sin ⁡ n + 1 2 ⁢ s 2 ⁢ π ⁢ sin ⁡ s 2
25 fourierdlem103.o ⊢ O = U ↾ − π d
26 fourierdlem103.t ⊢ T = − π d ∪ ran ⁡ Q ∩ − π d
27 fourierdlem103.n ⊢ N = T − 1
28 fourierdlem103.j ⊢ J = ι f | f Isom < , < 0 … N T
29 fourierdlem103.q ⊢ Q = i ∈ 0 … M ⟼ V ⁡ i − X
30 fourierdlem103.1 ⊢ C = ι l ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ l Q ⁡ l + 1
31 fourierdlem103.ch ⊢ χ ↔ φ ∧ e ∈ ℝ + ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ ℕ ∧ ∫ d 0 U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds < e 2 ∧ ∫ − π d U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds < e 2
32 eqid ⊢ ℤ ≥ 1 = ℤ ≥ 1
33 1zzd ⊢ φ → 1 ∈ ℤ
34 nfv ⊢ Ⅎ n φ
35 nfmpt1 ⊢ Ⅎ _ n n ∈ ℕ ⟼ ∫ − π 0 G ⁡ s ds
36 nfmpt1 ⊢ Ⅎ _ n n ∈ ℕ ⟼ π
37 nfmpt1 ⊢ Ⅎ _ n n ∈ ℕ ⟼ ∫ − π 0 G ⁡ s ds π
38 19 37 nfcxfr ⊢ Ⅎ _ n E
39 nnuz ⊢ ℕ = ℤ ≥ 1
40 pire ⊢ π ∈ ℝ
41 40 renegcli ⊢ − π ∈ ℝ
42 41 a1i ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 → − π ∈ ℝ
43 elioore ⊢ d ∈ − π 0 → d ∈ ℝ
44 43 adantl ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 → d ∈ ℝ
45 ioossre ⊢ X +∞ ⊆ ℝ
46 45 a1i ⊢ φ → X +∞ ⊆ ℝ
47 1 46 fssresd ⊢ φ → F ↾ X +∞ : X +∞ ⟶ ℝ
48 ioosscn ⊢ X +∞ ⊆ ℂ
49 48 a1i ⊢ φ → X +∞ ⊆ ℂ
50 eqid ⊢ TopOpen ⁡ ℂ fld = TopOpen ⁡ ℂ fld
51 pnfxr ⊢ +∞ ∈ ℝ *
52 51 a1i ⊢ φ → +∞ ∈ ℝ *
53 2 ltpnfd ⊢ φ → X < +∞
54 50 52 2 53 lptioo1cn ⊢ φ → X ∈ limPt ⁡ TopOpen ⁡ ℂ fld ⁡ X +∞
55 47 49 54 20 limcrecl ⊢ φ → Y ∈ ℝ
56 ioossre ⊢ −∞ X ⊆ ℝ
57 56 a1i ⊢ φ → −∞ X ⊆ ℝ
58 1 57 fssresd ⊢ φ → F ↾ −∞ X : −∞ X ⟶ ℝ
59 ioosscn ⊢ −∞ X ⊆ ℂ
60 59 a1i ⊢ φ → −∞ X ⊆ ℂ
61 mnfxr ⊢ −∞ ∈ ℝ *
62 61 a1i ⊢ φ → −∞ ∈ ℝ *
63 2 mnfltd ⊢ φ → −∞ < X
64 50 62 2 63 lptioo2cn ⊢ φ → X ∈ limPt ⁡ TopOpen ⁡ ℂ fld ⁡ −∞ X
65 58 60 64 21 limcrecl ⊢ φ → W ∈ ℝ
66 1 2 55 65 13 14 15 fourierdlem55 ⊢ φ → U : − π π ⟶ ℝ
67 ax-resscn ⊢ ℝ ⊆ ℂ
68 67 a1i ⊢ φ → ℝ ⊆ ℂ
69 66 68 fssd ⊢ φ → U : − π π ⟶ ℂ
70 69 adantr ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 → U : − π π ⟶ ℂ
71 41 a1i ⊢ d ∈ − π 0 → − π ∈ ℝ
72 40 a1i ⊢ d ∈ − π 0 → π ∈ ℝ
73 71 leidd ⊢ d ∈ − π 0 → − π ≤ − π
74 0red ⊢ d ∈ − π 0 → 0 ∈ ℝ
75 41 rexri ⊢ − π ∈ ℝ *
76 0xr ⊢ 0 ∈ ℝ *
77 iooltub ⊢ − π ∈ ℝ * ∧ 0 ∈ ℝ * ∧ d ∈ − π 0 → d < 0
78 75 76 77 mp3an12 ⊢ d ∈ − π 0 → d < 0
79 pipos ⊢ 0 < π
80 79 a1i ⊢ d ∈ − π 0 → 0 < π
81 43 74 72 78 80 lttrd ⊢ d ∈ − π 0 → d < π
82 43 72 81 ltled ⊢ d ∈ − π 0 → d ≤ π
83 iccss ⊢ − π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ − π ≤ − π ∧ d ≤ π → − π d ⊆ − π π
84 71 72 73 82 83 syl22anc ⊢ d ∈ − π 0 → − π d ⊆ − π π
85 84 adantl ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 → − π d ⊆ − π π
86 70 85 fssresd ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 → U ↾ − π d : − π d ⟶ ℂ
87 25 a1i ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 → O = U ↾ − π d
88 87 feq1d ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 → O : − π d ⟶ ℂ ↔ U ↾ − π d : − π d ⟶ ℂ
89 86 88 mpbird ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 → O : − π d ⟶ ℂ
90 41 elexi ⊢ − π ∈ V
91 90 prid1 ⊢ − π ∈ − π d
92 elun1 ⊢ − π ∈ − π d → − π ∈ − π d ∪ ran ⁡ Q ∩ − π d
93 91 92 ax-mp ⊢ − π ∈ − π d ∪ ran ⁡ Q ∩ − π d
94 93 26 eleqtrri ⊢ − π ∈ T
95 94 ne0ii ⊢ T ≠ ∅
96 95 a1i ⊢ φ → T ≠ ∅
97 prfi ⊢ − π d ∈ Fin
98 97 a1i ⊢ φ → − π d ∈ Fin
99 fzfi ⊢ 0 … M ∈ Fin
100 29 rnmptfi ⊢ 0 … M ∈ Fin → ran ⁡ Q ∈ Fin
101 99 100 ax-mp ⊢ ran ⁡ Q ∈ Fin
102 101 a1i ⊢ φ → ran ⁡ Q ∈ Fin
103 infi ⊢ ran ⁡ Q ∈ Fin → ran ⁡ Q ∩ − π d ∈ Fin
104 102 103 syl ⊢ φ → ran ⁡ Q ∩ − π d ∈ Fin
105 unfi ⊢ − π d ∈ Fin ∧ ran ⁡ Q ∩ − π d ∈ Fin → − π d ∪ ran ⁡ Q ∩ − π d ∈ Fin
106 98 104 105 syl2anc ⊢ φ → − π d ∪ ran ⁡ Q ∩ − π d ∈ Fin
107 26 106 eqeltrid ⊢ φ → T ∈ Fin
108 hashnncl ⊢ T ∈ Fin → T ∈ ℕ ↔ T ≠ ∅
109 107 108 syl ⊢ φ → T ∈ ℕ ↔ T ≠ ∅
110 96 109 mpbird ⊢ φ → T ∈ ℕ
111 nnm1nn0 ⊢ T ∈ ℕ → T − 1 ∈ ℕ 0
112 110 111 syl ⊢ φ → T − 1 ∈ ℕ 0
113 27 112 eqeltrid ⊢ φ → N ∈ ℕ 0
114 113 adantr ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 → N ∈ ℕ 0
115 0red ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 → 0 ∈ ℝ
116 1red ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 → 1 ∈ ℝ
117 114 nn0red ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 → N ∈ ℝ
118 0lt1 ⊢ 0 < 1
119 118 a1i ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 → 0 < 1
120 2re ⊢ 2 ∈ ℝ
121 120 a1i ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 → 2 ∈ ℝ
122 110 nnred ⊢ φ → T ∈ ℝ
123 122 adantr ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 → T ∈ ℝ
124 ioogtlb ⊢ − π ∈ ℝ * ∧ 0 ∈ ℝ * ∧ d ∈ − π 0 → − π < d
125 75 76 124 mp3an12 ⊢ d ∈ − π 0 → − π < d
126 71 125 ltned ⊢ d ∈ − π 0 → − π ≠ d
127 126 adantl ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 → − π ≠ d
128 hashprg ⊢ − π ∈ ℝ ∧ d ∈ ℝ → − π ≠ d ↔ − π d = 2
129 42 44 128 syl2anc ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 → − π ≠ d ↔ − π d = 2
130 127 129 mpbid ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 → − π d = 2
131 130 eqcomd ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 → 2 = − π d
132 107 adantr ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 → T ∈ Fin
133 ssun1 ⊢ − π d ⊆ − π d ∪ ran ⁡ Q ∩ − π d
134 133 26 sseqtrri ⊢ − π d ⊆ T
135 hashssle ⊢ T ∈ Fin ∧ − π d ⊆ T → − π d ≤ T
136 132 134 135 sylancl ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 → − π d ≤ T
137 131 136 eqbrtrd ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 → 2 ≤ T
138 121 123 116 137 lesub1dd ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 → 2 − 1 ≤ T − 1
139 1e2m1 ⊢ 1 = 2 − 1
140 138 139 27 3brtr4g ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 → 1 ≤ N
141 115 116 117 119 140 ltletrd ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 → 0 < N
142 141 gt0ne0d ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 → N ≠ 0
143 114 142 jca ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 → N ∈ ℕ 0 ∧ N ≠ 0
144 elnnne0 ⊢ N ∈ ℕ ↔ N ∈ ℕ 0 ∧ N ≠ 0
145 143 144 sylibr ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 → N ∈ ℕ
146 73 adantl ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 → − π ≤ − π
147 71 43 125 ltled ⊢ d ∈ − π 0 → − π ≤ d
148 147 adantl ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 → − π ≤ d
149 42 44 42 146 148 eliccd ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 → − π ∈ − π d
150 44 leidd ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 → d ≤ d
151 42 44 44 148 150 eliccd ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 → d ∈ − π d
152 149 151 jca ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 → − π ∈ − π d ∧ d ∈ − π d
153 vex ⊢ d ∈ V
154 90 153 prss ⊢ − π ∈ − π d ∧ d ∈ − π d ↔ − π d ⊆ − π d
155 152 154 sylib ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 → − π d ⊆ − π d
156 inss2 ⊢ ran ⁡ Q ∩ − π d ⊆ − π d
157 156 a1i ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 → ran ⁡ Q ∩ − π d ⊆ − π d
158 ioossicc ⊢ − π d ⊆ − π d
159 157 158 sstrdi ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 → ran ⁡ Q ∩ − π d ⊆ − π d
160 155 159 unssd ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 → − π d ∪ ran ⁡ Q ∩ − π d ⊆ − π d
161 26 160 eqsstrid ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 → T ⊆ − π d
162 94 a1i ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 → − π ∈ T
163 153 prid2 ⊢ d ∈ − π d
164 elun1 ⊢ d ∈ − π d → d ∈ − π d ∪ ran ⁡ Q ∩ − π d
165 163 164 ax-mp ⊢ d ∈ − π d ∪ ran ⁡ Q ∩ − π d
166 165 26 eleqtrri ⊢ d ∈ T
167 166 a1i ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 → d ∈ T
168 132 27 28 42 44 161 162 167 fourierdlem52 ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 → J : 0 … N ⟶ − π d ∧ J ⁡ 0 = − π ∧ J ⁡ N = d
169 168 simpld ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 → J : 0 … N ⟶ − π d ∧ J ⁡ 0 = − π
170 169 simpld ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 → J : 0 … N ⟶ − π d
171 169 simprd ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 → J ⁡ 0 = − π
172 168 simprd ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 → J ⁡ N = d
173 elfzoelz ⊢ k ∈ 0 ..^ N → k ∈ ℤ
174 173 zred ⊢ k ∈ 0 ..^ N → k ∈ ℝ
175 174 adantl ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N → k ∈ ℝ
176 175 ltp1d ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N → k < k + 1
177 71 43 jca ⊢ d ∈ − π 0 → − π ∈ ℝ ∧ d ∈ ℝ
178 90 153 prss ⊢ − π ∈ ℝ ∧ d ∈ ℝ ↔ − π d ⊆ ℝ
179 177 178 sylib ⊢ d ∈ − π 0 → − π d ⊆ ℝ
180 179 adantl ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 → − π d ⊆ ℝ
181 ioossre ⊢ − π d ⊆ ℝ
182 156 181 sstri ⊢ ran ⁡ Q ∩ − π d ⊆ ℝ
183 182 a1i ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 → ran ⁡ Q ∩ − π d ⊆ ℝ
184 180 183 unssd ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 → − π d ∪ ran ⁡ Q ∩ − π d ⊆ ℝ
185 26 184 eqsstrid ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 → T ⊆ ℝ
186 132 185 28 27 fourierdlem36 ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 → J Isom < , < 0 … N T
187 186 adantr ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N → J Isom < , < 0 … N T
188 elfzofz ⊢ k ∈ 0 ..^ N → k ∈ 0 … N
189 188 adantl ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N → k ∈ 0 … N
190 fzofzp1 ⊢ k ∈ 0 ..^ N → k + 1 ∈ 0 … N
191 190 adantl ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N → k + 1 ∈ 0 … N
192 isorel ⊢ J Isom < , < 0 … N T ∧ k ∈ 0 … N ∧ k + 1 ∈ 0 … N → k < k + 1 ↔ J ⁡ k < J ⁡ k + 1
193 187 189 191 192 syl12anc ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N → k < k + 1 ↔ J ⁡ k < J ⁡ k + 1
194 176 193 mpbid ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N → J ⁡ k < J ⁡ k + 1
195 66 adantr ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 → U : − π π ⟶ ℝ
196 195 85 feqresmpt ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 → U ↾ − π d = s ∈ − π d ⟼ U ⁡ s
197 85 sselda ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ s ∈ − π d → s ∈ − π π
198 1 2 55 65 13 fourierdlem9 ⊢ φ → H : − π π ⟶ ℝ
199 198 ad2antrr ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ s ∈ − π d → H : − π π ⟶ ℝ
200 199 197 ffvelrnd ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ s ∈ − π d → H ⁡ s ∈ ℝ
201 14 fourierdlem43 ⊢ K : − π π ⟶ ℝ
202 201 a1i ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ s ∈ − π d → K : − π π ⟶ ℝ
203 202 197 ffvelrnd ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ s ∈ − π d → K ⁡ s ∈ ℝ
204 200 203 remulcld ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ s ∈ − π d → H ⁡ s ⁢ K ⁡ s ∈ ℝ
205 15 fvmpt2 ⊢ s ∈ − π π ∧ H ⁡ s ⁢ K ⁡ s ∈ ℝ → U ⁡ s = H ⁡ s ⁢ K ⁡ s
206 197 204 205 syl2anc ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ s ∈ − π d → U ⁡ s = H ⁡ s ⁢ K ⁡ s
207 41 a1i ⊢ d ∈ − π 0 ∧ s ∈ − π d → − π ∈ ℝ
208 43 adantr ⊢ d ∈ − π 0 ∧ s ∈ − π d → d ∈ ℝ
209 simpr ⊢ d ∈ − π 0 ∧ s ∈ − π d → s ∈ − π d
210 eliccre ⊢ − π ∈ ℝ ∧ d ∈ ℝ ∧ s ∈ − π d → s ∈ ℝ
211 207 208 209 210 syl3anc ⊢ d ∈ − π 0 ∧ s ∈ − π d → s ∈ ℝ
212 0red ⊢ d ∈ − π 0 ∧ s ∈ − π d → 0 ∈ ℝ
213 75 a1i ⊢ d ∈ − π 0 ∧ s ∈ − π d → − π ∈ ℝ *
214 208 rexrd ⊢ d ∈ − π 0 ∧ s ∈ − π d → d ∈ ℝ *
215 iccleub ⊢ − π ∈ ℝ * ∧ d ∈ ℝ * ∧ s ∈ − π d → s ≤ d
216 213 214 209 215 syl3anc ⊢ d ∈ − π 0 ∧ s ∈ − π d → s ≤ d
217 78 adantr ⊢ d ∈ − π 0 ∧ s ∈ − π d → d < 0
218 211 208 212 216 217 lelttrd ⊢ d ∈ − π 0 ∧ s ∈ − π d → s < 0
219 211 218 ltned ⊢ d ∈ − π 0 ∧ s ∈ − π d → s ≠ 0
220 219 adantll ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ s ∈ − π d → s ≠ 0
221 220 neneqd ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ s ∈ − π d → ¬ s = 0
222 221 iffalsed ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ s ∈ − π d → if s = 0 0 F ⁡ X + s − if 0 < s Y W s = F ⁡ X + s − if 0 < s Y W s
223 211 212 218 ltnsymd ⊢ d ∈ − π 0 ∧ s ∈ − π d → ¬ 0 < s
224 223 adantll ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ s ∈ − π d → ¬ 0 < s
225 224 iffalsed ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ s ∈ − π d → if 0 < s Y W = W
226 225 oveq2d ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ s ∈ − π d → F ⁡ X + s − if 0 < s Y W = F ⁡ X + s − W
227 226 oveq1d ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ s ∈ − π d → F ⁡ X + s − if 0 < s Y W s = F ⁡ X + s − W s
228 222 227 eqtrd ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ s ∈ − π d → if s = 0 0 F ⁡ X + s − if 0 < s Y W s = F ⁡ X + s − W s
229 1 ad2antrr ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ s ∈ − π d → F : ℝ ⟶ ℝ
230 2 ad2antrr ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ s ∈ − π d → X ∈ ℝ
231 iccssre ⊢ − π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ → − π π ⊆ ℝ
232 41 40 231 mp2an ⊢ − π π ⊆ ℝ
233 232 197 sseldi ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ s ∈ − π d → s ∈ ℝ
234 230 233 readdcld ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ s ∈ − π d → X + s ∈ ℝ
235 229 234 ffvelrnd ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ s ∈ − π d → F ⁡ X + s ∈ ℝ
236 65 ad2antrr ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ s ∈ − π d → W ∈ ℝ
237 235 236 resubcld ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ s ∈ − π d → F ⁡ X + s − W ∈ ℝ
238 237 233 220 redivcld ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ s ∈ − π d → F ⁡ X + s − W s ∈ ℝ
239 228 238 eqeltrd ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ s ∈ − π d → if s = 0 0 F ⁡ X + s − if 0 < s Y W s ∈ ℝ
240 13 fvmpt2 ⊢ s ∈ − π π ∧ if s = 0 0 F ⁡ X + s − if 0 < s Y W s ∈ ℝ → H ⁡ s = if s = 0 0 F ⁡ X + s − if 0 < s Y W s
241 197 239 240 syl2anc ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ s ∈ − π d → H ⁡ s = if s = 0 0 F ⁡ X + s − if 0 < s Y W s
242 241 222 227 3eqtrd ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ s ∈ − π d → H ⁡ s = F ⁡ X + s − W s
243 40 a1i ⊢ d ∈ − π 0 ∧ s ∈ − π d → π ∈ ℝ
244 243 renegcld ⊢ d ∈ − π 0 ∧ s ∈ − π d → − π ∈ ℝ
245 iccgelb ⊢ − π ∈ ℝ * ∧ d ∈ ℝ * ∧ s ∈ − π d → − π ≤ s
246 213 214 209 245 syl3anc ⊢ d ∈ − π 0 ∧ s ∈ − π d → − π ≤ s
247 81 adantr ⊢ d ∈ − π 0 ∧ s ∈ − π d → d < π
248 211 208 243 216 247 lelttrd ⊢ d ∈ − π 0 ∧ s ∈ − π d → s < π
249 211 243 248 ltled ⊢ d ∈ − π 0 ∧ s ∈ − π d → s ≤ π
250 244 243 211 246 249 eliccd ⊢ d ∈ − π 0 ∧ s ∈ − π d → s ∈ − π π
251 219 neneqd ⊢ d ∈ − π 0 ∧ s ∈ − π d → ¬ s = 0
252 251 iffalsed ⊢ d ∈ − π 0 ∧ s ∈ − π d → if s = 0 1 s 2 ⁢ sin ⁡ s 2 = s 2 ⁢ sin ⁡ s 2
253 120 a1i ⊢ d ∈ − π 0 ∧ s ∈ − π d → 2 ∈ ℝ
254 211 rehalfcld ⊢ d ∈ − π 0 ∧ s ∈ − π d → s 2 ∈ ℝ
255 254 resincld ⊢ d ∈ − π 0 ∧ s ∈ − π d → sin ⁡ s 2 ∈ ℝ
256 253 255 remulcld ⊢ d ∈ − π 0 ∧ s ∈ − π d → 2 ⁢ sin ⁡ s 2 ∈ ℝ
257 2cn ⊢ 2 ∈ ℂ
258 257 a1i ⊢ d ∈ − π 0 ∧ s ∈ − π d → 2 ∈ ℂ
259 211 recnd ⊢ d ∈ − π 0 ∧ s ∈ − π d → s ∈ ℂ
260 259 halfcld ⊢ d ∈ − π 0 ∧ s ∈ − π d → s 2 ∈ ℂ
261 260 sincld ⊢ d ∈ − π 0 ∧ s ∈ − π d → sin ⁡ s 2 ∈ ℂ
262 2ne0 ⊢ 2 ≠ 0
263 262 a1i ⊢ d ∈ − π 0 ∧ s ∈ − π d → 2 ≠ 0
264 fourierdlem44 ⊢ s ∈ − π π ∧ s ≠ 0 → sin ⁡ s 2 ≠ 0
265 250 219 264 syl2anc ⊢ d ∈ − π 0 ∧ s ∈ − π d → sin ⁡ s 2 ≠ 0
266 258 261 263 265 mulne0d ⊢ d ∈ − π 0 ∧ s ∈ − π d → 2 ⁢ sin ⁡ s 2 ≠ 0
267 211 256 266 redivcld ⊢ d ∈ − π 0 ∧ s ∈ − π d → s 2 ⁢ sin ⁡ s 2 ∈ ℝ
268 252 267 eqeltrd ⊢ d ∈ − π 0 ∧ s ∈ − π d → if s = 0 1 s 2 ⁢ sin ⁡ s 2 ∈ ℝ
269 14 fvmpt2 ⊢ s ∈ − π π ∧ if s = 0 1 s 2 ⁢ sin ⁡ s 2 ∈ ℝ → K ⁡ s = if s = 0 1 s 2 ⁢ sin ⁡ s 2
270 250 268 269 syl2anc ⊢ d ∈ − π 0 ∧ s ∈ − π d → K ⁡ s = if s = 0 1 s 2 ⁢ sin ⁡ s 2
271 270 adantll ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ s ∈ − π d → K ⁡ s = if s = 0 1 s 2 ⁢ sin ⁡ s 2
272 242 271 oveq12d ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ s ∈ − π d → H ⁡ s ⁢ K ⁡ s = F ⁡ X + s − W s ⁢ if s = 0 1 s 2 ⁢ sin ⁡ s 2
273 221 iffalsed ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ s ∈ − π d → if s = 0 1 s 2 ⁢ sin ⁡ s 2 = s 2 ⁢ sin ⁡ s 2
274 273 oveq2d ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ s ∈ − π d → F ⁡ X + s − W s ⁢ if s = 0 1 s 2 ⁢ sin ⁡ s 2 = F ⁡ X + s − W s ⁢ s 2 ⁢ sin ⁡ s 2
275 206 272 274 3eqtrd ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ s ∈ − π d → U ⁡ s = F ⁡ X + s − W s ⁢ s 2 ⁢ sin ⁡ s 2
276 275 mpteq2dva ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 → s ∈ − π d ⟼ U ⁡ s = s ∈ − π d ⟼ F ⁡ X + s − W s ⁢ s 2 ⁢ sin ⁡ s 2
277 87 196 276 3eqtrd ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 → O = s ∈ − π d ⟼ F ⁡ X + s − W s ⁢ s 2 ⁢ sin ⁡ s 2
278 277 adantr ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N → O = s ∈ − π d ⟼ F ⁡ X + s − W s ⁢ s 2 ⁢ sin ⁡ s 2
279 278 reseq1d ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N → O ↾ J ⁡ k J ⁡ k + 1 = s ∈ − π d ⟼ F ⁡ X + s − W s ⁢ s 2 ⁢ sin ⁡ s 2 ↾ J ⁡ k J ⁡ k + 1
280 1 adantr ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 → F : ℝ ⟶ ℝ
281 2 adantr ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 → X ∈ ℝ
282 4 adantr ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 → M ∈ ℕ
283 5 adantr ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 → V ∈ P ⁡ M
284 7 adantlr ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ i ∈ 0 ..^ M → F ↾ V ⁡ i V ⁡ i + 1 : V ⁡ i V ⁡ i + 1 ⟶cn ℂ
285 11 adantlr ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ i ∈ 0 ..^ M → R ∈ F ↾ V ⁡ i V ⁡ i + 1 lim ℂ V ⁡ i
286 12 adantlr ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ i ∈ 0 ..^ M → L ∈ F ↾ V ⁡ i V ⁡ i + 1 lim ℂ V ⁡ i + 1
287 125 adantl ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 → − π < d
288 75 a1i ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 → − π ∈ ℝ *
289 76 a1i ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 → 0 ∈ ℝ *
290 78 adantl ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 → d < 0
291 288 44 289 290 gtnelicc ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 → ¬ 0 ∈ − π d
292 65 adantr ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 → W ∈ ℝ
293 eqid ⊢ s ∈ − π d ⟼ F ⁡ X + s − W s ⁢ s 2 ⁢ sin ⁡ s 2 = s ∈ − π d ⟼ F ⁡ X + s − W s ⁢ s 2 ⁢ sin ⁡ s 2
294 eqid ⊢ if J ⁡ k + 1 = Q ⁡ ι l ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ l Q ⁡ l + 1 + 1 ⦋ ι l ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ l Q ⁡ l + 1 / i⦌ L F ⁡ X + J ⁡ k + 1 − W J ⁡ k + 1 ⁢ J ⁡ k + 1 2 ⁢ sin ⁡ J ⁡ k + 1 2 = if J ⁡ k + 1 = Q ⁡ ι l ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ l Q ⁡ l + 1 + 1 ⦋ ι l ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ l Q ⁡ l + 1 / i⦌ L F ⁡ X + J ⁡ k + 1 − W J ⁡ k + 1 ⁢ J ⁡ k + 1 2 ⁢ sin ⁡ J ⁡ k + 1 2
295 eqid ⊢ if J ⁡ k = Q ⁡ ι l ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ l Q ⁡ l + 1 ⦋ ι l ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ l Q ⁡ l + 1 / i⦌ R F ⁡ X + J ⁡ k − W J ⁡ k ⁢ J ⁡ k 2 ⁢ sin ⁡ J ⁡ k 2 = if J ⁡ k = Q ⁡ ι l ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ l Q ⁡ l + 1 ⦋ ι l ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ l Q ⁡ l + 1 / i⦌ R F ⁡ X + J ⁡ k − W J ⁡ k ⁢ J ⁡ k 2 ⁢ sin ⁡ J ⁡ k 2
296 fveq2 ⊢ l = i → Q ⁡ l = Q ⁡ i
297 oveq1 ⊢ l = i → l + 1 = i + 1
298 297 fveq2d ⊢ l = i → Q ⁡ l + 1 = Q ⁡ i + 1
299 296 298 oveq12d ⊢ l = i → Q ⁡ l Q ⁡ l + 1 = Q ⁡ i Q ⁡ i + 1
300 299 sseq2d ⊢ l = i → J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ l Q ⁡ l + 1 ↔ J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ i Q ⁡ i + 1
301 300 cbvriotavw ⊢ ι l ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ l Q ⁡ l + 1 = ι i ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ i Q ⁡ i + 1
302 280 281 3 282 283 284 285 286 42 44 287 85 291 292 293 29 26 27 28 294 295 301 fourierdlem86 ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N → if J ⁡ k + 1 = Q ⁡ ι l ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ l Q ⁡ l + 1 + 1 ⦋ ι l ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ l Q ⁡ l + 1 / i⦌ L F ⁡ X + J ⁡ k + 1 − W J ⁡ k + 1 ⁢ J ⁡ k + 1 2 ⁢ sin ⁡ J ⁡ k + 1 2 ∈ s ∈ − π d ⟼ F ⁡ X + s − W s ⁢ s 2 ⁢ sin ⁡ s 2 ↾ J ⁡ k J ⁡ k + 1 lim ℂ J ⁡ k + 1 ∧ if J ⁡ k = Q ⁡ ι l ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ l Q ⁡ l + 1 ⦋ ι l ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ l Q ⁡ l + 1 / i⦌ R F ⁡ X + J ⁡ k − W J ⁡ k ⁢ J ⁡ k 2 ⁢ sin ⁡ J ⁡ k 2 ∈ s ∈ − π d ⟼ F ⁡ X + s − W s ⁢ s 2 ⁢ sin ⁡ s 2 ↾ J ⁡ k J ⁡ k + 1 lim ℂ J ⁡ k ∧ s ∈ − π d ⟼ F ⁡ X + s − W s ⁢ s 2 ⁢ sin ⁡ s 2 ↾ J ⁡ k J ⁡ k + 1 : J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⟶cn ℂ
303 302 simprd ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N → s ∈ − π d ⟼ F ⁡ X + s − W s ⁢ s 2 ⁢ sin ⁡ s 2 ↾ J ⁡ k J ⁡ k + 1 : J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⟶cn ℂ
304 279 303 eqeltrd ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N → O ↾ J ⁡ k J ⁡ k + 1 : J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⟶cn ℂ
305 302 simpld ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N → if J ⁡ k + 1 = Q ⁡ ι l ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ l Q ⁡ l + 1 + 1 ⦋ ι l ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ l Q ⁡ l + 1 / i⦌ L F ⁡ X + J ⁡ k + 1 − W J ⁡ k + 1 ⁢ J ⁡ k + 1 2 ⁢ sin ⁡ J ⁡ k + 1 2 ∈ s ∈ − π d ⟼ F ⁡ X + s − W s ⁢ s 2 ⁢ sin ⁡ s 2 ↾ J ⁡ k J ⁡ k + 1 lim ℂ J ⁡ k + 1 ∧ if J ⁡ k = Q ⁡ ι l ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ l Q ⁡ l + 1 ⦋ ι l ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ l Q ⁡ l + 1 / i⦌ R F ⁡ X + J ⁡ k − W J ⁡ k ⁢ J ⁡ k 2 ⁢ sin ⁡ J ⁡ k 2 ∈ s ∈ − π d ⟼ F ⁡ X + s − W s ⁢ s 2 ⁢ sin ⁡ s 2 ↾ J ⁡ k J ⁡ k + 1 lim ℂ J ⁡ k
306 305 simpld ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N → if J ⁡ k + 1 = Q ⁡ ι l ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ l Q ⁡ l + 1 + 1 ⦋ ι l ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ l Q ⁡ l + 1 / i⦌ L F ⁡ X + J ⁡ k + 1 − W J ⁡ k + 1 ⁢ J ⁡ k + 1 2 ⁢ sin ⁡ J ⁡ k + 1 2 ∈ s ∈ − π d ⟼ F ⁡ X + s − W s ⁢ s 2 ⁢ sin ⁡ s 2 ↾ J ⁡ k J ⁡ k + 1 lim ℂ J ⁡ k + 1
307 278 eqcomd ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N → s ∈ − π d ⟼ F ⁡ X + s − W s ⁢ s 2 ⁢ sin ⁡ s 2 = O
308 307 reseq1d ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N → s ∈ − π d ⟼ F ⁡ X + s − W s ⁢ s 2 ⁢ sin ⁡ s 2 ↾ J ⁡ k J ⁡ k + 1 = O ↾ J ⁡ k J ⁡ k + 1
309 308 oveq1d ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N → s ∈ − π d ⟼ F ⁡ X + s − W s ⁢ s 2 ⁢ sin ⁡ s 2 ↾ J ⁡ k J ⁡ k + 1 lim ℂ J ⁡ k + 1 = O ↾ J ⁡ k J ⁡ k + 1 lim ℂ J ⁡ k + 1
310 306 309 eleqtrd ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N → if J ⁡ k + 1 = Q ⁡ ι l ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ l Q ⁡ l + 1 + 1 ⦋ ι l ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ l Q ⁡ l + 1 / i⦌ L F ⁡ X + J ⁡ k + 1 − W J ⁡ k + 1 ⁢ J ⁡ k + 1 2 ⁢ sin ⁡ J ⁡ k + 1 2 ∈ O ↾ J ⁡ k J ⁡ k + 1 lim ℂ J ⁡ k + 1
311 305 simprd ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N → if J ⁡ k = Q ⁡ ι l ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ l Q ⁡ l + 1 ⦋ ι l ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ l Q ⁡ l + 1 / i⦌ R F ⁡ X + J ⁡ k − W J ⁡ k ⁢ J ⁡ k 2 ⁢ sin ⁡ J ⁡ k 2 ∈ s ∈ − π d ⟼ F ⁡ X + s − W s ⁢ s 2 ⁢ sin ⁡ s 2 ↾ J ⁡ k J ⁡ k + 1 lim ℂ J ⁡ k
312 308 oveq1d ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N → s ∈ − π d ⟼ F ⁡ X + s − W s ⁢ s 2 ⁢ sin ⁡ s 2 ↾ J ⁡ k J ⁡ k + 1 lim ℂ J ⁡ k = O ↾ J ⁡ k J ⁡ k + 1 lim ℂ J ⁡ k
313 311 312 eleqtrd ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N → if J ⁡ k = Q ⁡ ι l ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ l Q ⁡ l + 1 ⦋ ι l ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ l Q ⁡ l + 1 / i⦌ R F ⁡ X + J ⁡ k − W J ⁡ k ⁢ J ⁡ k 2 ⁢ sin ⁡ J ⁡ k 2 ∈ O ↾ J ⁡ k J ⁡ k + 1 lim ℂ J ⁡ k
314 eqid ⊢ ℝ D O = ℝ D O
315 89 adantr ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N → O : − π d ⟶ ℂ
316 41 a1i ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N ∧ s ∈ J ⁡ k J ⁡ k + 1 → − π ∈ ℝ
317 44 ad2antrr ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N ∧ s ∈ J ⁡ k J ⁡ k + 1 → d ∈ ℝ
318 elioore ⊢ s ∈ J ⁡ k J ⁡ k + 1 → s ∈ ℝ
319 318 adantl ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N ∧ s ∈ J ⁡ k J ⁡ k + 1 → s ∈ ℝ
320 85 232 sstrdi ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 → − π d ⊆ ℝ
321 320 adantr ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N → − π d ⊆ ℝ
322 170 adantr ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N → J : 0 … N ⟶ − π d
323 322 189 ffvelrnd ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N → J ⁡ k ∈ − π d
324 321 323 sseldd ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N → J ⁡ k ∈ ℝ
325 324 adantr ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N ∧ s ∈ J ⁡ k J ⁡ k + 1 → J ⁡ k ∈ ℝ
326 75 a1i ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N → − π ∈ ℝ *
327 44 adantr ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N → d ∈ ℝ
328 327 rexrd ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N → d ∈ ℝ *
329 iccgelb ⊢ − π ∈ ℝ * ∧ d ∈ ℝ * ∧ J ⁡ k ∈ − π d → − π ≤ J ⁡ k
330 326 328 323 329 syl3anc ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N → − π ≤ J ⁡ k
331 330 adantr ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N ∧ s ∈ J ⁡ k J ⁡ k + 1 → − π ≤ J ⁡ k
332 325 rexrd ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N ∧ s ∈ J ⁡ k J ⁡ k + 1 → J ⁡ k ∈ ℝ *
333 322 191 ffvelrnd ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N → J ⁡ k + 1 ∈ − π d
334 321 333 sseldd ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N → J ⁡ k + 1 ∈ ℝ
335 334 rexrd ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N → J ⁡ k + 1 ∈ ℝ *
336 335 adantr ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N ∧ s ∈ J ⁡ k J ⁡ k + 1 → J ⁡ k + 1 ∈ ℝ *
337 simpr ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N ∧ s ∈ J ⁡ k J ⁡ k + 1 → s ∈ J ⁡ k J ⁡ k + 1
338 ioogtlb ⊢ J ⁡ k ∈ ℝ * ∧ J ⁡ k + 1 ∈ ℝ * ∧ s ∈ J ⁡ k J ⁡ k + 1 → J ⁡ k < s
339 332 336 337 338 syl3anc ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N ∧ s ∈ J ⁡ k J ⁡ k + 1 → J ⁡ k < s
340 316 325 319 331 339 lelttrd ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N ∧ s ∈ J ⁡ k J ⁡ k + 1 → − π < s
341 316 319 340 ltled ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N ∧ s ∈ J ⁡ k J ⁡ k + 1 → − π ≤ s
342 334 adantr ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N ∧ s ∈ J ⁡ k J ⁡ k + 1 → J ⁡ k + 1 ∈ ℝ
343 iooltub ⊢ J ⁡ k ∈ ℝ * ∧ J ⁡ k + 1 ∈ ℝ * ∧ s ∈ J ⁡ k J ⁡ k + 1 → s < J ⁡ k + 1
344 332 336 337 343 syl3anc ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N ∧ s ∈ J ⁡ k J ⁡ k + 1 → s < J ⁡ k + 1
345 iccleub ⊢ − π ∈ ℝ * ∧ d ∈ ℝ * ∧ J ⁡ k + 1 ∈ − π d → J ⁡ k + 1 ≤ d
346 326 328 333 345 syl3anc ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N → J ⁡ k + 1 ≤ d
347 346 adantr ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N ∧ s ∈ J ⁡ k J ⁡ k + 1 → J ⁡ k + 1 ≤ d
348 319 342 317 344 347 ltletrd ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N ∧ s ∈ J ⁡ k J ⁡ k + 1 → s < d
349 319 317 348 ltled ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N ∧ s ∈ J ⁡ k J ⁡ k + 1 → s ≤ d
350 316 317 319 341 349 eliccd ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N ∧ s ∈ J ⁡ k J ⁡ k + 1 → s ∈ − π d
351 350 ralrimiva ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N → ∀ s ∈ J ⁡ k J ⁡ k + 1 s ∈ − π d
352 dfss3 ⊢ J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ − π d ↔ ∀ s ∈ J ⁡ k J ⁡ k + 1 s ∈ − π d
353 351 352 sylibr ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N → J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ − π d
354 315 353 feqresmpt ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N → O ↾ J ⁡ k J ⁡ k + 1 = s ∈ J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⟼ O ⁡ s
355 simplll ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N ∧ s ∈ J ⁡ k J ⁡ k + 1 → φ
356 simpllr ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N ∧ s ∈ J ⁡ k J ⁡ k + 1 → d ∈ − π 0
357 25 fveq1i ⊢ O ⁡ s = U ↾ − π d ⁡ s
358 357 a1i ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ s ∈ − π d → O ⁡ s = U ↾ − π d ⁡ s
359 fvres ⊢ s ∈ − π d → U ↾ − π d ⁡ s = U ⁡ s
360 359 adantl ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ s ∈ − π d → U ↾ − π d ⁡ s = U ⁡ s
361 271 273 eqtrd ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ s ∈ − π d → K ⁡ s = s 2 ⁢ sin ⁡ s 2
362 242 361 oveq12d ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ s ∈ − π d → H ⁡ s ⁢ K ⁡ s = F ⁡ X + s − W s ⁢ s 2 ⁢ sin ⁡ s 2
363 237 recnd ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ s ∈ − π d → F ⁡ X + s − W ∈ ℂ
364 259 adantll ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ s ∈ − π d → s ∈ ℂ
365 257 a1i ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ s ∈ − π d → 2 ∈ ℂ
366 364 halfcld ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ s ∈ − π d → s 2 ∈ ℂ
367 366 sincld ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ s ∈ − π d → sin ⁡ s 2 ∈ ℂ
368 365 367 mulcld ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ s ∈ − π d → 2 ⁢ sin ⁡ s 2 ∈ ℂ
369 266 adantll ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ s ∈ − π d → 2 ⁢ sin ⁡ s 2 ≠ 0
370 363 364 368 220 369 dmdcan2d ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ s ∈ − π d → F ⁡ X + s − W s ⁢ s 2 ⁢ sin ⁡ s 2 = F ⁡ X + s − W 2 ⁢ sin ⁡ s 2
371 206 362 370 3eqtrd ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ s ∈ − π d → U ⁡ s = F ⁡ X + s − W 2 ⁢ sin ⁡ s 2
372 358 360 371 3eqtrd ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ s ∈ − π d → O ⁡ s = F ⁡ X + s − W 2 ⁢ sin ⁡ s 2
373 355 356 350 372 syl21anc ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N ∧ s ∈ J ⁡ k J ⁡ k + 1 → O ⁡ s = F ⁡ X + s − W 2 ⁢ sin ⁡ s 2
374 355 356 350 370 syl21anc ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N ∧ s ∈ J ⁡ k J ⁡ k + 1 → F ⁡ X + s − W s ⁢ s 2 ⁢ sin ⁡ s 2 = F ⁡ X + s − W 2 ⁢ sin ⁡ s 2
375 374 eqcomd ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N ∧ s ∈ J ⁡ k J ⁡ k + 1 → F ⁡ X + s − W 2 ⁢ sin ⁡ s 2 = F ⁡ X + s − W s ⁢ s 2 ⁢ sin ⁡ s 2
376 eqidd ⊢ φ ∧ k ∈ 0 ..^ N ∧ s ∈ J ⁡ k J ⁡ k + 1 → t ∈ J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⟼ F ⁡ X + t − W t = t ∈ J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⟼ F ⁡ X + t − W t
377 oveq2 ⊢ t = s → X + t = X + s
378 377 fveq2d ⊢ t = s → F ⁡ X + t = F ⁡ X + s
379 378 oveq1d ⊢ t = s → F ⁡ X + t − W = F ⁡ X + s − W
380 id ⊢ t = s → t = s
381 379 380 oveq12d ⊢ t = s → F ⁡ X + t − W t = F ⁡ X + s − W s
382 381 adantl ⊢ φ ∧ k ∈ 0 ..^ N ∧ s ∈ J ⁡ k J ⁡ k + 1 ∧ t = s → F ⁡ X + t − W t = F ⁡ X + s − W s
383 simpr ⊢ φ ∧ k ∈ 0 ..^ N ∧ s ∈ J ⁡ k J ⁡ k + 1 → s ∈ J ⁡ k J ⁡ k + 1
384 ovex ⊢ F ⁡ X + s − W s ∈ V
385 384 a1i ⊢ φ ∧ k ∈ 0 ..^ N ∧ s ∈ J ⁡ k J ⁡ k + 1 → F ⁡ X + s − W s ∈ V
386 376 382 383 385 fvmptd ⊢ φ ∧ k ∈ 0 ..^ N ∧ s ∈ J ⁡ k J ⁡ k + 1 → t ∈ J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⟼ F ⁡ X + t − W t ⁡ s = F ⁡ X + s − W s
387 eqidd ⊢ φ ∧ k ∈ 0 ..^ N ∧ s ∈ J ⁡ k J ⁡ k + 1 → t ∈ J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⟼ t 2 ⁢ sin ⁡ t 2 = t ∈ J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⟼ t 2 ⁢ sin ⁡ t 2
388 oveq1 ⊢ t = s → t 2 = s 2
389 388 fveq2d ⊢ t = s → sin ⁡ t 2 = sin ⁡ s 2
390 389 oveq2d ⊢ t = s → 2 ⁢ sin ⁡ t 2 = 2 ⁢ sin ⁡ s 2
391 380 390 oveq12d ⊢ t = s → t 2 ⁢ sin ⁡ t 2 = s 2 ⁢ sin ⁡ s 2
392 391 adantl ⊢ φ ∧ k ∈ 0 ..^ N ∧ s ∈ J ⁡ k J ⁡ k + 1 ∧ t = s → t 2 ⁢ sin ⁡ t 2 = s 2 ⁢ sin ⁡ s 2
393 ovex ⊢ s 2 ⁢ sin ⁡ s 2 ∈ V
394 393 a1i ⊢ φ ∧ k ∈ 0 ..^ N ∧ s ∈ J ⁡ k J ⁡ k + 1 → s 2 ⁢ sin ⁡ s 2 ∈ V
395 387 392 383 394 fvmptd ⊢ φ ∧ k ∈ 0 ..^ N ∧ s ∈ J ⁡ k J ⁡ k + 1 → t ∈ J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⟼ t 2 ⁢ sin ⁡ t 2 ⁡ s = s 2 ⁢ sin ⁡ s 2
396 386 395 oveq12d ⊢ φ ∧ k ∈ 0 ..^ N ∧ s ∈ J ⁡ k J ⁡ k + 1 → t ∈ J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⟼ F ⁡ X + t − W t ⁡ s ⁢ t ∈ J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⟼ t 2 ⁢ sin ⁡ t 2 ⁡ s = F ⁡ X + s − W s ⁢ s 2 ⁢ sin ⁡ s 2
397 396 eqcomd ⊢ φ ∧ k ∈ 0 ..^ N ∧ s ∈ J ⁡ k J ⁡ k + 1 → F ⁡ X + s − W s ⁢ s 2 ⁢ sin ⁡ s 2 = t ∈ J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⟼ F ⁡ X + t − W t ⁡ s ⁢ t ∈ J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⟼ t 2 ⁢ sin ⁡ t 2 ⁡ s
398 397 adantllr ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N ∧ s ∈ J ⁡ k J ⁡ k + 1 → F ⁡ X + s − W s ⁢ s 2 ⁢ sin ⁡ s 2 = t ∈ J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⟼ F ⁡ X + t − W t ⁡ s ⁢ t ∈ J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⟼ t 2 ⁢ sin ⁡ t 2 ⁡ s
399 373 375 398 3eqtrd ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N ∧ s ∈ J ⁡ k J ⁡ k + 1 → O ⁡ s = t ∈ J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⟼ F ⁡ X + t − W t ⁡ s ⁢ t ∈ J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⟼ t 2 ⁢ sin ⁡ t 2 ⁡ s
400 399 mpteq2dva ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N → s ∈ J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⟼ O ⁡ s = s ∈ J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⟼ t ∈ J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⟼ F ⁡ X + t − W t ⁡ s ⁢ t ∈ J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⟼ t 2 ⁢ sin ⁡ t 2 ⁡ s
401 354 400 eqtr2d ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N → s ∈ J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⟼ t ∈ J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⟼ F ⁡ X + t − W t ⁡ s ⁢ t ∈ J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⟼ t 2 ⁢ sin ⁡ t 2 ⁡ s = O ↾ J ⁡ k J ⁡ k + 1
402 401 oveq2d ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N → ds ∈ J ⁡ k J ⁡ k + 1 t ∈ J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⟼ F ⁡ X + t − W t ⁡ s ⁢ t ∈ J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⟼ t 2 ⁢ sin ⁡ t 2 ⁡ s d ℝ s = ℝ D O ↾ J ⁡ k J ⁡ k + 1
403 67 a1i ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N → ℝ ⊆ ℂ
404 353 321 sstrd ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N → J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ ℝ
405 50 tgioo2 ⊢ topGen ⁡ ran ⁡ . = TopOpen ⁡ ℂ fld ↾ 𝑡 ℝ
406 50 405 dvres ⊢ ℝ ⊆ ℂ ∧ O : − π d ⟶ ℂ ∧ − π d ⊆ ℝ ∧ J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ ℝ → ℝ D O ↾ J ⁡ k J ⁡ k + 1 = O ℝ ′ ↾ int ⁡ topGen ⁡ ran ⁡ . ⁡ J ⁡ k J ⁡ k + 1
407 403 315 321 404 406 syl22anc ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N → ℝ D O ↾ J ⁡ k J ⁡ k + 1 = O ℝ ′ ↾ int ⁡ topGen ⁡ ran ⁡ . ⁡ J ⁡ k J ⁡ k + 1
408 ioontr ⊢ int ⁡ topGen ⁡ ran ⁡ . ⁡ J ⁡ k J ⁡ k + 1 = J ⁡ k J ⁡ k + 1
409 408 a1i ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N → int ⁡ topGen ⁡ ran ⁡ . ⁡ J ⁡ k J ⁡ k + 1 = J ⁡ k J ⁡ k + 1
410 409 reseq2d ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N → O ℝ ′ ↾ int ⁡ topGen ⁡ ran ⁡ . ⁡ J ⁡ k J ⁡ k + 1 = O ℝ ′ ↾ J ⁡ k J ⁡ k + 1
411 402 407 410 3eqtrrd ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N → O ℝ ′ ↾ J ⁡ k J ⁡ k + 1 = ds ∈ J ⁡ k J ⁡ k + 1 t ∈ J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⟼ F ⁡ X + t − W t ⁡ s ⁢ t ∈ J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⟼ t 2 ⁢ sin ⁡ t 2 ⁡ s d ℝ s
412 1 ad2antrr ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N → F : ℝ ⟶ ℝ
413 2 ad2antrr ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N → X ∈ ℝ
414 4 ad2antrr ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N → M ∈ ℕ
415 5 ad2antrr ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N → V ∈ P ⁡ M
416 9 ad4ant14 ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N ∧ i ∈ 0 ..^ M → F ℝ ′ ↾ V ⁡ i V ⁡ i + 1 : V ⁡ i V ⁡ i + 1 ⟶cn ℝ
417 85 adantr ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N → − π d ⊆ − π π
418 353 417 sstrd ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N → J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ − π π
419 324 rexrd ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N → J ⁡ k ∈ ℝ *
420 76 a1i ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N → 0 ∈ ℝ *
421 0red ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N → 0 ∈ ℝ
422 78 ad2antlr ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N → d < 0
423 334 327 421 346 422 lelttrd ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N → J ⁡ k + 1 < 0
424 419 334 420 423 gtnelicc ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N → ¬ 0 ∈ J ⁡ k J ⁡ k + 1
425 65 ad2antrr ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N → W ∈ ℝ
426 41 a1i ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N → − π ∈ ℝ
427 125 ad2antlr ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N → − π < d
428 simpr ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N → k ∈ 0 ..^ N
429 biid ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N ∧ i ∈ 0 ..^ M ∧ J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ i Q ⁡ i + 1 ∧ v ∈ 0 ..^ M ∧ J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ v Q ⁡ v + 1 ↔ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N ∧ i ∈ 0 ..^ M ∧ J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ i Q ⁡ i + 1 ∧ v ∈ 0 ..^ M ∧ J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ v Q ⁡ v + 1
430 413 3 414 415 426 327 427 417 29 26 27 28 428 301 429 fourierdlem50 ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N → ι l ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ l Q ⁡ l + 1 ∈ 0 ..^ M ∧ J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ ι l ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ l Q ⁡ l + 1 Q ⁡ ι l ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ l Q ⁡ l + 1 + 1
431 430 simpld ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N → ι l ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ l Q ⁡ l + 1 ∈ 0 ..^ M
432 430 simprd ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N → J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ ι l ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ l Q ⁡ l + 1 Q ⁡ ι l ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ l Q ⁡ l + 1 + 1
433 381 cbvmptv ⊢ t ∈ J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⟼ F ⁡ X + t − W t = s ∈ J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⟼ F ⁡ X + s − W s
434 391 cbvmptv ⊢ t ∈ J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⟼ t 2 ⁢ sin ⁡ t 2 = s ∈ J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⟼ s 2 ⁢ sin ⁡ s 2
435 eqid ⊢ s ∈ J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⟼ t ∈ J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⟼ F ⁡ X + t − W t ⁡ s ⁢ t ∈ J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⟼ t 2 ⁢ sin ⁡ t 2 ⁡ s = s ∈ J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⟼ t ∈ J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⟼ F ⁡ X + t − W t ⁡ s ⁢ t ∈ J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⟼ t 2 ⁢ sin ⁡ t 2 ⁡ s
436 412 413 3 414 415 416 324 334 194 418 424 425 29 431 432 433 434 435 fourierdlem72 ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N → ds ∈ J ⁡ k J ⁡ k + 1 t ∈ J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⟼ F ⁡ X + t − W t ⁡ s ⁢ t ∈ J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⟼ t 2 ⁢ sin ⁡ t 2 ⁡ s d ℝ s : J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⟶cn ℂ
437 411 436 eqeltrd ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N → O ℝ ′ ↾ J ⁡ k J ⁡ k + 1 : J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⟶cn ℂ
438 eqid ⊢ s ∈ − π d ⟼ F ⁡ X + s − W 2 ⁢ sin ⁡ s 2 = s ∈ − π d ⟼ F ⁡ X + s − W 2 ⁢ sin ⁡ s 2
439 eqid ⊢ X + J ⁡ k X + J ⁡ k + 1 = X + J ⁡ k X + J ⁡ k + 1
440 30 431 eqeltrid ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N → C ∈ 0 ..^ M
441 simpll ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N → φ
442 441 440 jca ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N → φ ∧ C ∈ 0 ..^ M
443 eleq1 ⊢ i = C → i ∈ 0 ..^ M ↔ C ∈ 0 ..^ M
444 443 anbi2d ⊢ i = C → φ ∧ i ∈ 0 ..^ M ↔ φ ∧ C ∈ 0 ..^ M
445 fveq2 ⊢ i = C → V ⁡ i = V ⁡ C
446 oveq1 ⊢ i = C → i + 1 = C + 1
447 446 fveq2d ⊢ i = C → V ⁡ i + 1 = V ⁡ C + 1
448 445 447 oveq12d ⊢ i = C → V ⁡ i V ⁡ i + 1 = V ⁡ C V ⁡ C + 1
449 raleq ⊢ V ⁡ i V ⁡ i + 1 = V ⁡ C V ⁡ C + 1 → ∀ t ∈ V ⁡ i V ⁡ i + 1 F ⁡ t ≤ w ↔ ∀ t ∈ V ⁡ C V ⁡ C + 1 F ⁡ t ≤ w
450 448 449 syl ⊢ i = C → ∀ t ∈ V ⁡ i V ⁡ i + 1 F ⁡ t ≤ w ↔ ∀ t ∈ V ⁡ C V ⁡ C + 1 F ⁡ t ≤ w
451 450 rexbidv ⊢ i = C → ∃ w ∈ ℝ ∀ t ∈ V ⁡ i V ⁡ i + 1 F ⁡ t ≤ w ↔ ∃ w ∈ ℝ ∀ t ∈ V ⁡ C V ⁡ C + 1 F ⁡ t ≤ w
452 444 451 imbi12d ⊢ i = C → φ ∧ i ∈ 0 ..^ M → ∃ w ∈ ℝ ∀ t ∈ V ⁡ i V ⁡ i + 1 F ⁡ t ≤ w ↔ φ ∧ C ∈ 0 ..^ M → ∃ w ∈ ℝ ∀ t ∈ V ⁡ C V ⁡ C + 1 F ⁡ t ≤ w
453 452 8 vtoclg ⊢ C ∈ 0 ..^ M → φ ∧ C ∈ 0 ..^ M → ∃ w ∈ ℝ ∀ t ∈ V ⁡ C V ⁡ C + 1 F ⁡ t ≤ w
454 440 442 453 sylc ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N → ∃ w ∈ ℝ ∀ t ∈ V ⁡ C V ⁡ C + 1 F ⁡ t ≤ w
455 nfv ⊢ Ⅎ t φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N
456 nfra1 ⊢ Ⅎ t ∀ t ∈ V ⁡ C V ⁡ C + 1 F ⁡ t ≤ w
457 455 456 nfan ⊢ Ⅎ t φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N ∧ ∀ t ∈ V ⁡ C V ⁡ C + 1 F ⁡ t ≤ w
458 simplr ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N ∧ ∀ t ∈ V ⁡ C V ⁡ C + 1 F ⁡ t ≤ w ∧ t ∈ X + J ⁡ k X + J ⁡ k + 1 → ∀ t ∈ V ⁡ C V ⁡ C + 1 F ⁡ t ≤ w
459 41 a1i ⊢ φ → − π ∈ ℝ
460 459 2 readdcld ⊢ φ → - π + X ∈ ℝ
461 40 a1i ⊢ φ → π ∈ ℝ
462 461 2 readdcld ⊢ φ → π + X ∈ ℝ
463 460 462 iccssred ⊢ φ → - π + X π + X ⊆ ℝ
464 ressxr ⊢ ℝ ⊆ ℝ *
465 463 464 sstrdi ⊢ φ → - π + X π + X ⊆ ℝ *
466 465 ad2antrr ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N → - π + X π + X ⊆ ℝ *
467 3 414 415 fourierdlem15 ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N → V : 0 … M ⟶ - π + X π + X
468 elfzofz ⊢ C ∈ 0 ..^ M → C ∈ 0 … M
469 440 468 syl ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N → C ∈ 0 … M
470 467 469 ffvelrnd ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N → V ⁡ C ∈ - π + X π + X
471 466 470 sseldd ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N → V ⁡ C ∈ ℝ *
472 471 adantr ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N ∧ t ∈ X + J ⁡ k X + J ⁡ k + 1 → V ⁡ C ∈ ℝ *
473 fzofzp1 ⊢ C ∈ 0 ..^ M → C + 1 ∈ 0 … M
474 440 473 syl ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N → C + 1 ∈ 0 … M
475 467 474 ffvelrnd ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N → V ⁡ C + 1 ∈ - π + X π + X
476 466 475 sseldd ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N → V ⁡ C + 1 ∈ ℝ *
477 476 adantr ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N ∧ t ∈ X + J ⁡ k X + J ⁡ k + 1 → V ⁡ C + 1 ∈ ℝ *
478 elioore ⊢ t ∈ X + J ⁡ k X + J ⁡ k + 1 → t ∈ ℝ
479 478 adantl ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N ∧ t ∈ X + J ⁡ k X + J ⁡ k + 1 → t ∈ ℝ
480 40 a1i ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N → π ∈ ℝ
481 426 480 413 3 414 415 469 29 fourierdlem13 ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N → Q ⁡ C = V ⁡ C − X ∧ V ⁡ C = X + Q ⁡ C
482 481 simprd ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N → V ⁡ C = X + Q ⁡ C
483 482 adantr ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N ∧ t ∈ X + J ⁡ k X + J ⁡ k + 1 → V ⁡ C = X + Q ⁡ C
484 463 ad2antrr ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N → - π + X π + X ⊆ ℝ
485 484 470 sseldd ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N → V ⁡ C ∈ ℝ
486 485 adantr ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N ∧ t ∈ X + J ⁡ k X + J ⁡ k + 1 → V ⁡ C ∈ ℝ
487 483 486 eqeltrrd ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N ∧ t ∈ X + J ⁡ k X + J ⁡ k + 1 → X + Q ⁡ C ∈ ℝ
488 413 324 readdcld ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N → X + J ⁡ k ∈ ℝ
489 488 adantr ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N ∧ t ∈ X + J ⁡ k X + J ⁡ k + 1 → X + J ⁡ k ∈ ℝ
490 481 simpld ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N → Q ⁡ C = V ⁡ C − X
491 485 413 resubcld ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N → V ⁡ C − X ∈ ℝ
492 490 491 eqeltrd ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N → Q ⁡ C ∈ ℝ
493 426 480 413 3 414 415 474 29 fourierdlem13 ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N → Q ⁡ C + 1 = V ⁡ C + 1 − X ∧ V ⁡ C + 1 = X + Q ⁡ C + 1
494 493 simpld ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N → Q ⁡ C + 1 = V ⁡ C + 1 − X
495 484 475 sseldd ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N → V ⁡ C + 1 ∈ ℝ
496 495 413 resubcld ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N → V ⁡ C + 1 − X ∈ ℝ
497 494 496 eqeltrd ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N → Q ⁡ C + 1 ∈ ℝ
498 30 eqcomi ⊢ ι l ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ l Q ⁡ l + 1 = C
499 498 fveq2i ⊢ Q ⁡ ι l ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ l Q ⁡ l + 1 = Q ⁡ C
500 498 oveq1i ⊢ ι l ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ l Q ⁡ l + 1 + 1 = C + 1
501 500 fveq2i ⊢ Q ⁡ ι l ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ l Q ⁡ l + 1 + 1 = Q ⁡ C + 1
502 499 501 oveq12i ⊢ Q ⁡ ι l ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ l Q ⁡ l + 1 Q ⁡ ι l ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ l Q ⁡ l + 1 + 1 = Q ⁡ C Q ⁡ C + 1
503 432 502 sseqtrdi ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N → J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ C Q ⁡ C + 1
504 492 497 324 334 194 503 fourierdlem10 ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N → Q ⁡ C ≤ J ⁡ k ∧ J ⁡ k + 1 ≤ Q ⁡ C + 1
505 504 simpld ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N → Q ⁡ C ≤ J ⁡ k
506 492 324 413 505 leadd2dd ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N → X + Q ⁡ C ≤ X + J ⁡ k
507 506 adantr ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N ∧ t ∈ X + J ⁡ k X + J ⁡ k + 1 → X + Q ⁡ C ≤ X + J ⁡ k
508 489 rexrd ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N ∧ t ∈ X + J ⁡ k X + J ⁡ k + 1 → X + J ⁡ k ∈ ℝ *
509 413 334 readdcld ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N → X + J ⁡ k + 1 ∈ ℝ
510 509 rexrd ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N → X + J ⁡ k + 1 ∈ ℝ *
511 510 adantr ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N ∧ t ∈ X + J ⁡ k X + J ⁡ k + 1 → X + J ⁡ k + 1 ∈ ℝ *
512 simpr ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N ∧ t ∈ X + J ⁡ k X + J ⁡ k + 1 → t ∈ X + J ⁡ k X + J ⁡ k + 1
513 ioogtlb ⊢ X + J ⁡ k ∈ ℝ * ∧ X + J ⁡ k + 1 ∈ ℝ * ∧ t ∈ X + J ⁡ k X + J ⁡ k + 1 → X + J ⁡ k < t
514 508 511 512 513 syl3anc ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N ∧ t ∈ X + J ⁡ k X + J ⁡ k + 1 → X + J ⁡ k < t
515 487 489 479 507 514 lelttrd ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N ∧ t ∈ X + J ⁡ k X + J ⁡ k + 1 → X + Q ⁡ C < t
516 483 515 eqbrtrd ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N ∧ t ∈ X + J ⁡ k X + J ⁡ k + 1 → V ⁡ C < t
517 509 adantr ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N ∧ t ∈ X + J ⁡ k X + J ⁡ k + 1 → X + J ⁡ k + 1 ∈ ℝ
518 493 simprd ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N → V ⁡ C + 1 = X + Q ⁡ C + 1
519 518 495 eqeltrrd ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N → X + Q ⁡ C + 1 ∈ ℝ
520 519 adantr ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N ∧ t ∈ X + J ⁡ k X + J ⁡ k + 1 → X + Q ⁡ C + 1 ∈ ℝ
521 iooltub ⊢ X + J ⁡ k ∈ ℝ * ∧ X + J ⁡ k + 1 ∈ ℝ * ∧ t ∈ X + J ⁡ k X + J ⁡ k + 1 → t < X + J ⁡ k + 1
522 508 511 512 521 syl3anc ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N ∧ t ∈ X + J ⁡ k X + J ⁡ k + 1 → t < X + J ⁡ k + 1
523 504 simprd ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N → J ⁡ k + 1 ≤ Q ⁡ C + 1
524 334 497 413 523 leadd2dd ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N → X + J ⁡ k + 1 ≤ X + Q ⁡ C + 1
525 524 adantr ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N ∧ t ∈ X + J ⁡ k X + J ⁡ k + 1 → X + J ⁡ k + 1 ≤ X + Q ⁡ C + 1
526 479 517 520 522 525 ltletrd ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N ∧ t ∈ X + J ⁡ k X + J ⁡ k + 1 → t < X + Q ⁡ C + 1
527 518 eqcomd ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N → X + Q ⁡ C + 1 = V ⁡ C + 1
528 527 adantr ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N ∧ t ∈ X + J ⁡ k X + J ⁡ k + 1 → X + Q ⁡ C + 1 = V ⁡ C + 1
529 526 528 breqtrd ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N ∧ t ∈ X + J ⁡ k X + J ⁡ k + 1 → t < V ⁡ C + 1
530 472 477 479 516 529 eliood ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N ∧ t ∈ X + J ⁡ k X + J ⁡ k + 1 → t ∈ V ⁡ C V ⁡ C + 1
531 530 adantlr ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N ∧ ∀ t ∈ V ⁡ C V ⁡ C + 1 F ⁡ t ≤ w ∧ t ∈ X + J ⁡ k X + J ⁡ k + 1 → t ∈ V ⁡ C V ⁡ C + 1
532 rspa ⊢ ∀ t ∈ V ⁡ C V ⁡ C + 1 F ⁡ t ≤ w ∧ t ∈ V ⁡ C V ⁡ C + 1 → F ⁡ t ≤ w
533 458 531 532 syl2anc ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N ∧ ∀ t ∈ V ⁡ C V ⁡ C + 1 F ⁡ t ≤ w ∧ t ∈ X + J ⁡ k X + J ⁡ k + 1 → F ⁡ t ≤ w
534 533 ex ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N ∧ ∀ t ∈ V ⁡ C V ⁡ C + 1 F ⁡ t ≤ w → t ∈ X + J ⁡ k X + J ⁡ k + 1 → F ⁡ t ≤ w
535 457 534 ralrimi ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N ∧ ∀ t ∈ V ⁡ C V ⁡ C + 1 F ⁡ t ≤ w → ∀ t ∈ X + J ⁡ k X + J ⁡ k + 1 F ⁡ t ≤ w
536 535 ex ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N → ∀ t ∈ V ⁡ C V ⁡ C + 1 F ⁡ t ≤ w → ∀ t ∈ X + J ⁡ k X + J ⁡ k + 1 F ⁡ t ≤ w
537 536 reximdv ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N → ∃ w ∈ ℝ ∀ t ∈ V ⁡ C V ⁡ C + 1 F ⁡ t ≤ w → ∃ w ∈ ℝ ∀ t ∈ X + J ⁡ k X + J ⁡ k + 1 F ⁡ t ≤ w
538 454 537 mpd ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N → ∃ w ∈ ℝ ∀ t ∈ X + J ⁡ k X + J ⁡ k + 1 F ⁡ t ≤ w
539 448 raleqdv ⊢ i = C → ∀ t ∈ V ⁡ i V ⁡ i + 1 F ℝ ′ ⁡ t ≤ z ↔ ∀ t ∈ V ⁡ C V ⁡ C + 1 F ℝ ′ ⁡ t ≤ z
540 539 rexbidv ⊢ i = C → ∃ z ∈ ℝ ∀ t ∈ V ⁡ i V ⁡ i + 1 F ℝ ′ ⁡ t ≤ z ↔ ∃ z ∈ ℝ ∀ t ∈ V ⁡ C V ⁡ C + 1 F ℝ ′ ⁡ t ≤ z
541 444 540 imbi12d ⊢ i = C → φ ∧ i ∈ 0 ..^ M → ∃ z ∈ ℝ ∀ t ∈ V ⁡ i V ⁡ i + 1 F ℝ ′ ⁡ t ≤ z ↔ φ ∧ C ∈ 0 ..^ M → ∃ z ∈ ℝ ∀ t ∈ V ⁡ C V ⁡ C + 1 F ℝ ′ ⁡ t ≤ z
542 541 10 vtoclg ⊢ C ∈ 0 ..^ M → φ ∧ C ∈ 0 ..^ M → ∃ z ∈ ℝ ∀ t ∈ V ⁡ C V ⁡ C + 1 F ℝ ′ ⁡ t ≤ z
543 440 442 542 sylc ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N → ∃ z ∈ ℝ ∀ t ∈ V ⁡ C V ⁡ C + 1 F ℝ ′ ⁡ t ≤ z
544 nfra1 ⊢ Ⅎ t ∀ t ∈ V ⁡ C V ⁡ C + 1 F ℝ ′ ⁡ t ≤ z
545 455 544 nfan ⊢ Ⅎ t φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N ∧ ∀ t ∈ V ⁡ C V ⁡ C + 1 F ℝ ′ ⁡ t ≤ z
546 1 68 fssd ⊢ φ → F : ℝ ⟶ ℂ
547 ssid ⊢ ℝ ⊆ ℝ
548 547 a1i ⊢ φ → ℝ ⊆ ℝ
549 ioossre ⊢ X + J ⁡ k X + J ⁡ k + 1 ⊆ ℝ
550 549 a1i ⊢ φ → X + J ⁡ k X + J ⁡ k + 1 ⊆ ℝ
551 50 405 dvres ⊢ ℝ ⊆ ℂ ∧ F : ℝ ⟶ ℂ ∧ ℝ ⊆ ℝ ∧ X + J ⁡ k X + J ⁡ k + 1 ⊆ ℝ → ℝ D F ↾ X + J ⁡ k X + J ⁡ k + 1 = F ℝ ′ ↾ int ⁡ topGen ⁡ ran ⁡ . ⁡ X + J ⁡ k X + J ⁡ k + 1
552 68 546 548 550 551 syl22anc ⊢ φ → ℝ D F ↾ X + J ⁡ k X + J ⁡ k + 1 = F ℝ ′ ↾ int ⁡ topGen ⁡ ran ⁡ . ⁡ X + J ⁡ k X + J ⁡ k + 1
553 ioontr ⊢ int ⁡ topGen ⁡ ran ⁡ . ⁡ X + J ⁡ k X + J ⁡ k + 1 = X + J ⁡ k X + J ⁡ k + 1
554 553 reseq2i ⊢ F ℝ ′ ↾ int ⁡ topGen ⁡ ran ⁡ . ⁡ X + J ⁡ k X + J ⁡ k + 1 = F ℝ ′ ↾ X + J ⁡ k X + J ⁡ k + 1
555 554 a1i ⊢ φ → F ℝ ′ ↾ int ⁡ topGen ⁡ ran ⁡ . ⁡ X + J ⁡ k X + J ⁡ k + 1 = F ℝ ′ ↾ X + J ⁡ k X + J ⁡ k + 1
556 552 555 eqtrd ⊢ φ → ℝ D F ↾ X + J ⁡ k X + J ⁡ k + 1 = F ℝ ′ ↾ X + J ⁡ k X + J ⁡ k + 1
557 556 fveq1d ⊢ φ → F ↾ X + J ⁡ k X + J ⁡ k + 1 ℝ ′ ⁡ t = F ℝ ′ ↾ X + J ⁡ k X + J ⁡ k + 1 ⁡ t
558 fvres ⊢ t ∈ X + J ⁡ k X + J ⁡ k + 1 → F ℝ ′ ↾ X + J ⁡ k X + J ⁡ k + 1 ⁡ t = F ℝ ′ ⁡ t
559 557 558 sylan9eq ⊢ φ ∧ t ∈ X + J ⁡ k X + J ⁡ k + 1 → F ↾ X + J ⁡ k X + J ⁡ k + 1 ℝ ′ ⁡ t = F ℝ ′ ⁡ t
560 559 ad4ant14 ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N ∧ t ∈ X + J ⁡ k X + J ⁡ k + 1 → F ↾ X + J ⁡ k X + J ⁡ k + 1 ℝ ′ ⁡ t = F ℝ ′ ⁡ t
561 560 fveq2d ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N ∧ t ∈ X + J ⁡ k X + J ⁡ k + 1 → F ↾ X + J ⁡ k X + J ⁡ k + 1 ℝ ′ ⁡ t = F ℝ ′ ⁡ t
562 561 adantlr ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N ∧ ∀ t ∈ V ⁡ C V ⁡ C + 1 F ℝ ′ ⁡ t ≤ z ∧ t ∈ X + J ⁡ k X + J ⁡ k + 1 → F ↾ X + J ⁡ k X + J ⁡ k + 1 ℝ ′ ⁡ t = F ℝ ′ ⁡ t
563 simplr ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N ∧ ∀ t ∈ V ⁡ C V ⁡ C + 1 F ℝ ′ ⁡ t ≤ z ∧ t ∈ X + J ⁡ k X + J ⁡ k + 1 → ∀ t ∈ V ⁡ C V ⁡ C + 1 F ℝ ′ ⁡ t ≤ z
564 530 adantlr ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N ∧ ∀ t ∈ V ⁡ C V ⁡ C + 1 F ℝ ′ ⁡ t ≤ z ∧ t ∈ X + J ⁡ k X + J ⁡ k + 1 → t ∈ V ⁡ C V ⁡ C + 1
565 rspa ⊢ ∀ t ∈ V ⁡ C V ⁡ C + 1 F ℝ ′ ⁡ t ≤ z ∧ t ∈ V ⁡ C V ⁡ C + 1 → F ℝ ′ ⁡ t ≤ z
566 563 564 565 syl2anc ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N ∧ ∀ t ∈ V ⁡ C V ⁡ C + 1 F ℝ ′ ⁡ t ≤ z ∧ t ∈ X + J ⁡ k X + J ⁡ k + 1 → F ℝ ′ ⁡ t ≤ z
567 562 566 eqbrtrd ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N ∧ ∀ t ∈ V ⁡ C V ⁡ C + 1 F ℝ ′ ⁡ t ≤ z ∧ t ∈ X + J ⁡ k X + J ⁡ k + 1 → F ↾ X + J ⁡ k X + J ⁡ k + 1 ℝ ′ ⁡ t ≤ z
568 567 ex ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N ∧ ∀ t ∈ V ⁡ C V ⁡ C + 1 F ℝ ′ ⁡ t ≤ z → t ∈ X + J ⁡ k X + J ⁡ k + 1 → F ↾ X + J ⁡ k X + J ⁡ k + 1 ℝ ′ ⁡ t ≤ z
569 545 568 ralrimi ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N ∧ ∀ t ∈ V ⁡ C V ⁡ C + 1 F ℝ ′ ⁡ t ≤ z → ∀ t ∈ X + J ⁡ k X + J ⁡ k + 1 F ↾ X + J ⁡ k X + J ⁡ k + 1 ℝ ′ ⁡ t ≤ z
570 569 ex ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N → ∀ t ∈ V ⁡ C V ⁡ C + 1 F ℝ ′ ⁡ t ≤ z → ∀ t ∈ X + J ⁡ k X + J ⁡ k + 1 F ↾ X + J ⁡ k X + J ⁡ k + 1 ℝ ′ ⁡ t ≤ z
571 570 reximdv ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N → ∃ z ∈ ℝ ∀ t ∈ V ⁡ C V ⁡ C + 1 F ℝ ′ ⁡ t ≤ z → ∃ z ∈ ℝ ∀ t ∈ X + J ⁡ k X + J ⁡ k + 1 F ↾ X + J ⁡ k X + J ⁡ k + 1 ℝ ′ ⁡ t ≤ z
572 543 571 mpd ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N → ∃ z ∈ ℝ ∀ t ∈ X + J ⁡ k X + J ⁡ k + 1 F ↾ X + J ⁡ k X + J ⁡ k + 1 ℝ ′ ⁡ t ≤ z
573 426 rexrd ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N → − π ∈ ℝ *
574 573 328 322 428 fourierdlem8 ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N → J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ − π d
575 145 ad2antrr ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ r ∈ − π d ∧ ¬ r ∈ ran ⁡ J → N ∈ ℕ
576 170 320 fssd ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 → J : 0 … N ⟶ ℝ
577 576 ad2antrr ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ r ∈ − π d ∧ ¬ r ∈ ran ⁡ J → J : 0 … N ⟶ ℝ
578 simpr ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ r ∈ − π d → r ∈ − π d
579 171 eqcomd ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 → − π = J ⁡ 0
580 172 eqcomd ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 → d = J ⁡ N
581 579 580 oveq12d ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 → − π d = J ⁡ 0 J ⁡ N
582 581 adantr ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ r ∈ − π d → − π d = J ⁡ 0 J ⁡ N
583 578 582 eleqtrd ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ r ∈ − π d → r ∈ J ⁡ 0 J ⁡ N
584 583 adantr ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ r ∈ − π d ∧ ¬ r ∈ ran ⁡ J → r ∈ J ⁡ 0 J ⁡ N
585 simpr ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ r ∈ − π d ∧ ¬ r ∈ ran ⁡ J → ¬ r ∈ ran ⁡ J
586 fveq2 ⊢ j = k → J ⁡ j = J ⁡ k
587 586 breq1d ⊢ j = k → J ⁡ j < r ↔ J ⁡ k < r
588 587 cbvrabv ⊢ j ∈ 0 ..^ N | J ⁡ j < r = k ∈ 0 ..^ N | J ⁡ k < r
589 588 supeq1i ⊢ sup j ∈ 0 ..^ N | J ⁡ j < r ℝ < = sup k ∈ 0 ..^ N | J ⁡ k < r ℝ <
590 575 577 584 585 589 fourierdlem25 ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ r ∈ − π d ∧ ¬ r ∈ ran ⁡ J → ∃ m ∈ 0 ..^ N r ∈ J ⁡ m J ⁡ m + 1
591 554 a1i ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N → F ℝ ′ ↾ int ⁡ topGen ⁡ ran ⁡ . ⁡ X + J ⁡ k X + J ⁡ k + 1 = F ℝ ′ ↾ X + J ⁡ k X + J ⁡ k + 1
592 546 ad2antrr ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N → F : ℝ ⟶ ℂ
593 547 a1i ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N → ℝ ⊆ ℝ
594 549 a1i ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N → X + J ⁡ k X + J ⁡ k + 1 ⊆ ℝ
595 403 592 593 594 551 syl22anc ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N → ℝ D F ↾ X + J ⁡ k X + J ⁡ k + 1 = F ℝ ′ ↾ int ⁡ topGen ⁡ ran ⁡ . ⁡ X + J ⁡ k X + J ⁡ k + 1
596 530 ralrimiva ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N → ∀ t ∈ X + J ⁡ k X + J ⁡ k + 1 t ∈ V ⁡ C V ⁡ C + 1
597 dfss3 ⊢ X + J ⁡ k X + J ⁡ k + 1 ⊆ V ⁡ C V ⁡ C + 1 ↔ ∀ t ∈ X + J ⁡ k X + J ⁡ k + 1 t ∈ V ⁡ C V ⁡ C + 1
598 596 597 sylibr ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N → X + J ⁡ k X + J ⁡ k + 1 ⊆ V ⁡ C V ⁡ C + 1
599 598 resabs1d ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N → F ℝ ′ ↾ V ⁡ C V ⁡ C + 1 ↾ X + J ⁡ k X + J ⁡ k + 1 = F ℝ ′ ↾ X + J ⁡ k X + J ⁡ k + 1
600 591 595 599 3eqtr4rd ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N → F ℝ ′ ↾ V ⁡ C V ⁡ C + 1 ↾ X + J ⁡ k X + J ⁡ k + 1 = ℝ D F ↾ X + J ⁡ k X + J ⁡ k + 1
601 simpr ⊢ φ ∧ C ∈ 0 ..^ M → C ∈ 0 ..^ M
602 id ⊢ φ ∧ C ∈ 0 ..^ M → φ ∧ C ∈ 0 ..^ M
603 448 reseq2d ⊢ i = C → F ℝ ′ ↾ V ⁡ i V ⁡ i + 1 = F ℝ ′ ↾ V ⁡ C V ⁡ C + 1
604 603 448 feq12d ⊢ i = C → F ℝ ′ ↾ V ⁡ i V ⁡ i + 1 : V ⁡ i V ⁡ i + 1 ⟶ ℝ ↔ F ℝ ′ ↾ V ⁡ C V ⁡ C + 1 : V ⁡ C V ⁡ C + 1 ⟶ ℝ
605 444 604 imbi12d ⊢ i = C → φ ∧ i ∈ 0 ..^ M → F ℝ ′ ↾ V ⁡ i V ⁡ i + 1 : V ⁡ i V ⁡ i + 1 ⟶ ℝ ↔ φ ∧ C ∈ 0 ..^ M → F ℝ ′ ↾ V ⁡ C V ⁡ C + 1 : V ⁡ C V ⁡ C + 1 ⟶ ℝ
606 cncff ⊢ F ℝ ′ ↾ V ⁡ i V ⁡ i + 1 : V ⁡ i V ⁡ i + 1 ⟶cn ℝ → F ℝ ′ ↾ V ⁡ i V ⁡ i + 1 : V ⁡ i V ⁡ i + 1 ⟶ ℝ
607 9 606 syl ⊢ φ ∧ i ∈ 0 ..^ M → F ℝ ′ ↾ V ⁡ i V ⁡ i + 1 : V ⁡ i V ⁡ i + 1 ⟶ ℝ
608 605 607 vtoclg ⊢ C ∈ 0 ..^ M → φ ∧ C ∈ 0 ..^ M → F ℝ ′ ↾ V ⁡ C V ⁡ C + 1 : V ⁡ C V ⁡ C + 1 ⟶ ℝ
609 601 602 608 sylc ⊢ φ ∧ C ∈ 0 ..^ M → F ℝ ′ ↾ V ⁡ C V ⁡ C + 1 : V ⁡ C V ⁡ C + 1 ⟶ ℝ
610 442 609 syl ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N → F ℝ ′ ↾ V ⁡ C V ⁡ C + 1 : V ⁡ C V ⁡ C + 1 ⟶ ℝ
611 610 598 fssresd ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N → F ℝ ′ ↾ V ⁡ C V ⁡ C + 1 ↾ X + J ⁡ k X + J ⁡ k + 1 : X + J ⁡ k X + J ⁡ k + 1 ⟶ ℝ
612 600 611 feq1dd ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N → F ↾ X + J ⁡ k X + J ⁡ k + 1 ℝ ′ : X + J ⁡ k X + J ⁡ k + 1 ⟶ ℝ
613 379 390 oveq12d ⊢ t = s → F ⁡ X + t − W 2 ⁢ sin ⁡ t 2 = F ⁡ X + s − W 2 ⁢ sin ⁡ s 2
614 613 cbvmptv ⊢ t ∈ J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⟼ F ⁡ X + t − W 2 ⁢ sin ⁡ t 2 = s ∈ J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⟼ F ⁡ X + s − W 2 ⁢ sin ⁡ s 2
615 biid ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N ∧ w ∈ ℝ ∧ z ∈ ℝ ↔ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N ∧ w ∈ ℝ ∧ z ∈ ℝ
616 fveq2 ⊢ r = t → F ⁡ r = F ⁡ t
617 616 fveq2d ⊢ r = t → F ⁡ r = F ⁡ t
618 617 breq1d ⊢ r = t → F ⁡ r ≤ w ↔ F ⁡ t ≤ w
619 618 cbvralvw ⊢ ∀ r ∈ X + J ⁡ k X + J ⁡ k + 1 F ⁡ r ≤ w ↔ ∀ t ∈ X + J ⁡ k X + J ⁡ k + 1 F ⁡ t ≤ w
620 615 619 anbi12i ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N ∧ w ∈ ℝ ∧ z ∈ ℝ ∧ ∀ r ∈ X + J ⁡ k X + J ⁡ k + 1 F ⁡ r ≤ w ↔ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N ∧ w ∈ ℝ ∧ z ∈ ℝ ∧ ∀ t ∈ X + J ⁡ k X + J ⁡ k + 1 F ⁡ t ≤ w
621 fveq2 ⊢ r = t → F ↾ X + J ⁡ k X + J ⁡ k + 1 ℝ ′ ⁡ r = F ↾ X + J ⁡ k X + J ⁡ k + 1 ℝ ′ ⁡ t
622 621 fveq2d ⊢ r = t → F ↾ X + J ⁡ k X + J ⁡ k + 1 ℝ ′ ⁡ r = F ↾ X + J ⁡ k X + J ⁡ k + 1 ℝ ′ ⁡ t
623 622 breq1d ⊢ r = t → F ↾ X + J ⁡ k X + J ⁡ k + 1 ℝ ′ ⁡ r ≤ z ↔ F ↾ X + J ⁡ k X + J ⁡ k + 1 ℝ ′ ⁡ t ≤ z
624 623 cbvralvw ⊢ ∀ r ∈ X + J ⁡ k X + J ⁡ k + 1 F ↾ X + J ⁡ k X + J ⁡ k + 1 ℝ ′ ⁡ r ≤ z ↔ ∀ t ∈ X + J ⁡ k X + J ⁡ k + 1 F ↾ X + J ⁡ k X + J ⁡ k + 1 ℝ ′ ⁡ t ≤ z
625 620 624 anbi12i ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N ∧ w ∈ ℝ ∧ z ∈ ℝ ∧ ∀ r ∈ X + J ⁡ k X + J ⁡ k + 1 F ⁡ r ≤ w ∧ ∀ r ∈ X + J ⁡ k X + J ⁡ k + 1 F ↾ X + J ⁡ k X + J ⁡ k + 1 ℝ ′ ⁡ r ≤ z ↔ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ 0 ..^ N ∧ w ∈ ℝ ∧ z ∈ ℝ ∧ ∀ t ∈ X + J ⁡ k X + J ⁡ k + 1 F ⁡ t ≤ w ∧ ∀ t ∈ X + J ⁡ k X + J ⁡ k + 1 F ↾ X + J ⁡ k X + J ⁡ k + 1 ℝ ′ ⁡ t ≤ z
626 280 281 42 44 85 291 292 438 439 538 572 170 194 574 590 612 614 625 fourierdlem80 ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 → ∃ b ∈ ℝ ∀ s ∈ dom ⁡ ds ∈ − π d F ⁡ X + s − W 2 ⁢ sin ⁡ s 2 d ℝ s ds ∈ − π d F ⁡ X + s − W 2 ⁢ sin ⁡ s 2 d ℝ s ⁡ s ≤ b
627 370 mpteq2dva ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 → s ∈ − π d ⟼ F ⁡ X + s − W s ⁢ s 2 ⁢ sin ⁡ s 2 = s ∈ − π d ⟼ F ⁡ X + s − W 2 ⁢ sin ⁡ s 2
628 277 627 eqtrd ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 → O = s ∈ − π d ⟼ F ⁡ X + s − W 2 ⁢ sin ⁡ s 2
629 628 oveq2d ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 → ℝ D O = ds ∈ − π d F ⁡ X + s − W 2 ⁢ sin ⁡ s 2 d ℝ s
630 629 dmeqd ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 → dom ⁡ O ℝ ′ = dom ⁡ ds ∈ − π d F ⁡ X + s − W 2 ⁢ sin ⁡ s 2 d ℝ s
631 nfcv ⊢ Ⅎ _ s dom ⁡ O ℝ ′
632 nfcv ⊢ Ⅎ _ s ℝ
633 nfcv ⊢ Ⅎ _ s D
634 nfmpt1 ⊢ Ⅎ _ s s ∈ − π d ⟼ F ⁡ X + s − W 2 ⁢ sin ⁡ s 2
635 632 633 634 nfov ⊢ Ⅎ _ s ds ∈ − π d F ⁡ X + s − W 2 ⁢ sin ⁡ s 2 d ℝ s
636 635 nfdm ⊢ Ⅎ _ s dom ⁡ ds ∈ − π d F ⁡ X + s − W 2 ⁢ sin ⁡ s 2 d ℝ s
637 631 636 raleqf ⊢ dom ⁡ O ℝ ′ = dom ⁡ ds ∈ − π d F ⁡ X + s − W 2 ⁢ sin ⁡ s 2 d ℝ s → ∀ s ∈ dom ⁡ O ℝ ′ O ℝ ′ ⁡ s ≤ b ↔ ∀ s ∈ dom ⁡ ds ∈ − π d F ⁡ X + s − W 2 ⁢ sin ⁡ s 2 d ℝ s O ℝ ′ ⁡ s ≤ b
638 630 637 syl ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 → ∀ s ∈ dom ⁡ O ℝ ′ O ℝ ′ ⁡ s ≤ b ↔ ∀ s ∈ dom ⁡ ds ∈ − π d F ⁡ X + s − W 2 ⁢ sin ⁡ s 2 d ℝ s O ℝ ′ ⁡ s ≤ b
639 629 fveq1d ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 → O ℝ ′ ⁡ s = ds ∈ − π d F ⁡ X + s − W 2 ⁢ sin ⁡ s 2 d ℝ s ⁡ s
640 639 fveq2d ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 → O ℝ ′ ⁡ s = ds ∈ − π d F ⁡ X + s − W 2 ⁢ sin ⁡ s 2 d ℝ s ⁡ s
641 640 breq1d ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 → O ℝ ′ ⁡ s ≤ b ↔ ds ∈ − π d F ⁡ X + s − W 2 ⁢ sin ⁡ s 2 d ℝ s ⁡ s ≤ b
642 641 ralbidv ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 → ∀ s ∈ dom ⁡ ds ∈ − π d F ⁡ X + s − W 2 ⁢ sin ⁡ s 2 d ℝ s O ℝ ′ ⁡ s ≤ b ↔ ∀ s ∈ dom ⁡ ds ∈ − π d F ⁡ X + s − W 2 ⁢ sin ⁡ s 2 d ℝ s ds ∈ − π d F ⁡ X + s − W 2 ⁢ sin ⁡ s 2 d ℝ s ⁡ s ≤ b
643 638 642 bitrd ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 → ∀ s ∈ dom ⁡ O ℝ ′ O ℝ ′ ⁡ s ≤ b ↔ ∀ s ∈ dom ⁡ ds ∈ − π d F ⁡ X + s − W 2 ⁢ sin ⁡ s 2 d ℝ s ds ∈ − π d F ⁡ X + s − W 2 ⁢ sin ⁡ s 2 d ℝ s ⁡ s ≤ b
644 643 rexbidv ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 → ∃ b ∈ ℝ ∀ s ∈ dom ⁡ O ℝ ′ O ℝ ′ ⁡ s ≤ b ↔ ∃ b ∈ ℝ ∀ s ∈ dom ⁡ ds ∈ − π d F ⁡ X + s − W 2 ⁢ sin ⁡ s 2 d ℝ s ds ∈ − π d F ⁡ X + s − W 2 ⁢ sin ⁡ s 2 d ℝ s ⁡ s ≤ b
645 626 644 mpbird ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 → ∃ b ∈ ℝ ∀ s ∈ dom ⁡ O ℝ ′ O ℝ ′ ⁡ s ≤ b
646 eqid ⊢ l ∈ ℝ + ⟼ ∫ − π d O ⁡ s ⁢ sin ⁡ l ⁢ s ds = l ∈ ℝ + ⟼ ∫ − π d O ⁡ s ⁢ sin ⁡ l ⁢ s ds
647 eqeq1 ⊢ t = s → t = J ⁡ k ↔ s = J ⁡ k
648 fveq2 ⊢ h = l → Q ⁡ h = Q ⁡ l
649 oveq1 ⊢ h = l → h + 1 = l + 1
650 649 fveq2d ⊢ h = l → Q ⁡ h + 1 = Q ⁡ l + 1
651 648 650 oveq12d ⊢ h = l → Q ⁡ h Q ⁡ h + 1 = Q ⁡ l Q ⁡ l + 1
652 651 sseq2d ⊢ h = l → J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ h Q ⁡ h + 1 ↔ J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ l Q ⁡ l + 1
653 652 cbvriotavw ⊢ ι h ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ h Q ⁡ h + 1 = ι l ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ l Q ⁡ l + 1
654 653 fveq2i ⊢ Q ⁡ ι h ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ h Q ⁡ h + 1 = Q ⁡ ι l ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ l Q ⁡ l + 1
655 654 eqeq2i ⊢ J ⁡ k = Q ⁡ ι h ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ h Q ⁡ h + 1 ↔ J ⁡ k = Q ⁡ ι l ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ l Q ⁡ l + 1
656 655 a1i ⊢ ⊤ → J ⁡ k = Q ⁡ ι h ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ h Q ⁡ h + 1 ↔ J ⁡ k = Q ⁡ ι l ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ l Q ⁡ l + 1
657 csbeq1 ⊢ ι h ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ h Q ⁡ h + 1 = ι l ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ l Q ⁡ l + 1 → ⦋ ι h ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ h Q ⁡ h + 1 / i⦌ R = ⦋ ι l ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ l Q ⁡ l + 1 / i⦌ R
658 653 657 ax-mp ⊢ ⦋ ι h ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ h Q ⁡ h + 1 / i⦌ R = ⦋ ι l ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ l Q ⁡ l + 1 / i⦌ R
659 658 a1i ⊢ ⊤ → ⦋ ι h ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ h Q ⁡ h + 1 / i⦌ R = ⦋ ι l ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ l Q ⁡ l + 1 / i⦌ R
660 656 659 ifbieq1d ⊢ ⊤ → if J ⁡ k = Q ⁡ ι h ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ h Q ⁡ h + 1 ⦋ ι h ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ h Q ⁡ h + 1 / i⦌ R F ⁡ X + J ⁡ k = if J ⁡ k = Q ⁡ ι l ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ l Q ⁡ l + 1 ⦋ ι l ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ l Q ⁡ l + 1 / i⦌ R F ⁡ X + J ⁡ k
661 660 mptru ⊢ if J ⁡ k = Q ⁡ ι h ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ h Q ⁡ h + 1 ⦋ ι h ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ h Q ⁡ h + 1 / i⦌ R F ⁡ X + J ⁡ k = if J ⁡ k = Q ⁡ ι l ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ l Q ⁡ l + 1 ⦋ ι l ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ l Q ⁡ l + 1 / i⦌ R F ⁡ X + J ⁡ k
662 661 oveq1i ⊢ if J ⁡ k = Q ⁡ ι h ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ h Q ⁡ h + 1 ⦋ ι h ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ h Q ⁡ h + 1 / i⦌ R F ⁡ X + J ⁡ k − W = if J ⁡ k = Q ⁡ ι l ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ l Q ⁡ l + 1 ⦋ ι l ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ l Q ⁡ l + 1 / i⦌ R F ⁡ X + J ⁡ k − W
663 662 oveq1i ⊢ if J ⁡ k = Q ⁡ ι h ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ h Q ⁡ h + 1 ⦋ ι h ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ h Q ⁡ h + 1 / i⦌ R F ⁡ X + J ⁡ k − W J ⁡ k = if J ⁡ k = Q ⁡ ι l ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ l Q ⁡ l + 1 ⦋ ι l ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ l Q ⁡ l + 1 / i⦌ R F ⁡ X + J ⁡ k − W J ⁡ k
664 663 oveq1i ⊢ if J ⁡ k = Q ⁡ ι h ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ h Q ⁡ h + 1 ⦋ ι h ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ h Q ⁡ h + 1 / i⦌ R F ⁡ X + J ⁡ k − W J ⁡ k ⁢ J ⁡ k 2 ⁢ sin ⁡ J ⁡ k 2 = if J ⁡ k = Q ⁡ ι l ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ l Q ⁡ l + 1 ⦋ ι l ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ l Q ⁡ l + 1 / i⦌ R F ⁡ X + J ⁡ k − W J ⁡ k ⁢ J ⁡ k 2 ⁢ sin ⁡ J ⁡ k 2
665 664 a1i ⊢ t = s → if J ⁡ k = Q ⁡ ι h ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ h Q ⁡ h + 1 ⦋ ι h ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ h Q ⁡ h + 1 / i⦌ R F ⁡ X + J ⁡ k − W J ⁡ k ⁢ J ⁡ k 2 ⁢ sin ⁡ J ⁡ k 2 = if J ⁡ k = Q ⁡ ι l ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ l Q ⁡ l + 1 ⦋ ι l ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ l Q ⁡ l + 1 / i⦌ R F ⁡ X + J ⁡ k − W J ⁡ k ⁢ J ⁡ k 2 ⁢ sin ⁡ J ⁡ k 2
666 eqeq1 ⊢ t = s → t = J ⁡ k + 1 ↔ s = J ⁡ k + 1
667 653 oveq1i ⊢ ι h ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ h Q ⁡ h + 1 + 1 = ι l ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ l Q ⁡ l + 1 + 1
668 667 fveq2i ⊢ Q ⁡ ι h ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ h Q ⁡ h + 1 + 1 = Q ⁡ ι l ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ l Q ⁡ l + 1 + 1
669 668 eqeq2i ⊢ J ⁡ k + 1 = Q ⁡ ι h ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ h Q ⁡ h + 1 + 1 ↔ J ⁡ k + 1 = Q ⁡ ι l ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ l Q ⁡ l + 1 + 1
670 669 a1i ⊢ ⊤ → J ⁡ k + 1 = Q ⁡ ι h ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ h Q ⁡ h + 1 + 1 ↔ J ⁡ k + 1 = Q ⁡ ι l ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ l Q ⁡ l + 1 + 1
671 csbeq1 ⊢ ι h ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ h Q ⁡ h + 1 = ι l ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ l Q ⁡ l + 1 → ⦋ ι h ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ h Q ⁡ h + 1 / i⦌ L = ⦋ ι l ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ l Q ⁡ l + 1 / i⦌ L
672 653 671 ax-mp ⊢ ⦋ ι h ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ h Q ⁡ h + 1 / i⦌ L = ⦋ ι l ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ l Q ⁡ l + 1 / i⦌ L
673 672 a1i ⊢ ⊤ → ⦋ ι h ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ h Q ⁡ h + 1 / i⦌ L = ⦋ ι l ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ l Q ⁡ l + 1 / i⦌ L
674 670 673 ifbieq1d ⊢ ⊤ → if J ⁡ k + 1 = Q ⁡ ι h ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ h Q ⁡ h + 1 + 1 ⦋ ι h ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ h Q ⁡ h + 1 / i⦌ L F ⁡ X + J ⁡ k + 1 = if J ⁡ k + 1 = Q ⁡ ι l ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ l Q ⁡ l + 1 + 1 ⦋ ι l ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ l Q ⁡ l + 1 / i⦌ L F ⁡ X + J ⁡ k + 1
675 674 mptru ⊢ if J ⁡ k + 1 = Q ⁡ ι h ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ h Q ⁡ h + 1 + 1 ⦋ ι h ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ h Q ⁡ h + 1 / i⦌ L F ⁡ X + J ⁡ k + 1 = if J ⁡ k + 1 = Q ⁡ ι l ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ l Q ⁡ l + 1 + 1 ⦋ ι l ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ l Q ⁡ l + 1 / i⦌ L F ⁡ X + J ⁡ k + 1
676 675 oveq1i ⊢ if J ⁡ k + 1 = Q ⁡ ι h ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ h Q ⁡ h + 1 + 1 ⦋ ι h ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ h Q ⁡ h + 1 / i⦌ L F ⁡ X + J ⁡ k + 1 − W = if J ⁡ k + 1 = Q ⁡ ι l ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ l Q ⁡ l + 1 + 1 ⦋ ι l ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ l Q ⁡ l + 1 / i⦌ L F ⁡ X + J ⁡ k + 1 − W
677 676 oveq1i ⊢ if J ⁡ k + 1 = Q ⁡ ι h ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ h Q ⁡ h + 1 + 1 ⦋ ι h ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ h Q ⁡ h + 1 / i⦌ L F ⁡ X + J ⁡ k + 1 − W J ⁡ k + 1 = if J ⁡ k + 1 = Q ⁡ ι l ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ l Q ⁡ l + 1 + 1 ⦋ ι l ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ l Q ⁡ l + 1 / i⦌ L F ⁡ X + J ⁡ k + 1 − W J ⁡ k + 1
678 677 oveq1i ⊢ if J ⁡ k + 1 = Q ⁡ ι h ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ h Q ⁡ h + 1 + 1 ⦋ ι h ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ h Q ⁡ h + 1 / i⦌ L F ⁡ X + J ⁡ k + 1 − W J ⁡ k + 1 ⁢ J ⁡ k + 1 2 ⁢ sin ⁡ J ⁡ k + 1 2 = if J ⁡ k + 1 = Q ⁡ ι l ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ l Q ⁡ l + 1 + 1 ⦋ ι l ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ l Q ⁡ l + 1 / i⦌ L F ⁡ X + J ⁡ k + 1 − W J ⁡ k + 1 ⁢ J ⁡ k + 1 2 ⁢ sin ⁡ J ⁡ k + 1 2
679 678 a1i ⊢ t = s → if J ⁡ k + 1 = Q ⁡ ι h ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ h Q ⁡ h + 1 + 1 ⦋ ι h ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ h Q ⁡ h + 1 / i⦌ L F ⁡ X + J ⁡ k + 1 − W J ⁡ k + 1 ⁢ J ⁡ k + 1 2 ⁢ sin ⁡ J ⁡ k + 1 2 = if J ⁡ k + 1 = Q ⁡ ι l ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ l Q ⁡ l + 1 + 1 ⦋ ι l ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ l Q ⁡ l + 1 / i⦌ L F ⁡ X + J ⁡ k + 1 − W J ⁡ k + 1 ⁢ J ⁡ k + 1 2 ⁢ sin ⁡ J ⁡ k + 1 2
680 fveq2 ⊢ t = s → O ⁡ t = O ⁡ s
681 666 679 680 ifbieq12d ⊢ t = s → if t = J ⁡ k + 1 if J ⁡ k + 1 = Q ⁡ ι h ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ h Q ⁡ h + 1 + 1 ⦋ ι h ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ h Q ⁡ h + 1 / i⦌ L F ⁡ X + J ⁡ k + 1 − W J ⁡ k + 1 ⁢ J ⁡ k + 1 2 ⁢ sin ⁡ J ⁡ k + 1 2 O ⁡ t = if s = J ⁡ k + 1 if J ⁡ k + 1 = Q ⁡ ι l ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ l Q ⁡ l + 1 + 1 ⦋ ι l ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ l Q ⁡ l + 1 / i⦌ L F ⁡ X + J ⁡ k + 1 − W J ⁡ k + 1 ⁢ J ⁡ k + 1 2 ⁢ sin ⁡ J ⁡ k + 1 2 O ⁡ s
682 647 665 681 ifbieq12d ⊢ t = s → if t = J ⁡ k if J ⁡ k = Q ⁡ ι h ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ h Q ⁡ h + 1 ⦋ ι h ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ h Q ⁡ h + 1 / i⦌ R F ⁡ X + J ⁡ k − W J ⁡ k ⁢ J ⁡ k 2 ⁢ sin ⁡ J ⁡ k 2 if t = J ⁡ k + 1 if J ⁡ k + 1 = Q ⁡ ι h ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ h Q ⁡ h + 1 + 1 ⦋ ι h ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ h Q ⁡ h + 1 / i⦌ L F ⁡ X + J ⁡ k + 1 − W J ⁡ k + 1 ⁢ J ⁡ k + 1 2 ⁢ sin ⁡ J ⁡ k + 1 2 O ⁡ t = if s = J ⁡ k if J ⁡ k = Q ⁡ ι l ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ l Q ⁡ l + 1 ⦋ ι l ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ l Q ⁡ l + 1 / i⦌ R F ⁡ X + J ⁡ k − W J ⁡ k ⁢ J ⁡ k 2 ⁢ sin ⁡ J ⁡ k 2 if s = J ⁡ k + 1 if J ⁡ k + 1 = Q ⁡ ι l ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ l Q ⁡ l + 1 + 1 ⦋ ι l ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ l Q ⁡ l + 1 / i⦌ L F ⁡ X + J ⁡ k + 1 − W J ⁡ k + 1 ⁢ J ⁡ k + 1 2 ⁢ sin ⁡ J ⁡ k + 1 2 O ⁡ s
683 682 cbvmptv ⊢ t ∈ J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⟼ if t = J ⁡ k if J ⁡ k = Q ⁡ ι h ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ h Q ⁡ h + 1 ⦋ ι h ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ h Q ⁡ h + 1 / i⦌ R F ⁡ X + J ⁡ k − W J ⁡ k ⁢ J ⁡ k 2 ⁢ sin ⁡ J ⁡ k 2 if t = J ⁡ k + 1 if J ⁡ k + 1 = Q ⁡ ι h ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ h Q ⁡ h + 1 + 1 ⦋ ι h ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ h Q ⁡ h + 1 / i⦌ L F ⁡ X + J ⁡ k + 1 − W J ⁡ k + 1 ⁢ J ⁡ k + 1 2 ⁢ sin ⁡ J ⁡ k + 1 2 O ⁡ t = s ∈ J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⟼ if s = J ⁡ k if J ⁡ k = Q ⁡ ι l ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ l Q ⁡ l + 1 ⦋ ι l ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ l Q ⁡ l + 1 / i⦌ R F ⁡ X + J ⁡ k − W J ⁡ k ⁢ J ⁡ k 2 ⁢ sin ⁡ J ⁡ k 2 if s = J ⁡ k + 1 if J ⁡ k + 1 = Q ⁡ ι l ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ l Q ⁡ l + 1 + 1 ⦋ ι l ∈ 0 ..^ M | J ⁡ k J ⁡ k + 1 ⊆ Q ⁡ l Q ⁡ l + 1 / i⦌ L F ⁡ X + J ⁡ k + 1 − W J ⁡ k + 1 ⁢ J ⁡ k + 1 2 ⁢ sin ⁡ J ⁡ k + 1 2 O ⁡ s
684 42 44 89 145 170 171 172 194 304 310 313 314 437 645 646 683 fourierdlem73 ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 → ∀ e ∈ ℝ + ∃ j ∈ ℕ ∀ l ∈ j +∞ ∫ − π d O ⁡ s ⁢ sin ⁡ l ⁢ s ds < e
685 breq2 ⊢ e = a → ∫ − π d O ⁡ s ⁢ sin ⁡ l ⁢ s ds < e ↔ ∫ − π d O ⁡ s ⁢ sin ⁡ l ⁢ s ds < a
686 685 rexralbidv ⊢ e = a → ∃ j ∈ ℕ ∀ l ∈ j +∞ ∫ − π d O ⁡ s ⁢ sin ⁡ l ⁢ s ds < e ↔ ∃ j ∈ ℕ ∀ l ∈ j +∞ ∫ − π d O ⁡ s ⁢ sin ⁡ l ⁢ s ds < a
687 686 cbvralvw ⊢ ∀ e ∈ ℝ + ∃ j ∈ ℕ ∀ l ∈ j +∞ ∫ − π d O ⁡ s ⁢ sin ⁡ l ⁢ s ds < e ↔ ∀ a ∈ ℝ + ∃ j ∈ ℕ ∀ l ∈ j +∞ ∫ − π d O ⁡ s ⁢ sin ⁡ l ⁢ s ds < a
688 684 687 sylib ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 → ∀ a ∈ ℝ + ∃ j ∈ ℕ ∀ l ∈ j +∞ ∫ − π d O ⁡ s ⁢ sin ⁡ l ⁢ s ds < a
689 688 adantlr ⊢ φ ∧ e ∈ ℝ + ∧ d ∈ − π 0 → ∀ a ∈ ℝ + ∃ j ∈ ℕ ∀ l ∈ j +∞ ∫ − π d O ⁡ s ⁢ sin ⁡ l ⁢ s ds < a
690 rphalfcl ⊢ e ∈ ℝ + → e 2 ∈ ℝ +
691 690 ad2antlr ⊢ φ ∧ e ∈ ℝ + ∧ d ∈ − π 0 → e 2 ∈ ℝ +
692 breq2 ⊢ a = e 2 → ∫ − π d O ⁡ s ⁢ sin ⁡ l ⁢ s ds < a ↔ ∫ − π d O ⁡ s ⁢ sin ⁡ l ⁢ s ds < e 2
693 692 rexralbidv ⊢ a = e 2 → ∃ j ∈ ℕ ∀ l ∈ j +∞ ∫ − π d O ⁡ s ⁢ sin ⁡ l ⁢ s ds < a ↔ ∃ j ∈ ℕ ∀ l ∈ j +∞ ∫ − π d O ⁡ s ⁢ sin ⁡ l ⁢ s ds < e 2
694 693 rspccva ⊢ ∀ a ∈ ℝ + ∃ j ∈ ℕ ∀ l ∈ j +∞ ∫ − π d O ⁡ s ⁢ sin ⁡ l ⁢ s ds < a ∧ e 2 ∈ ℝ + → ∃ j ∈ ℕ ∀ l ∈ j +∞ ∫ − π d O ⁡ s ⁢ sin ⁡ l ⁢ s ds < e 2
695 689 691 694 syl2anc ⊢ φ ∧ e ∈ ℝ + ∧ d ∈ − π 0 → ∃ j ∈ ℕ ∀ l ∈ j +∞ ∫ − π d O ⁡ s ⁢ sin ⁡ l ⁢ s ds < e 2
696 357 a1i ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ s ∈ − π d → O ⁡ s = U ↾ − π d ⁡ s
697 158 a1i ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 → − π d ⊆ − π d
698 697 sselda ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ s ∈ − π d → s ∈ − π d
699 698 359 syl ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ s ∈ − π d → U ↾ − π d ⁡ s = U ⁡ s
700 696 699 eqtr2d ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ s ∈ − π d → U ⁡ s = O ⁡ s
701 700 oveq1d ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ s ∈ − π d → U ⁡ s ⁢ sin ⁡ l ⁢ s = O ⁡ s ⁢ sin ⁡ l ⁢ s
702 701 itgeq2dv ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 → ∫ − π d U ⁡ s ⁢ sin ⁡ l ⁢ s ds = ∫ − π d O ⁡ s ⁢ sin ⁡ l ⁢ s ds
703 702 adantr ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ ∫ − π d O ⁡ s ⁢ sin ⁡ l ⁢ s ds < e 2 → ∫ − π d U ⁡ s ⁢ sin ⁡ l ⁢ s ds = ∫ − π d O ⁡ s ⁢ sin ⁡ l ⁢ s ds
704 703 fveq2d ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ ∫ − π d O ⁡ s ⁢ sin ⁡ l ⁢ s ds < e 2 → ∫ − π d U ⁡ s ⁢ sin ⁡ l ⁢ s ds = ∫ − π d O ⁡ s ⁢ sin ⁡ l ⁢ s ds
705 simpr ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ ∫ − π d O ⁡ s ⁢ sin ⁡ l ⁢ s ds < e 2 → ∫ − π d O ⁡ s ⁢ sin ⁡ l ⁢ s ds < e 2
706 704 705 eqbrtrd ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 ∧ ∫ − π d O ⁡ s ⁢ sin ⁡ l ⁢ s ds < e 2 → ∫ − π d U ⁡ s ⁢ sin ⁡ l ⁢ s ds < e 2
707 706 ex ⊢ φ ∧ d ∈ − π 0 → ∫ − π d O ⁡ s ⁢ sin ⁡ l ⁢ s ds < e 2 → ∫ − π d U ⁡ s ⁢ sin ⁡ l ⁢ s ds < e 2
708 707 adantlr ⊢ φ ∧ e ∈ ℝ + ∧ d ∈ − π 0 → ∫ − π d O ⁡ s ⁢ sin ⁡ l ⁢ s ds < e 2 → ∫ − π d U ⁡ s ⁢ sin ⁡ l ⁢ s ds < e 2
709 708 ralimdv ⊢ φ ∧ e ∈ ℝ + ∧ d ∈ − π 0 → ∀ l ∈ j +∞ ∫ − π d O ⁡ s ⁢ sin ⁡ l ⁢ s ds < e 2 → ∀ l ∈ j +∞ ∫ − π d U ⁡ s ⁢ sin ⁡ l ⁢ s ds < e 2
710 709 reximdv ⊢ φ ∧ e ∈ ℝ + ∧ d ∈ − π 0 → ∃ j ∈ ℕ ∀ l ∈ j +∞ ∫ − π d O ⁡ s ⁢ sin ⁡ l ⁢ s ds < e 2 → ∃ j ∈ ℕ ∀ l ∈ j +∞ ∫ − π d U ⁡ s ⁢ sin ⁡ l ⁢ s ds < e 2
711 695 710 mpd ⊢ φ ∧ e ∈ ℝ + ∧ d ∈ − π 0 → ∃ j ∈ ℕ ∀ l ∈ j +∞ ∫ − π d U ⁡ s ⁢ sin ⁡ l ⁢ s ds < e 2
712 711 adantr ⊢ φ ∧ e ∈ ℝ + ∧ d ∈ − π 0 ∧ ∀ k ∈ ℕ ∫ d 0 U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds < e 2 → ∃ j ∈ ℕ ∀ l ∈ j +∞ ∫ − π d U ⁡ s ⁢ sin ⁡ l ⁢ s ds < e 2
713 nfv ⊢ Ⅎ k φ ∧ e ∈ ℝ + ∧ d ∈ − π 0
714 nfra1 ⊢ Ⅎ k ∀ k ∈ ℕ ∫ d 0 U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds < e 2
715 713 714 nfan ⊢ Ⅎ k φ ∧ e ∈ ℝ + ∧ d ∈ − π 0 ∧ ∀ k ∈ ℕ ∫ d 0 U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds < e 2
716 nfv ⊢ Ⅎ k j ∈ ℕ
717 715 716 nfan ⊢ Ⅎ k φ ∧ e ∈ ℝ + ∧ d ∈ − π 0 ∧ ∀ k ∈ ℕ ∫ d 0 U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds < e 2 ∧ j ∈ ℕ
718 nfv ⊢ Ⅎ k ∀ l ∈ j +∞ ∫ − π d U ⁡ s ⁢ sin ⁡ l ⁢ s ds < e 2
719 717 718 nfan ⊢ Ⅎ k φ ∧ e ∈ ℝ + ∧ d ∈ − π 0 ∧ ∀ k ∈ ℕ ∫ d 0 U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds < e 2 ∧ j ∈ ℕ ∧ ∀ l ∈ j +∞ ∫ − π d U ⁡ s ⁢ sin ⁡ l ⁢ s ds < e 2
720 simpll ⊢ φ ∧ e ∈ ℝ + ∧ d ∈ − π 0 ∧ j ∈ ℕ ∧ k ∈ ℤ ≥ j → φ ∧ e ∈ ℝ + ∧ d ∈ − π 0
721 eluznn ⊢ j ∈ ℕ ∧ k ∈ ℤ ≥ j → k ∈ ℕ
722 721 adantll ⊢ φ ∧ e ∈ ℝ + ∧ d ∈ − π 0 ∧ j ∈ ℕ ∧ k ∈ ℤ ≥ j → k ∈ ℕ
723 720 722 jca ⊢ φ ∧ e ∈ ℝ + ∧ d ∈ − π 0 ∧ j ∈ ℕ ∧ k ∈ ℤ ≥ j → φ ∧ e ∈ ℝ + ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ ℕ
724 723 adantllr ⊢ φ ∧ e ∈ ℝ + ∧ d ∈ − π 0 ∧ ∀ k ∈ ℕ ∫ d 0 U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds < e 2 ∧ j ∈ ℕ ∧ k ∈ ℤ ≥ j → φ ∧ e ∈ ℝ + ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ ℕ
725 simpllr ⊢ φ ∧ e ∈ ℝ + ∧ d ∈ − π 0 ∧ ∀ k ∈ ℕ ∫ d 0 U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds < e 2 ∧ j ∈ ℕ ∧ k ∈ ℤ ≥ j → ∀ k ∈ ℕ ∫ d 0 U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds < e 2
726 721 adantll ⊢ φ ∧ e ∈ ℝ + ∧ d ∈ − π 0 ∧ ∀ k ∈ ℕ ∫ d 0 U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds < e 2 ∧ j ∈ ℕ ∧ k ∈ ℤ ≥ j → k ∈ ℕ
727 rspa ⊢ ∀ k ∈ ℕ ∫ d 0 U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds < e 2 ∧ k ∈ ℕ → ∫ d 0 U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds < e 2
728 725 726 727 syl2anc ⊢ φ ∧ e ∈ ℝ + ∧ d ∈ − π 0 ∧ ∀ k ∈ ℕ ∫ d 0 U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds < e 2 ∧ j ∈ ℕ ∧ k ∈ ℤ ≥ j → ∫ d 0 U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds < e 2
729 724 728 jca ⊢ φ ∧ e ∈ ℝ + ∧ d ∈ − π 0 ∧ ∀ k ∈ ℕ ∫ d 0 U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds < e 2 ∧ j ∈ ℕ ∧ k ∈ ℤ ≥ j → φ ∧ e ∈ ℝ + ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ ℕ ∧ ∫ d 0 U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds < e 2
730 729 adantlr ⊢ φ ∧ e ∈ ℝ + ∧ d ∈ − π 0 ∧ ∀ k ∈ ℕ ∫ d 0 U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds < e 2 ∧ j ∈ ℕ ∧ ∀ l ∈ j +∞ ∫ − π d U ⁡ s ⁢ sin ⁡ l ⁢ s ds < e 2 ∧ k ∈ ℤ ≥ j → φ ∧ e ∈ ℝ + ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ ℕ ∧ ∫ d 0 U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds < e 2
731 nnre ⊢ j ∈ ℕ → j ∈ ℝ
732 731 rexrd ⊢ j ∈ ℕ → j ∈ ℝ *
733 732 adantr ⊢ j ∈ ℕ ∧ k ∈ ℤ ≥ j → j ∈ ℝ *
734 51 a1i ⊢ j ∈ ℕ ∧ k ∈ ℤ ≥ j → +∞ ∈ ℝ *
735 eluzelre ⊢ k ∈ ℤ ≥ j → k ∈ ℝ
736 1re ⊢ 1 ∈ ℝ
737 736 rehalfcli ⊢ 1 2 ∈ ℝ
738 737 a1i ⊢ k ∈ ℤ ≥ j → 1 2 ∈ ℝ
739 735 738 readdcld ⊢ k ∈ ℤ ≥ j → k + 1 2 ∈ ℝ
740 739 adantl ⊢ j ∈ ℕ ∧ k ∈ ℤ ≥ j → k + 1 2 ∈ ℝ
741 731 adantr ⊢ j ∈ ℕ ∧ k ∈ ℤ ≥ j → j ∈ ℝ
742 735 adantl ⊢ j ∈ ℕ ∧ k ∈ ℤ ≥ j → k ∈ ℝ
743 eluzle ⊢ k ∈ ℤ ≥ j → j ≤ k
744 743 adantl ⊢ j ∈ ℕ ∧ k ∈ ℤ ≥ j → j ≤ k
745 halfgt0 ⊢ 0 < 1 2
746 745 a1i ⊢ j ∈ ℕ ∧ k ∈ ℤ ≥ j → 0 < 1 2
747 737 a1i ⊢ j ∈ ℕ ∧ k ∈ ℤ ≥ j → 1 2 ∈ ℝ
748 747 742 ltaddposd ⊢ j ∈ ℕ ∧ k ∈ ℤ ≥ j → 0 < 1 2 ↔ k < k + 1 2
749 746 748 mpbid ⊢ j ∈ ℕ ∧ k ∈ ℤ ≥ j → k < k + 1 2
750 741 742 740 744 749 lelttrd ⊢ j ∈ ℕ ∧ k ∈ ℤ ≥ j → j < k + 1 2
751 740 ltpnfd ⊢ j ∈ ℕ ∧ k ∈ ℤ ≥ j → k + 1 2 < +∞
752 733 734 740 750 751 eliood ⊢ j ∈ ℕ ∧ k ∈ ℤ ≥ j → k + 1 2 ∈ j +∞
753 752 adantlr ⊢ j ∈ ℕ ∧ ∀ l ∈ j +∞ ∫ − π d U ⁡ s ⁢ sin ⁡ l ⁢ s ds < e 2 ∧ k ∈ ℤ ≥ j → k + 1 2 ∈ j +∞
754 simplr ⊢ j ∈ ℕ ∧ ∀ l ∈ j +∞ ∫ − π d U ⁡ s ⁢ sin ⁡ l ⁢ s ds < e 2 ∧ k ∈ ℤ ≥ j → ∀ l ∈ j +∞ ∫ − π d U ⁡ s ⁢ sin ⁡ l ⁢ s ds < e 2
755 oveq1 ⊢ l = k + 1 2 → l ⁢ s = k + 1 2 ⁢ s
756 755 fveq2d ⊢ l = k + 1 2 → sin ⁡ l ⁢ s = sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s
757 756 oveq2d ⊢ l = k + 1 2 → U ⁡ s ⁢ sin ⁡ l ⁢ s = U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s
758 757 adantr ⊢ l = k + 1 2 ∧ s ∈ − π d → U ⁡ s ⁢ sin ⁡ l ⁢ s = U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s
759 758 itgeq2dv ⊢ l = k + 1 2 → ∫ − π d U ⁡ s ⁢ sin ⁡ l ⁢ s ds = ∫ − π d U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds
760 759 fveq2d ⊢ l = k + 1 2 → ∫ − π d U ⁡ s ⁢ sin ⁡ l ⁢ s ds = ∫ − π d U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds
761 760 breq1d ⊢ l = k + 1 2 → ∫ − π d U ⁡ s ⁢ sin ⁡ l ⁢ s ds < e 2 ↔ ∫ − π d U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds < e 2
762 761 rspcv ⊢ k + 1 2 ∈ j +∞ → ∀ l ∈ j +∞ ∫ − π d U ⁡ s ⁢ sin ⁡ l ⁢ s ds < e 2 → ∫ − π d U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds < e 2
763 753 754 762 sylc ⊢ j ∈ ℕ ∧ ∀ l ∈ j +∞ ∫ − π d U ⁡ s ⁢ sin ⁡ l ⁢ s ds < e 2 ∧ k ∈ ℤ ≥ j → ∫ − π d U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds < e 2
764 763 adantlll ⊢ φ ∧ e ∈ ℝ + ∧ d ∈ − π 0 ∧ ∀ k ∈ ℕ ∫ d 0 U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds < e 2 ∧ j ∈ ℕ ∧ ∀ l ∈ j +∞ ∫ − π d U ⁡ s ⁢ sin ⁡ l ⁢ s ds < e 2 ∧ k ∈ ℤ ≥ j → ∫ − π d U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds < e 2
765 730 764 jca ⊢ φ ∧ e ∈ ℝ + ∧ d ∈ − π 0 ∧ ∀ k ∈ ℕ ∫ d 0 U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds < e 2 ∧ j ∈ ℕ ∧ ∀ l ∈ j +∞ ∫ − π d U ⁡ s ⁢ sin ⁡ l ⁢ s ds < e 2 ∧ k ∈ ℤ ≥ j → φ ∧ e ∈ ℝ + ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ ℕ ∧ ∫ d 0 U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds < e 2 ∧ ∫ − π d U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds < e 2
766 765 31 sylibr ⊢ φ ∧ e ∈ ℝ + ∧ d ∈ − π 0 ∧ ∀ k ∈ ℕ ∫ d 0 U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds < e 2 ∧ j ∈ ℕ ∧ ∀ l ∈ j +∞ ∫ − π d U ⁡ s ⁢ sin ⁡ l ⁢ s ds < e 2 ∧ k ∈ ℤ ≥ j → χ
767 41 a1i ⊢ χ → − π ∈ ℝ
768 0red ⊢ χ → 0 ∈ ℝ
769 ioossicc ⊢ − π 0 ⊆ − π 0
770 31 biimpi ⊢ χ → φ ∧ e ∈ ℝ + ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ ℕ ∧ ∫ d 0 U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds < e 2 ∧ ∫ − π d U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds < e 2
771 simp-4r ⊢ φ ∧ e ∈ ℝ + ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ ℕ ∧ ∫ d 0 U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds < e 2 ∧ ∫ − π d U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds < e 2 → d ∈ − π 0
772 770 771 syl ⊢ χ → d ∈ − π 0
773 769 772 sseldi ⊢ χ → d ∈ − π 0
774 simp-5l ⊢ φ ∧ e ∈ ℝ + ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ ℕ ∧ ∫ d 0 U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds < e 2 ∧ ∫ − π d U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds < e 2 → φ
775 770 774 syl ⊢ χ → φ
776 66 adantr ⊢ φ ∧ s ∈ − π 0 → U : − π π ⟶ ℝ
777 40 rexri ⊢ π ∈ ℝ *
778 0re ⊢ 0 ∈ ℝ
779 778 40 79 ltleii ⊢ 0 ≤ π
780 iooss2 ⊢ π ∈ ℝ * ∧ 0 ≤ π → − π 0 ⊆ − π π
781 777 779 780 mp2an ⊢ − π 0 ⊆ − π π
782 ioossicc ⊢ − π π ⊆ − π π
783 781 782 sstri ⊢ − π 0 ⊆ − π π
784 783 sseli ⊢ s ∈ − π 0 → s ∈ − π π
785 784 adantl ⊢ φ ∧ s ∈ − π 0 → s ∈ − π π
786 776 785 ffvelrnd ⊢ φ ∧ s ∈ − π 0 → U ⁡ s ∈ ℝ
787 775 786 sylan ⊢ χ ∧ s ∈ − π 0 → U ⁡ s ∈ ℝ
788 simpllr ⊢ φ ∧ e ∈ ℝ + ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ ℕ ∧ ∫ d 0 U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds < e 2 ∧ ∫ − π d U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds < e 2 → k ∈ ℕ
789 770 788 syl ⊢ χ → k ∈ ℕ
790 789 nnred ⊢ χ → k ∈ ℝ
791 737 a1i ⊢ χ → 1 2 ∈ ℝ
792 790 791 readdcld ⊢ χ → k + 1 2 ∈ ℝ
793 792 adantr ⊢ χ ∧ s ∈ − π 0 → k + 1 2 ∈ ℝ
794 elioore ⊢ s ∈ − π 0 → s ∈ ℝ
795 794 adantl ⊢ χ ∧ s ∈ − π 0 → s ∈ ℝ
796 793 795 remulcld ⊢ χ ∧ s ∈ − π 0 → k + 1 2 ⁢ s ∈ ℝ
797 796 resincld ⊢ χ ∧ s ∈ − π 0 → sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ∈ ℝ
798 787 797 remulcld ⊢ χ ∧ s ∈ − π 0 → U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ∈ ℝ
799 798 recnd ⊢ χ ∧ s ∈ − π 0 → U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ∈ ℂ
800 75 a1i ⊢ χ → − π ∈ ℝ *
801 76 a1i ⊢ χ → 0 ∈ ℝ *
802 767 leidd ⊢ χ → − π ≤ − π
803 ioossre ⊢ − π 0 ⊆ ℝ
804 803 772 sseldi ⊢ χ → d ∈ ℝ
805 800 801 772 77 syl3anc ⊢ χ → d < 0
806 804 768 805 ltled ⊢ χ → d ≤ 0
807 ioossioo ⊢ − π ∈ ℝ * ∧ 0 ∈ ℝ * ∧ − π ≤ − π ∧ d ≤ 0 → − π d ⊆ − π 0
808 800 801 802 806 807 syl22anc ⊢ χ → − π d ⊆ − π 0
809 ioombl ⊢ − π d ∈ dom ⁡ vol
810 809 a1i ⊢ χ → − π d ∈ dom ⁡ vol
811 eleq1 ⊢ n = k → n ∈ ℕ ↔ k ∈ ℕ
812 811 anbi2d ⊢ n = k → φ ∧ n ∈ ℕ ↔ φ ∧ k ∈ ℕ
813 simpl ⊢ n = k ∧ s ∈ − π 0 → n = k
814 813 oveq1d ⊢ n = k ∧ s ∈ − π 0 → n + 1 2 = k + 1 2
815 814 oveq1d ⊢ n = k ∧ s ∈ − π 0 → n + 1 2 ⁢ s = k + 1 2 ⁢ s
816 815 fveq2d ⊢ n = k ∧ s ∈ − π 0 → sin ⁡ n + 1 2 ⁢ s = sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s
817 816 oveq2d ⊢ n = k ∧ s ∈ − π 0 → U ⁡ s ⁢ sin ⁡ n + 1 2 ⁢ s = U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s
818 817 mpteq2dva ⊢ n = k → s ∈ − π 0 ⟼ U ⁡ s ⁢ sin ⁡ n + 1 2 ⁢ s = s ∈ − π 0 ⟼ U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s
819 818 eleq1d ⊢ n = k → s ∈ − π 0 ⟼ U ⁡ s ⁢ sin ⁡ n + 1 2 ⁢ s ∈ 𝐿 1 ↔ s ∈ − π 0 ⟼ U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ∈ 𝐿 1
820 812 819 imbi12d ⊢ n = k → φ ∧ n ∈ ℕ → s ∈ − π 0 ⟼ U ⁡ s ⁢ sin ⁡ n + 1 2 ⁢ s ∈ 𝐿 1 ↔ φ ∧ k ∈ ℕ → s ∈ − π 0 ⟼ U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ∈ 𝐿 1
821 783 a1i ⊢ φ ∧ n ∈ ℕ → − π 0 ⊆ − π π
822 ioombl ⊢ − π 0 ∈ dom ⁡ vol
823 822 a1i ⊢ φ ∧ n ∈ ℕ → − π 0 ∈ dom ⁡ vol
824 66 ffvelrnda ⊢ φ ∧ s ∈ − π π → U ⁡ s ∈ ℝ
825 824 adantlr ⊢ φ ∧ n ∈ ℕ ∧ s ∈ − π π → U ⁡ s ∈ ℝ
826 nnre ⊢ n ∈ ℕ → n ∈ ℝ
827 readdcl ⊢ n ∈ ℝ ∧ 1 2 ∈ ℝ → n + 1 2 ∈ ℝ
828 826 737 827 sylancl ⊢ n ∈ ℕ → n + 1 2 ∈ ℝ
829 828 adantr ⊢ n ∈ ℕ ∧ s ∈ − π π → n + 1 2 ∈ ℝ
830 simpr ⊢ n ∈ ℕ ∧ s ∈ − π π → s ∈ − π π
831 232 830 sseldi ⊢ n ∈ ℕ ∧ s ∈ − π π → s ∈ ℝ
832 829 831 remulcld ⊢ n ∈ ℕ ∧ s ∈ − π π → n + 1 2 ⁢ s ∈ ℝ
833 832 resincld ⊢ n ∈ ℕ ∧ s ∈ − π π → sin ⁡ n + 1 2 ⁢ s ∈ ℝ
834 833 adantll ⊢ φ ∧ n ∈ ℕ ∧ s ∈ − π π → sin ⁡ n + 1 2 ⁢ s ∈ ℝ
835 825 834 remulcld ⊢ φ ∧ n ∈ ℕ ∧ s ∈ − π π → U ⁡ s ⁢ sin ⁡ n + 1 2 ⁢ s ∈ ℝ
836 17 a1i ⊢ φ ∧ n ∈ ℕ → G = s ∈ − π π ⟼ U ⁡ s ⁢ S ⁡ s
837 16 fvmpt2 ⊢ s ∈ − π π ∧ sin ⁡ n + 1 2 ⁢ s ∈ ℝ → S ⁡ s = sin ⁡ n + 1 2 ⁢ s
838 830 833 837 syl2anc ⊢ n ∈ ℕ ∧ s ∈ − π π → S ⁡ s = sin ⁡ n + 1 2 ⁢ s
839 838 adantll ⊢ φ ∧ n ∈ ℕ ∧ s ∈ − π π → S ⁡ s = sin ⁡ n + 1 2 ⁢ s
840 839 oveq2d ⊢ φ ∧ n ∈ ℕ ∧ s ∈ − π π → U ⁡ s ⁢ S ⁡ s = U ⁡ s ⁢ sin ⁡ n + 1 2 ⁢ s
841 840 mpteq2dva ⊢ φ ∧ n ∈ ℕ → s ∈ − π π ⟼ U ⁡ s ⁢ S ⁡ s = s ∈ − π π ⟼ U ⁡ s ⁢ sin ⁡ n + 1 2 ⁢ s
842 836 841 eqtr2d ⊢ φ ∧ n ∈ ℕ → s ∈ − π π ⟼ U ⁡ s ⁢ sin ⁡ n + 1 2 ⁢ s = G
843 1 adantr ⊢ φ ∧ n ∈ ℕ → F : ℝ ⟶ ℝ
844 6 adantr ⊢ φ ∧ n ∈ ℕ → X ∈ ran ⁡ V
845 20 adantr ⊢ φ ∧ n ∈ ℕ → Y ∈ F ↾ X +∞ lim ℂ X
846 21 adantr ⊢ φ ∧ n ∈ ℕ → W ∈ F ↾ −∞ X lim ℂ X
847 826 adantl ⊢ φ ∧ n ∈ ℕ → n ∈ ℝ
848 4 adantr ⊢ φ ∧ n ∈ ℕ → M ∈ ℕ
849 5 adantr ⊢ φ ∧ n ∈ ℕ → V ∈ P ⁡ M
850 7 adantlr ⊢ φ ∧ n ∈ ℕ ∧ i ∈ 0 ..^ M → F ↾ V ⁡ i V ⁡ i + 1 : V ⁡ i V ⁡ i + 1 ⟶cn ℂ
851 11 adantlr ⊢ φ ∧ n ∈ ℕ ∧ i ∈ 0 ..^ M → R ∈ F ↾ V ⁡ i V ⁡ i + 1 lim ℂ V ⁡ i
852 12 adantlr ⊢ φ ∧ n ∈ ℕ ∧ i ∈ 0 ..^ M → L ∈ F ↾ V ⁡ i V ⁡ i + 1 lim ℂ V ⁡ i + 1
853 eqid ⊢ m ∈ ℕ ⟼ p ∈ ℝ 0 … m | p ⁡ 0 = − π ∧ p ⁡ m = π ∧ ∀ i ∈ 0 ..^ m p ⁡ i < p ⁡ i + 1 = m ∈ ℕ ⟼ p ∈ ℝ 0 … m | p ⁡ 0 = − π ∧ p ⁡ m = π ∧ ∀ i ∈ 0 ..^ m p ⁡ i < p ⁡ i + 1
854 eqid ⊢ ℝ D F = ℝ D F
855 607 adantlr ⊢ φ ∧ n ∈ ℕ ∧ i ∈ 0 ..^ M → F ℝ ′ ↾ V ⁡ i V ⁡ i + 1 : V ⁡ i V ⁡ i + 1 ⟶ ℝ
856 22 adantr ⊢ φ ∧ n ∈ ℕ → A ∈ F ℝ ′ ↾ −∞ X lim ℂ X
857 23 adantr ⊢ φ ∧ n ∈ ℕ → B ∈ F ℝ ′ ↾ X +∞ lim ℂ X
858 3 843 844 845 846 13 14 15 847 16 17 848 849 850 851 852 29 853 854 855 856 857 fourierdlem88 ⊢ φ ∧ n ∈ ℕ → G ∈ 𝐿 1
859 842 858 eqeltrd ⊢ φ ∧ n ∈ ℕ → s ∈ − π π ⟼ U ⁡ s ⁢ sin ⁡ n + 1 2 ⁢ s ∈ 𝐿 1
860 821 823 835 859 iblss ⊢ φ ∧ n ∈ ℕ → s ∈ − π 0 ⟼ U ⁡ s ⁢ sin ⁡ n + 1 2 ⁢ s ∈ 𝐿 1
861 820 860 chvarvv ⊢ φ ∧ k ∈ ℕ → s ∈ − π 0 ⟼ U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ∈ 𝐿 1
862 775 789 861 syl2anc ⊢ χ → s ∈ − π 0 ⟼ U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ∈ 𝐿 1
863 808 810 798 862 iblss ⊢ χ → s ∈ − π d ⟼ U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ∈ 𝐿 1
864 772 125 syl ⊢ χ → − π < d
865 767 804 864 ltled ⊢ χ → − π ≤ d
866 768 leidd ⊢ χ → 0 ≤ 0
867 ioossioo ⊢ − π ∈ ℝ * ∧ 0 ∈ ℝ * ∧ − π ≤ d ∧ 0 ≤ 0 → d 0 ⊆ − π 0
868 800 801 865 866 867 syl22anc ⊢ χ → d 0 ⊆ − π 0
869 ioombl ⊢ d 0 ∈ dom ⁡ vol
870 869 a1i ⊢ χ → d 0 ∈ dom ⁡ vol
871 868 870 798 862 iblss ⊢ χ → s ∈ d 0 ⟼ U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ∈ 𝐿 1
872 767 768 773 799 863 871 itgsplitioo ⊢ χ → ∫ − π 0 U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds = ∫ − π d U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds + ∫ d 0 U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds
873 808 sselda ⊢ χ ∧ s ∈ − π d → s ∈ − π 0
874 873 798 syldan ⊢ χ ∧ s ∈ − π d → U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ∈ ℝ
875 874 863 itgcl ⊢ χ → ∫ − π d U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds ∈ ℂ
876 868 sselda ⊢ χ ∧ s ∈ d 0 → s ∈ − π 0
877 876 798 syldan ⊢ χ ∧ s ∈ d 0 → U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ∈ ℝ
878 877 871 itgcl ⊢ χ → ∫ d 0 U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds ∈ ℂ
879 875 878 addcomd ⊢ χ → ∫ − π d U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds + ∫ d 0 U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds = ∫ d 0 U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds + ∫ − π d U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds
880 872 879 eqtrd ⊢ χ → ∫ − π 0 U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds = ∫ d 0 U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds + ∫ − π d U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds
881 880 fveq2d ⊢ χ → ∫ − π 0 U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds = ∫ d 0 U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds + ∫ − π d U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds
882 878 875 addcld ⊢ χ → ∫ d 0 U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds + ∫ − π d U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds ∈ ℂ
883 882 abscld ⊢ χ → ∫ d 0 U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds + ∫ − π d U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds ∈ ℝ
884 878 abscld ⊢ χ → ∫ d 0 U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds ∈ ℝ
885 875 abscld ⊢ χ → ∫ − π d U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds ∈ ℝ
886 884 885 readdcld ⊢ χ → ∫ d 0 U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds + ∫ − π d U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds ∈ ℝ
887 simp-5r ⊢ φ ∧ e ∈ ℝ + ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ ℕ ∧ ∫ d 0 U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds < e 2 ∧ ∫ − π d U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds < e 2 → e ∈ ℝ +
888 770 887 syl ⊢ χ → e ∈ ℝ +
889 888 rpred ⊢ χ → e ∈ ℝ
890 878 875 abstrid ⊢ χ → ∫ d 0 U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds + ∫ − π d U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds ≤ ∫ d 0 U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds + ∫ − π d U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds
891 simplr ⊢ φ ∧ e ∈ ℝ + ∧ d ∈ − π 0 ∧ k ∈ ℕ ∧ ∫ d 0 U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds < e 2 ∧ ∫ − π d U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds < e 2 → ∫ d 0 U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds < e 2
892 770 891 syl ⊢ χ → ∫ d 0 U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds < e 2
893 770 simprd ⊢ χ → ∫ − π d U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds < e 2
894 884 885 889 892 893 lt2halvesd ⊢ χ → ∫ d 0 U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds + ∫ − π d U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds < e
895 883 886 889 890 894 lelttrd ⊢ χ → ∫ d 0 U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds + ∫ − π d U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds < e
896 881 895 eqbrtrd ⊢ χ → ∫ − π 0 U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds < e
897 766 896 syl ⊢ φ ∧ e ∈ ℝ + ∧ d ∈ − π 0 ∧ ∀ k ∈ ℕ ∫ d 0 U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds < e 2 ∧ j ∈ ℕ ∧ ∀ l ∈ j +∞ ∫ − π d U ⁡ s ⁢ sin ⁡ l ⁢ s ds < e 2 ∧ k ∈ ℤ ≥ j → ∫ − π 0 U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds < e
898 897 ex ⊢ φ ∧ e ∈ ℝ + ∧ d ∈ − π 0 ∧ ∀ k ∈ ℕ ∫ d 0 U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds < e 2 ∧ j ∈ ℕ ∧ ∀ l ∈ j +∞ ∫ − π d U ⁡ s ⁢ sin ⁡ l ⁢ s ds < e 2 → k ∈ ℤ ≥ j → ∫ − π 0 U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds < e
899 719 898 ralrimi ⊢ φ ∧ e ∈ ℝ + ∧ d ∈ − π 0 ∧ ∀ k ∈ ℕ ∫ d 0 U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds < e 2 ∧ j ∈ ℕ ∧ ∀ l ∈ j +∞ ∫ − π d U ⁡ s ⁢ sin ⁡ l ⁢ s ds < e 2 → ∀ k ∈ ℤ ≥ j ∫ − π 0 U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds < e
900 899 ex ⊢ φ ∧ e ∈ ℝ + ∧ d ∈ − π 0 ∧ ∀ k ∈ ℕ ∫ d 0 U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds < e 2 ∧ j ∈ ℕ → ∀ l ∈ j +∞ ∫ − π d U ⁡ s ⁢ sin ⁡ l ⁢ s ds < e 2 → ∀ k ∈ ℤ ≥ j ∫ − π 0 U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds < e
901 900 reximdva ⊢ φ ∧ e ∈ ℝ + ∧ d ∈ − π 0 ∧ ∀ k ∈ ℕ ∫ d 0 U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds < e 2 → ∃ j ∈ ℕ ∀ l ∈ j +∞ ∫ − π d U ⁡ s ⁢ sin ⁡ l ⁢ s ds < e 2 → ∃ j ∈ ℕ ∀ k ∈ ℤ ≥ j ∫ − π 0 U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds < e
902 712 901 mpd ⊢ φ ∧ e ∈ ℝ + ∧ d ∈ − π 0 ∧ ∀ k ∈ ℕ ∫ d 0 U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds < e 2 → ∃ j ∈ ℕ ∀ k ∈ ℤ ≥ j ∫ − π 0 U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds < e
903 negpilt0 ⊢ − π < 0
904 41 778 40 lttri ⊢ − π < 0 ∧ 0 < π → − π < π
905 903 79 904 mp2an ⊢ − π < π
906 41 40 905 ltleii ⊢ − π ≤ π
907 906 a1i ⊢ φ → − π ≤ π
908 3 fourierdlem2 ⊢ M ∈ ℕ → V ∈ P ⁡ M ↔ V ∈ ℝ 0 … M ∧ V ⁡ 0 = - π + X ∧ V ⁡ M = π + X ∧ ∀ i ∈ 0 ..^ M V ⁡ i < V ⁡ i + 1
909 4 908 syl ⊢ φ → V ∈ P ⁡ M ↔ V ∈ ℝ 0 … M ∧ V ⁡ 0 = - π + X ∧ V ⁡ M = π + X ∧ ∀ i ∈ 0 ..^ M V ⁡ i < V ⁡ i + 1
910 5 909 mpbid ⊢ φ → V ∈ ℝ 0 … M ∧ V ⁡ 0 = - π + X ∧ V ⁡ M = π + X ∧ ∀ i ∈ 0 ..^ M V ⁡ i < V ⁡ i + 1
911 910 simpld ⊢ φ → V ∈ ℝ 0 … M
912 elmapi ⊢ V ∈ ℝ 0 … M → V : 0 … M ⟶ ℝ
913 911 912 syl ⊢ φ → V : 0 … M ⟶ ℝ
914 913 ffvelrnda ⊢ φ ∧ i ∈ 0 … M → V ⁡ i ∈ ℝ
915 2 adantr ⊢ φ ∧ i ∈ 0 … M → X ∈ ℝ
916 914 915 resubcld ⊢ φ ∧ i ∈ 0 … M → V ⁡ i − X ∈ ℝ
917 916 29 fmptd ⊢ φ → Q : 0 … M ⟶ ℝ
918 29 a1i ⊢ φ → Q = i ∈ 0 … M ⟼ V ⁡ i − X
919 fveq2 ⊢ i = 0 → V ⁡ i = V ⁡ 0
920 919 oveq1d ⊢ i = 0 → V ⁡ i − X = V ⁡ 0 − X
921 920 adantl ⊢ φ ∧ i = 0 → V ⁡ i − X = V ⁡ 0 − X
922 4 nnnn0d ⊢ φ → M ∈ ℕ 0
923 nn0uz ⊢ ℕ 0 = ℤ ≥ 0
924 922 923 eleqtrdi ⊢ φ → M ∈ ℤ ≥ 0
925 eluzfz1 ⊢ M ∈ ℤ ≥ 0 → 0 ∈ 0 … M
926 924 925 syl ⊢ φ → 0 ∈ 0 … M
927 913 926 ffvelrnd ⊢ φ → V ⁡ 0 ∈ ℝ
928 927 2 resubcld ⊢ φ → V ⁡ 0 − X ∈ ℝ
929 918 921 926 928 fvmptd ⊢ φ → Q ⁡ 0 = V ⁡ 0 − X
930 910 simprd ⊢ φ → V ⁡ 0 = - π + X ∧ V ⁡ M = π + X ∧ ∀ i ∈ 0 ..^ M V ⁡ i < V ⁡ i + 1
931 930 simpld ⊢ φ → V ⁡ 0 = - π + X ∧ V ⁡ M = π + X
932 931 simpld ⊢ φ → V ⁡ 0 = - π + X
933 932 oveq1d ⊢ φ → V ⁡ 0 − X = − π + X - X
934 459 recnd ⊢ φ → − π ∈ ℂ
935 2 recnd ⊢ φ → X ∈ ℂ
936 934 935 pncand ⊢ φ → − π + X - X = − π
937 929 933 936 3eqtrd ⊢ φ → Q ⁡ 0 = − π
938 459 461 2 3 853 4 5 29 fourierdlem14 ⊢ φ → Q ∈ m ∈ ℕ ⟼ p ∈ ℝ 0 … m | p ⁡ 0 = − π ∧ p ⁡ m = π ∧ ∀ i ∈ 0 ..^ m p ⁡ i < p ⁡ i + 1 ⁡ M
939 853 fourierdlem2 ⊢ M ∈ ℕ → Q ∈ m ∈ ℕ ⟼ p ∈ ℝ 0 … m | p ⁡ 0 = − π ∧ p ⁡ m = π ∧ ∀ i ∈ 0 ..^ m p ⁡ i < p ⁡ i + 1 ⁡ M ↔ Q ∈ ℝ 0 … M ∧ Q ⁡ 0 = − π ∧ Q ⁡ M = π ∧ ∀ i ∈ 0 ..^ M Q ⁡ i < Q ⁡ i + 1
940 4 939 syl ⊢ φ → Q ∈ m ∈ ℕ ⟼ p ∈ ℝ 0 … m | p ⁡ 0 = − π ∧ p ⁡ m = π ∧ ∀ i ∈ 0 ..^ m p ⁡ i < p ⁡ i + 1 ⁡ M ↔ Q ∈ ℝ 0 … M ∧ Q ⁡ 0 = − π ∧ Q ⁡ M = π ∧ ∀ i ∈ 0 ..^ M Q ⁡ i < Q ⁡ i + 1
941 938 940 mpbid ⊢ φ → Q ∈ ℝ 0 … M ∧ Q ⁡ 0 = − π ∧ Q ⁡ M = π ∧ ∀ i ∈ 0 ..^ M Q ⁡ i < Q ⁡ i + 1
942 941 simprd ⊢ φ → Q ⁡ 0 = − π ∧ Q ⁡ M = π ∧ ∀ i ∈ 0 ..^ M Q ⁡ i < Q ⁡ i + 1
943 942 simpld ⊢ φ → Q ⁡ 0 = − π ∧ Q ⁡ M = π
944 943 simprd ⊢ φ → Q ⁡ M = π
945 942 simprd ⊢ φ → ∀ i ∈ 0 ..^ M Q ⁡ i < Q ⁡ i + 1
946 945 r19.21bi ⊢ φ ∧ i ∈ 0 ..^ M → Q ⁡ i < Q ⁡ i + 1
947 1 adantr ⊢ φ ∧ i ∈ 0 ..^ M → F : ℝ ⟶ ℝ
948 853 4 938 fourierdlem15 ⊢ φ → Q : 0 … M ⟶ − π π
949 948 adantr ⊢ φ ∧ i ∈ 0 ..^ M → Q : 0 … M ⟶ − π π
950 elfzofz ⊢ i ∈ 0 ..^ M → i ∈ 0 … M
951 950 adantl ⊢ φ ∧ i ∈ 0 ..^ M → i ∈ 0 … M
952 949 951 ffvelrnd ⊢ φ ∧ i ∈ 0 ..^ M → Q ⁡ i ∈ − π π
953 fzofzp1 ⊢ i ∈ 0 ..^ M → i + 1 ∈ 0 … M
954 953 adantl ⊢ φ ∧ i ∈ 0 ..^ M → i + 1 ∈ 0 … M
955 949 954 ffvelrnd ⊢ φ ∧ i ∈ 0 ..^ M → Q ⁡ i + 1 ∈ − π π
956 2 adantr ⊢ φ ∧ i ∈ 0 ..^ M → X ∈ ℝ
957 ffn ⊢ V : 0 … M ⟶ ℝ → V Fn 0 … M
958 911 912 957 3syl ⊢ φ → V Fn 0 … M
959 fvelrnb ⊢ V Fn 0 … M → X ∈ ran ⁡ V ↔ ∃ i ∈ 0 … M V ⁡ i = X
960 958 959 syl ⊢ φ → X ∈ ran ⁡ V ↔ ∃ i ∈ 0 … M V ⁡ i = X
961 6 960 mpbid ⊢ φ → ∃ i ∈ 0 … M V ⁡ i = X
962 oveq1 ⊢ V ⁡ i = X → V ⁡ i − X = X − X
963 962 adantl ⊢ φ ∧ i ∈ 0 … M ∧ V ⁡ i = X → V ⁡ i − X = X − X
964 935 subidd ⊢ φ → X − X = 0
965 964 ad2antrr ⊢ φ ∧ i ∈ 0 … M ∧ V ⁡ i = X → X − X = 0
966 963 965 eqtr2d ⊢ φ ∧ i ∈ 0 … M ∧ V ⁡ i = X → 0 = V ⁡ i − X
967 966 ex ⊢ φ ∧ i ∈ 0 … M → V ⁡ i = X → 0 = V ⁡ i − X
968 967 reximdva ⊢ φ → ∃ i ∈ 0 … M V ⁡ i = X → ∃ i ∈ 0 … M 0 = V ⁡ i − X
969 961 968 mpd ⊢ φ → ∃ i ∈ 0 … M 0 = V ⁡ i − X
970 29 elrnmpt ⊢ 0 ∈ ℝ → 0 ∈ ran ⁡ Q ↔ ∃ i ∈ 0 … M 0 = V ⁡ i − X
971 778 970 ax-mp ⊢ 0 ∈ ran ⁡ Q ↔ ∃ i ∈ 0 … M 0 = V ⁡ i − X
972 969 971 sylibr ⊢ φ → 0 ∈ ran ⁡ Q
973 853 4 938 972 fourierdlem12 ⊢ φ ∧ i ∈ 0 ..^ M → ¬ 0 ∈ Q ⁡ i Q ⁡ i + 1
974 913 adantr ⊢ φ ∧ i ∈ 0 ..^ M → V : 0 … M ⟶ ℝ
975 974 951 ffvelrnd ⊢ φ ∧ i ∈ 0 ..^ M → V ⁡ i ∈ ℝ
976 975 956 resubcld ⊢ φ ∧ i ∈ 0 ..^ M → V ⁡ i − X ∈ ℝ
977 29 fvmpt2 ⊢ i ∈ 0 … M ∧ V ⁡ i − X ∈ ℝ → Q ⁡ i = V ⁡ i − X
978 951 976 977 syl2anc ⊢ φ ∧ i ∈ 0 ..^ M → Q ⁡ i = V ⁡ i − X
979 978 oveq1d ⊢ φ ∧ i ∈ 0 ..^ M → Q ⁡ i + X = V ⁡ i - X + X
980 975 recnd ⊢ φ ∧ i ∈ 0 ..^ M → V ⁡ i ∈ ℂ
981 935 adantr ⊢ φ ∧ i ∈ 0 ..^ M → X ∈ ℂ
982 980 981 npcand ⊢ φ ∧ i ∈ 0 ..^ M → V ⁡ i - X + X = V ⁡ i
983 979 982 eqtrd ⊢ φ ∧ i ∈ 0 ..^ M → Q ⁡ i + X = V ⁡ i
984 fveq2 ⊢ j = i → V ⁡ j = V ⁡ i
985 984 oveq1d ⊢ j = i → V ⁡ j − X = V ⁡ i − X
986 985 cbvmptv ⊢ j ∈ 0 … M ⟼ V ⁡ j − X = i ∈ 0 … M ⟼ V ⁡ i − X
987 29 986 eqtr4i ⊢ Q = j ∈ 0 … M ⟼ V ⁡ j − X
988 987 a1i ⊢ φ ∧ i ∈ 0 ..^ M → Q = j ∈ 0 … M ⟼ V ⁡ j − X
989 fveq2 ⊢ j = i + 1 → V ⁡ j = V ⁡ i + 1
990 989 oveq1d ⊢ j = i + 1 → V ⁡ j − X = V ⁡ i + 1 − X
991 990 adantl ⊢ φ ∧ i ∈ 0 ..^ M ∧ j = i + 1 → V ⁡ j − X = V ⁡ i + 1 − X
992 974 954 ffvelrnd ⊢ φ ∧ i ∈ 0 ..^ M → V ⁡ i + 1 ∈ ℝ
993 992 956 resubcld ⊢ φ ∧ i ∈ 0 ..^ M → V ⁡ i + 1 − X ∈ ℝ
994 988 991 954 993 fvmptd ⊢ φ ∧ i ∈ 0 ..^ M → Q ⁡ i + 1 = V ⁡ i + 1 − X
995 994 oveq1d ⊢ φ ∧ i ∈ 0 ..^ M → Q ⁡ i + 1 + X = V ⁡ i + 1 - X + X
996 992 recnd ⊢ φ ∧ i ∈ 0 ..^ M → V ⁡ i + 1 ∈ ℂ
997 996 981 npcand ⊢ φ ∧ i ∈ 0 ..^ M → V ⁡ i + 1 - X + X = V ⁡ i + 1
998 995 997 eqtrd ⊢ φ ∧ i ∈ 0 ..^ M → Q ⁡ i + 1 + X = V ⁡ i + 1
999 983 998 oveq12d ⊢ φ ∧ i ∈ 0 ..^ M → Q ⁡ i + X Q ⁡ i + 1 + X = V ⁡ i V ⁡ i + 1
1000 999 reseq2d ⊢ φ ∧ i ∈ 0 ..^ M → F ↾ Q ⁡ i + X Q ⁡ i + 1 + X = F ↾ V ⁡ i V ⁡ i + 1
1001 999 oveq1d ⊢ φ ∧ i ∈ 0 ..^ M → Q ⁡ i + X Q ⁡ i + 1 + X ⟶cn ℂ = V ⁡ i V ⁡ i + 1 ⟶cn ℂ
1002 7 1000 1001 3eltr4d ⊢ φ ∧ i ∈ 0 ..^ M → F ↾ Q ⁡ i + X Q ⁡ i + 1 + X : Q ⁡ i + X Q ⁡ i + 1 + X ⟶cn ℂ
1003 55 adantr ⊢ φ ∧ i ∈ 0 ..^ M → Y ∈ ℝ
1004 65 adantr ⊢ φ ∧ i ∈ 0 ..^ M → W ∈ ℝ
1005 947 952 955 956 973 1002 1003 1004 13 fourierdlem40 ⊢ φ ∧ i ∈ 0 ..^ M → H ↾ Q ⁡ i Q ⁡ i + 1 : Q ⁡ i Q ⁡ i + 1 ⟶cn ℂ
1006 id ⊢ F ℝ ′ ↾ V ⁡ i V ⁡ i + 1 : V ⁡ i V ⁡ i + 1 ⟶ ℝ → F ℝ ′ ↾ V ⁡ i V ⁡ i + 1 : V ⁡ i V ⁡ i + 1 ⟶ ℝ
1007 67 a1i ⊢ F ℝ ′ ↾ V ⁡ i V ⁡ i + 1 : V ⁡ i V ⁡ i + 1 ⟶ ℝ → ℝ ⊆ ℂ
1008 1006 1007 fssd ⊢ F ℝ ′ ↾ V ⁡ i V ⁡ i + 1 : V ⁡ i V ⁡ i + 1 ⟶ ℝ → F ℝ ′ ↾ V ⁡ i V ⁡ i + 1 : V ⁡ i V ⁡ i + 1 ⟶ ℂ
1009 9 606 1008 3syl ⊢ φ ∧ i ∈ 0 ..^ M → F ℝ ′ ↾ V ⁡ i V ⁡ i + 1 : V ⁡ i V ⁡ i + 1 ⟶ ℂ
1010 eqid ⊢ if V ⁡ i = X B R − if V ⁡ i < X W Y Q ⁡ i = if V ⁡ i = X B R − if V ⁡ i < X W Y Q ⁡ i
1011 2 3 1 6 20 65 13 4 5 11 29 853 854 1009 23 1010 fourierdlem75 ⊢ φ ∧ i ∈ 0 ..^ M → if V ⁡ i = X B R − if V ⁡ i < X W Y Q ⁡ i ∈ H ↾ Q ⁡ i Q ⁡ i + 1 lim ℂ Q ⁡ i
1012 eqid ⊢ if V ⁡ i + 1 = X A L − if V ⁡ i + 1 < X W Y Q ⁡ i + 1 = if V ⁡ i + 1 = X A L − if V ⁡ i + 1 < X W Y Q ⁡ i + 1
1013 2 3 1 6 55 21 13 4 5 12 29 853 854 607 22 1012 fourierdlem74 ⊢ φ ∧ i ∈ 0 ..^ M → if V ⁡ i + 1 = X A L − if V ⁡ i + 1 < X W Y Q ⁡ i + 1 ∈ H ↾ Q ⁡ i Q ⁡ i + 1 lim ℂ Q ⁡ i + 1
1014 fveq2 ⊢ j = i → Q ⁡ j = Q ⁡ i
1015 oveq1 ⊢ j = i → j + 1 = i + 1
1016 1015 fveq2d ⊢ j = i → Q ⁡ j + 1 = Q ⁡ i + 1
1017 1014 1016 oveq12d ⊢ j = i → Q ⁡ j Q ⁡ j + 1 = Q ⁡ i Q ⁡ i + 1
1018 1017 cbvmptv ⊢ j ∈ 0 ..^ M ⟼ Q ⁡ j Q ⁡ j + 1 = i ∈ 0 ..^ M ⟼ Q ⁡ i Q ⁡ i + 1
1019 459 461 907 198 4 917 937 944 946 1005 1011 1013 1018 fourierdlem70 ⊢ φ → ∃ x ∈ ℝ ∀ s ∈ − π π H ⁡ s ≤ x
1020 eqid ⊢ e 3 y = e 3 y
1021 fveq2 ⊢ t = s → G ⁡ t = G ⁡ s
1022 1021 fveq2d ⊢ t = s → G ⁡ t = G ⁡ s
1023 1022 breq1d ⊢ t = s → G ⁡ t ≤ y ↔ G ⁡ s ≤ y
1024 1023 cbvralvw ⊢ ∀ t ∈ − π π G ⁡ t ≤ y ↔ ∀ s ∈ − π π G ⁡ s ≤ y
1025 1024 ralbii ⊢ ∀ n ∈ ℕ ∀ t ∈ − π π G ⁡ t ≤ y ↔ ∀ n ∈ ℕ ∀ s ∈ − π π G ⁡ s ≤ y
1026 1025 3anbi3i ⊢ φ ∧ e ∈ ℝ + ∧ y ∈ ℝ + ∧ ∀ n ∈ ℕ ∀ t ∈ − π π G ⁡ t ≤ y ↔ φ ∧ e ∈ ℝ + ∧ y ∈ ℝ + ∧ ∀ n ∈ ℕ ∀ s ∈ − π π G ⁡ s ≤ y
1027 1026 anbi1i ⊢ φ ∧ e ∈ ℝ + ∧ y ∈ ℝ + ∧ ∀ n ∈ ℕ ∀ t ∈ − π π G ⁡ t ≤ y ∧ u ∈ dom ⁡ vol ↔ φ ∧ e ∈ ℝ + ∧ y ∈ ℝ + ∧ ∀ n ∈ ℕ ∀ s ∈ − π π G ⁡ s ≤ y ∧ u ∈ dom ⁡ vol
1028 1027 anbi1i ⊢ φ ∧ e ∈ ℝ + ∧ y ∈ ℝ + ∧ ∀ n ∈ ℕ ∀ t ∈ − π π G ⁡ t ≤ y ∧ u ∈ dom ⁡ vol ∧ u ⊆ − π π ∧ vol ⁡ u ≤ e 3 y ↔ φ ∧ e ∈ ℝ + ∧ y ∈ ℝ + ∧ ∀ n ∈ ℕ ∀ s ∈ − π π G ⁡ s ≤ y ∧ u ∈ dom ⁡ vol ∧ u ⊆ − π π ∧ vol ⁡ u ≤ e 3 y
1029 1028 anbi1i ⊢ φ ∧ e ∈ ℝ + ∧ y ∈ ℝ + ∧ ∀ n ∈ ℕ ∀ t ∈ − π π G ⁡ t ≤ y ∧ u ∈ dom ⁡ vol ∧ u ⊆ − π π ∧ vol ⁡ u ≤ e 3 y ∧ n ∈ ℕ ↔ φ ∧ e ∈ ℝ + ∧ y ∈ ℝ + ∧ ∀ n ∈ ℕ ∀ s ∈ − π π G ⁡ s ≤ y ∧ u ∈ dom ⁡ vol ∧ u ⊆ − π π ∧ vol ⁡ u ≤ e 3 y ∧ n ∈ ℕ
1030 1 2 55 65 13 14 15 16 17 1019 858 1020 1029 fourierdlem87 ⊢ φ ∧ e ∈ ℝ + → ∃ c ∈ ℝ + ∀ u ∈ dom ⁡ vol u ⊆ − π π ∧ vol ⁡ u ≤ c → ∀ k ∈ ℕ ∫ u U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds < e 2
1031 iftrue ⊢ c ≤ π 2 → if c ≤ π 2 c π 2 = c
1032 1031 negeqd ⊢ c ≤ π 2 → − if c ≤ π 2 c π 2 = − c
1033 1032 adantl ⊢ c ∈ ℝ + ∧ c ≤ π 2 → − if c ≤ π 2 c π 2 = − c
1034 75 a1i ⊢ c ∈ ℝ + ∧ c ≤ π 2 → − π ∈ ℝ *
1035 76 a1i ⊢ c ∈ ℝ + ∧ c ≤ π 2 → 0 ∈ ℝ *
1036 rpre ⊢ c ∈ ℝ + → c ∈ ℝ
1037 1036 renegcld ⊢ c ∈ ℝ + → − c ∈ ℝ
1038 1037 adantr ⊢ c ∈ ℝ + ∧ c ≤ π 2 → − c ∈ ℝ
1039 1036 adantr ⊢ c ∈ ℝ + ∧ c ≤ π 2 → c ∈ ℝ
1040 40 rehalfcli ⊢ π 2 ∈ ℝ
1041 1040 a1i ⊢ c ∈ ℝ + ∧ c ≤ π 2 → π 2 ∈ ℝ
1042 40 a1i ⊢ c ∈ ℝ + ∧ c ≤ π 2 → π ∈ ℝ
1043 simpr ⊢ c ∈ ℝ + ∧ c ≤ π 2 → c ≤ π 2
1044 halfpos ⊢ π ∈ ℝ → 0 < π ↔ π 2 < π
1045 40 1044 ax-mp ⊢ 0 < π ↔ π 2 < π
1046 79 1045 mpbi ⊢ π 2 < π
1047 1046 a1i ⊢ c ∈ ℝ + ∧ c ≤ π 2 → π 2 < π
1048 1039 1041 1042 1043 1047 lelttrd ⊢ c ∈ ℝ + ∧ c ≤ π 2 → c < π
1049 1039 1042 ltnegd ⊢ c ∈ ℝ + ∧ c ≤ π 2 → c < π ↔ − π < − c
1050 1048 1049 mpbid ⊢ c ∈ ℝ + ∧ c ≤ π 2 → − π < − c
1051 rpgt0 ⊢ c ∈ ℝ + → 0 < c
1052 1036 lt0neg2d ⊢ c ∈ ℝ + → 0 < c ↔ − c < 0
1053 1051 1052 mpbid ⊢ c ∈ ℝ + → − c < 0
1054 1053 adantr ⊢ c ∈ ℝ + ∧ c ≤ π 2 → − c < 0
1055 1034 1035 1038 1050 1054 eliood ⊢ c ∈ ℝ + ∧ c ≤ π 2 → − c ∈ − π 0
1056 1033 1055 eqeltrd ⊢ c ∈ ℝ + ∧ c ≤ π 2 → − if c ≤ π 2 c π 2 ∈ − π 0
1057 iffalse ⊢ ¬ c ≤ π 2 → if c ≤ π 2 c π 2 = π 2
1058 1057 negeqd ⊢ ¬ c ≤ π 2 → − if c ≤ π 2 c π 2 = − π 2
1059 1040 renegcli ⊢ − π 2 ∈ ℝ
1060 1059 rexri ⊢ − π 2 ∈ ℝ *
1061 75 76 1060 3pm3.2i ⊢ − π ∈ ℝ * ∧ 0 ∈ ℝ * ∧ − π 2 ∈ ℝ *
1062 1040 40 ltnegi ⊢ π 2 < π ↔ − π < − π 2
1063 1046 1062 mpbi ⊢ − π < − π 2
1064 2pos ⊢ 0 < 2
1065 40 120 79 1064 divgt0ii ⊢ 0 < π 2
1066 lt0neg2 ⊢ π 2 ∈ ℝ → 0 < π 2 ↔ − π 2 < 0
1067 1040 1066 ax-mp ⊢ 0 < π 2 ↔ − π 2 < 0
1068 1065 1067 mpbi ⊢ − π 2 < 0
1069 1063 1068 pm3.2i ⊢ − π < − π 2 ∧ − π 2 < 0
1070 elioo3g ⊢ − π 2 ∈ − π 0 ↔ − π ∈ ℝ * ∧ 0 ∈ ℝ * ∧ − π 2 ∈ ℝ * ∧ − π < − π 2 ∧ − π 2 < 0
1071 1061 1069 1070 mpbir2an ⊢ − π 2 ∈ − π 0
1072 1071 a1i ⊢ ¬ c ≤ π 2 → − π 2 ∈ − π 0
1073 1058 1072 eqeltrd ⊢ ¬ c ≤ π 2 → − if c ≤ π 2 c π 2 ∈ − π 0
1074 1073 adantl ⊢ c ∈ ℝ + ∧ ¬ c ≤ π 2 → − if c ≤ π 2 c π 2 ∈ − π 0
1075 1056 1074 pm2.61dan ⊢ c ∈ ℝ + → − if c ≤ π 2 c π 2 ∈ − π 0
1076 1075 3ad2ant2 ⊢ φ ∧ e ∈ ℝ + ∧ c ∈ ℝ + ∧ ∀ u ∈ dom ⁡ vol u ⊆ − π π ∧ vol ⁡ u ≤ c → ∀ k ∈ ℕ ∫ u U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds < e 2 → − if c ≤ π 2 c π 2 ∈ − π 0
1077 ioombl ⊢ − if c ≤ π 2 c π 2 0 ∈ dom ⁡ vol
1078 1077 a1i ⊢ c ∈ ℝ + ∧ ∀ u ∈ dom ⁡ vol u ⊆ − π π ∧ vol ⁡ u ≤ c → ∀ k ∈ ℕ ∫ u U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds < e 2 → − if c ≤ π 2 c π 2 0 ∈ dom ⁡ vol
1079 simpr ⊢ c ∈ ℝ + ∧ ∀ u ∈ dom ⁡ vol u ⊆ − π π ∧ vol ⁡ u ≤ c → ∀ k ∈ ℕ ∫ u U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds < e 2 → ∀ u ∈ dom ⁡ vol u ⊆ − π π ∧ vol ⁡ u ≤ c → ∀ k ∈ ℕ ∫ u U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds < e 2
1080 1078 1079 jca ⊢ c ∈ ℝ + ∧ ∀ u ∈ dom ⁡ vol u ⊆ − π π ∧ vol ⁡ u ≤ c → ∀ k ∈ ℕ ∫ u U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds < e 2 → − if c ≤ π 2 c π 2 0 ∈ dom ⁡ vol ∧ ∀ u ∈ dom ⁡ vol u ⊆ − π π ∧ vol ⁡ u ≤ c → ∀ k ∈ ℕ ∫ u U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds < e 2
1081 ioossicc ⊢ − if c ≤ π 2 c π 2 0 ⊆ − if c ≤ π 2 c π 2 0
1082 1081 a1i ⊢ c ∈ ℝ + → − if c ≤ π 2 c π 2 0 ⊆ − if c ≤ π 2 c π 2 0
1083 41 a1i ⊢ c ∈ ℝ + → − π ∈ ℝ
1084 40 a1i ⊢ c ∈ ℝ + → π ∈ ℝ
1085 1039 1042 1048 ltled ⊢ c ∈ ℝ + ∧ c ≤ π 2 → c ≤ π
1086 1039 1042 lenegd ⊢ c ∈ ℝ + ∧ c ≤ π 2 → c ≤ π ↔ − π ≤ − c
1087 1085 1086 mpbid ⊢ c ∈ ℝ + ∧ c ≤ π 2 → − π ≤ − c
1088 1032 eqcomd ⊢ c ≤ π 2 → − c = − if c ≤ π 2 c π 2
1089 1088 adantl ⊢ c ∈ ℝ + ∧ c ≤ π 2 → − c = − if c ≤ π 2 c π 2
1090 1087 1089 breqtrd ⊢ c ∈ ℝ + ∧ c ≤ π 2 → − π ≤ − if c ≤ π 2 c π 2
1091 41 1059 1063 ltleii ⊢ − π ≤ − π 2
1092 1091 a1i ⊢ c ∈ ℝ + ∧ ¬ c ≤ π 2 → − π ≤ − π 2
1093 1058 eqcomd ⊢ ¬ c ≤ π 2 → − π 2 = − if c ≤ π 2 c π 2
1094 1093 adantl ⊢ c ∈ ℝ + ∧ ¬ c ≤ π 2 → − π 2 = − if c ≤ π 2 c π 2
1095 1092 1094 breqtrd ⊢ c ∈ ℝ + ∧ ¬ c ≤ π 2 → − π ≤ − if c ≤ π 2 c π 2
1096 1090 1095 pm2.61dan ⊢ c ∈ ℝ + → − π ≤ − if c ≤ π 2 c π 2
1097 779 a1i ⊢ c ∈ ℝ + → 0 ≤ π
1098 iccss ⊢ − π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ − π ≤ − if c ≤ π 2 c π 2 ∧ 0 ≤ π → − if c ≤ π 2 c π 2 0 ⊆ − π π
1099 1083 1084 1096 1097 1098 syl22anc ⊢ c ∈ ℝ + → − if c ≤ π 2 c π 2 0 ⊆ − π π
1100 1082 1099 sstrd ⊢ c ∈ ℝ + → − if c ≤ π 2 c π 2 0 ⊆ − π π
1101 803 1075 sseldi ⊢ c ∈ ℝ + → − if c ≤ π 2 c π 2 ∈ ℝ
1102 0red ⊢ c ∈ ℝ + → 0 ∈ ℝ
1103 rpge0 ⊢ c ∈ ℝ + → 0 ≤ c
1104 1103 adantr ⊢ c ∈ ℝ + ∧ c ≤ π 2 → 0 ≤ c
1105 1043 iftrued ⊢ c ∈ ℝ + ∧ c ≤ π 2 → if c ≤ π 2 c π 2 = c
1106 1104 1105 breqtrrd ⊢ c ∈ ℝ + ∧ c ≤ π 2 → 0 ≤ if c ≤ π 2 c π 2
1107 778 1040 1065 ltleii ⊢ 0 ≤ π 2
1108 simpr ⊢ c ∈ ℝ + ∧ ¬ c ≤ π 2 → ¬ c ≤ π 2
1109 1108 iffalsed ⊢ c ∈ ℝ + ∧ ¬ c ≤ π 2 → if c ≤ π 2 c π 2 = π 2
1110 1107 1109 breqtrrid ⊢ c ∈ ℝ + ∧ ¬ c ≤ π 2 → 0 ≤ if c ≤ π 2 c π 2
1111 1106 1110 pm2.61dan ⊢ c ∈ ℝ + → 0 ≤ if c ≤ π 2 c π 2
1112 1040 a1i ⊢ c ∈ ℝ + → π 2 ∈ ℝ
1113 1036 1112 ifcld ⊢ c ∈ ℝ + → if c ≤ π 2 c π 2 ∈ ℝ
1114 1113 le0neg2d ⊢ c ∈ ℝ + → 0 ≤ if c ≤ π 2 c π 2 ↔ − if c ≤ π 2 c π 2 ≤ 0
1115 1111 1114 mpbid ⊢ c ∈ ℝ + → − if c ≤ π 2 c π 2 ≤ 0
1116 volioo ⊢ − if c ≤ π 2 c π 2 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ − if c ≤ π 2 c π 2 ≤ 0 → vol ⁡ − if c ≤ π 2 c π 2 0 = 0 − − if c ≤ π 2 c π 2
1117 1101 1102 1115 1116 syl3anc ⊢ c ∈ ℝ + → vol ⁡ − if c ≤ π 2 c π 2 0 = 0 − − if c ≤ π 2 c π 2
1118 0cn ⊢ 0 ∈ ℂ
1119 1118 a1i ⊢ c ∈ ℝ + → 0 ∈ ℂ
1120 1113 recnd ⊢ c ∈ ℝ + → if c ≤ π 2 c π 2 ∈ ℂ
1121 1119 1120 subnegd ⊢ c ∈ ℝ + → 0 − − if c ≤ π 2 c π 2 = 0 + if c ≤ π 2 c π 2
1122 1120 addid2d ⊢ c ∈ ℝ + → 0 + if c ≤ π 2 c π 2 = if c ≤ π 2 c π 2
1123 1117 1121 1122 3eqtrd ⊢ c ∈ ℝ + → vol ⁡ − if c ≤ π 2 c π 2 0 = if c ≤ π 2 c π 2
1124 min1 ⊢ c ∈ ℝ ∧ π 2 ∈ ℝ → if c ≤ π 2 c π 2 ≤ c
1125 1036 1040 1124 sylancl ⊢ c ∈ ℝ + → if c ≤ π 2 c π 2 ≤ c
1126 1123 1125 eqbrtrd ⊢ c ∈ ℝ + → vol ⁡ − if c ≤ π 2 c π 2 0 ≤ c
1127 1100 1126 jca ⊢ c ∈ ℝ + → − if c ≤ π 2 c π 2 0 ⊆ − π π ∧ vol ⁡ − if c ≤ π 2 c π 2 0 ≤ c
1128 1127 adantr ⊢ c ∈ ℝ + ∧ ∀ u ∈ dom ⁡ vol u ⊆ − π π ∧ vol ⁡ u ≤ c → ∀ k ∈ ℕ ∫ u U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds < e 2 → − if c ≤ π 2 c π 2 0 ⊆ − π π ∧ vol ⁡ − if c ≤ π 2 c π 2 0 ≤ c
1129 sseq1 ⊢ u = − if c ≤ π 2 c π 2 0 → u ⊆ − π π ↔ − if c ≤ π 2 c π 2 0 ⊆ − π π
1130 fveq2 ⊢ u = − if c ≤ π 2 c π 2 0 → vol ⁡ u = vol ⁡ − if c ≤ π 2 c π 2 0
1131 1130 breq1d ⊢ u = − if c ≤ π 2 c π 2 0 → vol ⁡ u ≤ c ↔ vol ⁡ − if c ≤ π 2 c π 2 0 ≤ c
1132 1129 1131 anbi12d ⊢ u = − if c ≤ π 2 c π 2 0 → u ⊆ − π π ∧ vol ⁡ u ≤ c ↔ − if c ≤ π 2 c π 2 0 ⊆ − π π ∧ vol ⁡ − if c ≤ π 2 c π 2 0 ≤ c
1133 itgeq1 ⊢ u = − if c ≤ π 2 c π 2 0 → ∫ u U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds = ∫ − if c ≤ π 2 c π 2 0 U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds
1134 1133 fveq2d ⊢ u = − if c ≤ π 2 c π 2 0 → ∫ u U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds = ∫ − if c ≤ π 2 c π 2 0 U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds
1135 1134 breq1d ⊢ u = − if c ≤ π 2 c π 2 0 → ∫ u U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds < e 2 ↔ ∫ − if c ≤ π 2 c π 2 0 U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds < e 2
1136 1135 ralbidv ⊢ u = − if c ≤ π 2 c π 2 0 → ∀ k ∈ ℕ ∫ u U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds < e 2 ↔ ∀ k ∈ ℕ ∫ − if c ≤ π 2 c π 2 0 U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds < e 2
1137 1132 1136 imbi12d ⊢ u = − if c ≤ π 2 c π 2 0 → u ⊆ − π π ∧ vol ⁡ u ≤ c → ∀ k ∈ ℕ ∫ u U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds < e 2 ↔ − if c ≤ π 2 c π 2 0 ⊆ − π π ∧ vol ⁡ − if c ≤ π 2 c π 2 0 ≤ c → ∀ k ∈ ℕ ∫ − if c ≤ π 2 c π 2 0 U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds < e 2
1138 1137 rspcva ⊢ − if c ≤ π 2 c π 2 0 ∈ dom ⁡ vol ∧ ∀ u ∈ dom ⁡ vol u ⊆ − π π ∧ vol ⁡ u ≤ c → ∀ k ∈ ℕ ∫ u U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds < e 2 → − if c ≤ π 2 c π 2 0 ⊆ − π π ∧ vol ⁡ − if c ≤ π 2 c π 2 0 ≤ c → ∀ k ∈ ℕ ∫ − if c ≤ π 2 c π 2 0 U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds < e 2
1139 1080 1128 1138 sylc ⊢ c ∈ ℝ + ∧ ∀ u ∈ dom ⁡ vol u ⊆ − π π ∧ vol ⁡ u ≤ c → ∀ k ∈ ℕ ∫ u U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds < e 2 → ∀ k ∈ ℕ ∫ − if c ≤ π 2 c π 2 0 U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds < e 2
1140 1139 3adant1 ⊢ φ ∧ e ∈ ℝ + ∧ c ∈ ℝ + ∧ ∀ u ∈ dom ⁡ vol u ⊆ − π π ∧ vol ⁡ u ≤ c → ∀ k ∈ ℕ ∫ u U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds < e 2 → ∀ k ∈ ℕ ∫ − if c ≤ π 2 c π 2 0 U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds < e 2
1141 oveq1 ⊢ d = − if c ≤ π 2 c π 2 → d 0 = − if c ≤ π 2 c π 2 0
1142 1141 itgeq1d ⊢ d = − if c ≤ π 2 c π 2 → ∫ d 0 U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds = ∫ − if c ≤ π 2 c π 2 0 U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds
1143 1142 fveq2d ⊢ d = − if c ≤ π 2 c π 2 → ∫ d 0 U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds = ∫ − if c ≤ π 2 c π 2 0 U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds
1144 1143 breq1d ⊢ d = − if c ≤ π 2 c π 2 → ∫ d 0 U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds < e 2 ↔ ∫ − if c ≤ π 2 c π 2 0 U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds < e 2
1145 1144 ralbidv ⊢ d = − if c ≤ π 2 c π 2 → ∀ k ∈ ℕ ∫ d 0 U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds < e 2 ↔ ∀ k ∈ ℕ ∫ − if c ≤ π 2 c π 2 0 U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds < e 2
1146 1145 rspcev ⊢ − if c ≤ π 2 c π 2 ∈ − π 0 ∧ ∀ k ∈ ℕ ∫ − if c ≤ π 2 c π 2 0 U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds < e 2 → ∃ d ∈ − π 0 ∀ k ∈ ℕ ∫ d 0 U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds < e 2
1147 1076 1140 1146 syl2anc ⊢ φ ∧ e ∈ ℝ + ∧ c ∈ ℝ + ∧ ∀ u ∈ dom ⁡ vol u ⊆ − π π ∧ vol ⁡ u ≤ c → ∀ k ∈ ℕ ∫ u U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds < e 2 → ∃ d ∈ − π 0 ∀ k ∈ ℕ ∫ d 0 U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds < e 2
1148 1147 rexlimdv3a ⊢ φ ∧ e ∈ ℝ + → ∃ c ∈ ℝ + ∀ u ∈ dom ⁡ vol u ⊆ − π π ∧ vol ⁡ u ≤ c → ∀ k ∈ ℕ ∫ u U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds < e 2 → ∃ d ∈ − π 0 ∀ k ∈ ℕ ∫ d 0 U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds < e 2
1149 1030 1148 mpd ⊢ φ ∧ e ∈ ℝ + → ∃ d ∈ − π 0 ∀ k ∈ ℕ ∫ d 0 U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds < e 2
1150 902 1149 r19.29a ⊢ φ ∧ e ∈ ℝ + → ∃ j ∈ ℕ ∀ k ∈ ℤ ≥ j ∫ − π 0 U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds < e
1151 1150 ralrimiva ⊢ φ → ∀ e ∈ ℝ + ∃ j ∈ ℕ ∀ k ∈ ℤ ≥ j ∫ − π 0 U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds < e
1152 nnex ⊢ ℕ ∈ V
1153 1152 mptex ⊢ n ∈ ℕ ⟼ ∫ − π 0 G ⁡ s ds ∈ V
1154 1153 a1i ⊢ φ → n ∈ ℕ ⟼ ∫ − π 0 G ⁡ s ds ∈ V
1155 eqidd ⊢ φ ∧ k ∈ ℕ → n ∈ ℕ ⟼ ∫ − π 0 G ⁡ s ds = n ∈ ℕ ⟼ ∫ − π 0 G ⁡ s ds
1156 784 adantl ⊢ φ ∧ k ∈ ℕ ∧ n = k ∧ s ∈ − π 0 → s ∈ − π π
1157 786 ad4ant14 ⊢ φ ∧ k ∈ ℕ ∧ n = k ∧ s ∈ − π 0 → U ⁡ s ∈ ℝ
1158 784 adantl ⊢ k ∈ ℕ ∧ n = k ∧ s ∈ − π 0 → s ∈ − π π
1159 simpr ⊢ k ∈ ℕ ∧ n = k → n = k
1160 simpl ⊢ k ∈ ℕ ∧ n = k → k ∈ ℕ
1161 1159 1160 eqeltrd ⊢ k ∈ ℕ ∧ n = k → n ∈ ℕ
1162 1161 nnred ⊢ k ∈ ℕ ∧ n = k → n ∈ ℝ
1163 737 a1i ⊢ k ∈ ℕ ∧ n = k → 1 2 ∈ ℝ
1164 1162 1163 readdcld ⊢ k ∈ ℕ ∧ n = k → n + 1 2 ∈ ℝ
1165 1164 adantr ⊢ k ∈ ℕ ∧ n = k ∧ s ∈ − π 0 → n + 1 2 ∈ ℝ
1166 232 1158 sseldi ⊢ k ∈ ℕ ∧ n = k ∧ s ∈ − π 0 → s ∈ ℝ
1167 1165 1166 remulcld ⊢ k ∈ ℕ ∧ n = k ∧ s ∈ − π 0 → n + 1 2 ⁢ s ∈ ℝ
1168 1167 resincld ⊢ k ∈ ℕ ∧ n = k ∧ s ∈ − π 0 → sin ⁡ n + 1 2 ⁢ s ∈ ℝ
1169 1158 1168 837 syl2anc ⊢ k ∈ ℕ ∧ n = k ∧ s ∈ − π 0 → S ⁡ s = sin ⁡ n + 1 2 ⁢ s
1170 1169 adantlll ⊢ φ ∧ k ∈ ℕ ∧ n = k ∧ s ∈ − π 0 → S ⁡ s = sin ⁡ n + 1 2 ⁢ s
1171 1162 adantll ⊢ φ ∧ k ∈ ℕ ∧ n = k → n ∈ ℝ
1172 1171 adantr ⊢ φ ∧ k ∈ ℕ ∧ n = k ∧ s ∈ − π 0 → n ∈ ℝ
1173 1red ⊢ φ ∧ k ∈ ℕ ∧ n = k ∧ s ∈ − π 0 → 1 ∈ ℝ
1174 1173 rehalfcld ⊢ φ ∧ k ∈ ℕ ∧ n = k ∧ s ∈ − π 0 → 1 2 ∈ ℝ
1175 1172 1174 readdcld ⊢ φ ∧ k ∈ ℕ ∧ n = k ∧ s ∈ − π 0 → n + 1 2 ∈ ℝ
1176 232 1156 sseldi ⊢ φ ∧ k ∈ ℕ ∧ n = k ∧ s ∈ − π 0 → s ∈ ℝ
1177 1175 1176 remulcld ⊢ φ ∧ k ∈ ℕ ∧ n = k ∧ s ∈ − π 0 → n + 1 2 ⁢ s ∈ ℝ
1178 1177 resincld ⊢ φ ∧ k ∈ ℕ ∧ n = k ∧ s ∈ − π 0 → sin ⁡ n + 1 2 ⁢ s ∈ ℝ
1179 1170 1178 eqeltrd ⊢ φ ∧ k ∈ ℕ ∧ n = k ∧ s ∈ − π 0 → S ⁡ s ∈ ℝ
1180 1157 1179 remulcld ⊢ φ ∧ k ∈ ℕ ∧ n = k ∧ s ∈ − π 0 → U ⁡ s ⁢ S ⁡ s ∈ ℝ
1181 17 fvmpt2 ⊢ s ∈ − π π ∧ U ⁡ s ⁢ S ⁡ s ∈ ℝ → G ⁡ s = U ⁡ s ⁢ S ⁡ s
1182 1156 1180 1181 syl2anc ⊢ φ ∧ k ∈ ℕ ∧ n = k ∧ s ∈ − π 0 → G ⁡ s = U ⁡ s ⁢ S ⁡ s
1183 oveq1 ⊢ n = k → n + 1 2 = k + 1 2
1184 1183 oveq1d ⊢ n = k → n + 1 2 ⁢ s = k + 1 2 ⁢ s
1185 1184 fveq2d ⊢ n = k → sin ⁡ n + 1 2 ⁢ s = sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s
1186 1185 ad2antlr ⊢ φ ∧ k ∈ ℕ ∧ n = k ∧ s ∈ − π 0 → sin ⁡ n + 1 2 ⁢ s = sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s
1187 1170 1186 eqtrd ⊢ φ ∧ k ∈ ℕ ∧ n = k ∧ s ∈ − π 0 → S ⁡ s = sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s
1188 1187 oveq2d ⊢ φ ∧ k ∈ ℕ ∧ n = k ∧ s ∈ − π 0 → U ⁡ s ⁢ S ⁡ s = U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s
1189 1182 1188 eqtrd ⊢ φ ∧ k ∈ ℕ ∧ n = k ∧ s ∈ − π 0 → G ⁡ s = U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s
1190 1189 itgeq2dv ⊢ φ ∧ k ∈ ℕ ∧ n = k → ∫ − π 0 G ⁡ s ds = ∫ − π 0 U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds
1191 simpr ⊢ φ ∧ k ∈ ℕ → k ∈ ℕ
1192 817 itgeq2dv ⊢ n = k → ∫ − π 0 U ⁡ s ⁢ sin ⁡ n + 1 2 ⁢ s ds = ∫ − π 0 U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds
1193 1192 eleq1d ⊢ n = k → ∫ − π 0 U ⁡ s ⁢ sin ⁡ n + 1 2 ⁢ s ds ∈ ℂ ↔ ∫ − π 0 U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds ∈ ℂ
1194 812 1193 imbi12d ⊢ n = k → φ ∧ n ∈ ℕ → ∫ − π 0 U ⁡ s ⁢ sin ⁡ n + 1 2 ⁢ s ds ∈ ℂ ↔ φ ∧ k ∈ ℕ → ∫ − π 0 U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds ∈ ℂ
1195 786 adantlr ⊢ φ ∧ n ∈ ℕ ∧ s ∈ − π 0 → U ⁡ s ∈ ℝ
1196 simpr ⊢ φ ∧ n ∈ ℕ → n ∈ ℕ
1197 1196 784 833 syl2an ⊢ φ ∧ n ∈ ℕ ∧ s ∈ − π 0 → sin ⁡ n + 1 2 ⁢ s ∈ ℝ
1198 1195 1197 remulcld ⊢ φ ∧ n ∈ ℕ ∧ s ∈ − π 0 → U ⁡ s ⁢ sin ⁡ n + 1 2 ⁢ s ∈ ℝ
1199 1198 860 itgcl ⊢ φ ∧ n ∈ ℕ → ∫ − π 0 U ⁡ s ⁢ sin ⁡ n + 1 2 ⁢ s ds ∈ ℂ
1200 1194 1199 chvarvv ⊢ φ ∧ k ∈ ℕ → ∫ − π 0 U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds ∈ ℂ
1201 1155 1190 1191 1200 fvmptd ⊢ φ ∧ k ∈ ℕ → n ∈ ℕ ⟼ ∫ − π 0 G ⁡ s ds ⁡ k = ∫ − π 0 U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds
1202 39 33 1154 1201 1200 clim0c ⊢ φ → n ∈ ℕ ⟼ ∫ − π 0 G ⁡ s ds ⇝ 0 ↔ ∀ e ∈ ℝ + ∃ j ∈ ℕ ∀ k ∈ ℤ ≥ j ∫ − π 0 U ⁡ s ⁢ sin ⁡ k + 1 2 ⁢ s ds < e
1203 1151 1202 mpbird ⊢ φ → n ∈ ℕ ⟼ ∫ − π 0 G ⁡ s ds ⇝ 0
1204 1152 mptex ⊢ n ∈ ℕ ⟼ ∫ − π 0 G ⁡ s ds π ∈ V
1205 19 1204 eqeltri ⊢ E ∈ V
1206 1205 a1i ⊢ φ → E ∈ V
1207 1152 mptex ⊢ n ∈ ℕ ⟼ π ∈ V
1208 1207 a1i ⊢ φ → n ∈ ℕ ⟼ π ∈ V
1209 picn ⊢ π ∈ ℂ
1210 1209 a1i ⊢ φ → π ∈ ℂ
1211 eqidd ⊢ m ∈ ℕ → n ∈ ℕ ⟼ π = n ∈ ℕ ⟼ π
1212 eqidd ⊢ m ∈ ℕ ∧ n = m → π = π
1213 id ⊢ m ∈ ℕ → m ∈ ℕ
1214 40 a1i ⊢ m ∈ ℕ → π ∈ ℝ
1215 1211 1212 1213 1214 fvmptd ⊢ m ∈ ℕ → n ∈ ℕ ⟼ π ⁡ m = π
1216 1215 adantl ⊢ φ ∧ m ∈ ℕ → n ∈ ℕ ⟼ π ⁡ m = π
1217 39 33 1208 1210 1216 climconst ⊢ φ → n ∈ ℕ ⟼ π ⇝ π
1218 778 79 gtneii ⊢ π ≠ 0
1219 1218 a1i ⊢ φ → π ≠ 0
1220 2 adantr ⊢ φ ∧ n ∈ ℕ → X ∈ ℝ
1221 55 adantr ⊢ φ ∧ n ∈ ℕ → Y ∈ ℝ
1222 65 adantr ⊢ φ ∧ n ∈ ℕ → W ∈ ℝ
1223 843 1220 1221 1222 13 14 15 847 16 17 fourierdlem67 ⊢ φ ∧ n ∈ ℕ → G : − π π ⟶ ℝ
1224 1223 adantr ⊢ φ ∧ n ∈ ℕ ∧ s ∈ − π 0 → G : − π π ⟶ ℝ
1225 821 sselda ⊢ φ ∧ n ∈ ℕ ∧ s ∈ − π 0 → s ∈ − π π
1226 1224 1225 ffvelrnd ⊢ φ ∧ n ∈ ℕ ∧ s ∈ − π 0 → G ⁡ s ∈ ℝ
1227 1223 ffvelrnda ⊢ φ ∧ n ∈ ℕ ∧ s ∈ − π π → G ⁡ s ∈ ℝ
1228 1223 feqmptd ⊢ φ ∧ n ∈ ℕ → G = s ∈ − π π ⟼ G ⁡ s
1229 1228 858 eqeltrrd ⊢ φ ∧ n ∈ ℕ → s ∈ − π π ⟼ G ⁡ s ∈ 𝐿 1
1230 821 823 1227 1229 iblss ⊢ φ ∧ n ∈ ℕ → s ∈ − π 0 ⟼ G ⁡ s ∈ 𝐿 1
1231 1226 1230 itgcl ⊢ φ ∧ n ∈ ℕ → ∫ − π 0 G ⁡ s ds ∈ ℂ
1232 eqid ⊢ n ∈ ℕ ⟼ ∫ − π 0 G ⁡ s ds = n ∈ ℕ ⟼ ∫ − π 0 G ⁡ s ds
1233 1232 fvmpt2 ⊢ n ∈ ℕ ∧ ∫ − π 0 G ⁡ s ds ∈ ℂ → n ∈ ℕ ⟼ ∫ − π 0 G ⁡ s ds ⁡ n = ∫ − π 0 G ⁡ s ds
1234 1196 1231 1233 syl2anc ⊢ φ ∧ n ∈ ℕ → n ∈ ℕ ⟼ ∫ − π 0 G ⁡ s ds ⁡ n = ∫ − π 0 G ⁡ s ds
1235 1234 1231 eqeltrd ⊢ φ ∧ n ∈ ℕ → n ∈ ℕ ⟼ ∫ − π 0 G ⁡ s ds ⁡ n ∈ ℂ
1236 id ⊢ n ∈ ℕ → n ∈ ℕ
1237 eqid ⊢ n ∈ ℕ ⟼ π = n ∈ ℕ ⟼ π
1238 1237 fvmpt2 ⊢ n ∈ ℕ ∧ π ∈ ℝ → n ∈ ℕ ⟼ π ⁡ n = π
1239 1236 40 1238 sylancl ⊢ n ∈ ℕ → n ∈ ℕ ⟼ π ⁡ n = π
1240 1209 a1i ⊢ n ∈ ℕ → π ∈ ℂ
1241 1218 a1i ⊢ n ∈ ℕ → π ≠ 0
1242 1240 1241 jca ⊢ n ∈ ℕ → π ∈ ℂ ∧ π ≠ 0
1243 eldifsn ⊢ π ∈ ℂ ∖ 0 ↔ π ∈ ℂ ∧ π ≠ 0
1244 1242 1243 sylibr ⊢ n ∈ ℕ → π ∈ ℂ ∖ 0
1245 1239 1244 eqeltrd ⊢ n ∈ ℕ → n ∈ ℕ ⟼ π ⁡ n ∈ ℂ ∖ 0
1246 1245 adantl ⊢ φ ∧ n ∈ ℕ → n ∈ ℕ ⟼ π ⁡ n ∈ ℂ ∖ 0
1247 1209 a1i ⊢ φ ∧ n ∈ ℕ → π ∈ ℂ
1248 1218 a1i ⊢ φ ∧ n ∈ ℕ → π ≠ 0
1249 1231 1247 1248 divcld ⊢ φ ∧ n ∈ ℕ → ∫ − π 0 G ⁡ s ds π ∈ ℂ
1250 19 fvmpt2 ⊢ n ∈ ℕ ∧ ∫ − π 0 G ⁡ s ds π ∈ ℂ → E ⁡ n = ∫ − π 0 G ⁡ s ds π
1251 1196 1249 1250 syl2anc ⊢ φ ∧ n ∈ ℕ → E ⁡ n = ∫ − π 0 G ⁡ s ds π
1252 1234 eqcomd ⊢ φ ∧ n ∈ ℕ → ∫ − π 0 G ⁡ s ds = n ∈ ℕ ⟼ ∫ − π 0 G ⁡ s ds ⁡ n
1253 1239 eqcomd ⊢ n ∈ ℕ → π = n ∈ ℕ ⟼ π ⁡ n
1254 1253 adantl ⊢ φ ∧ n ∈ ℕ → π = n ∈ ℕ ⟼ π ⁡ n
1255 1252 1254 oveq12d ⊢ φ ∧ n ∈ ℕ → ∫ − π 0 G ⁡ s ds π = n ∈ ℕ ⟼ ∫ − π 0 G ⁡ s ds ⁡ n n ∈ ℕ ⟼ π ⁡ n
1256 1251 1255 eqtrd ⊢ φ ∧ n ∈ ℕ → E ⁡ n = n ∈ ℕ ⟼ ∫ − π 0 G ⁡ s ds ⁡ n n ∈ ℕ ⟼ π ⁡ n
1257 34 35 36 38 39 33 1203 1206 1217 1219 1235 1246 1256 climdivf ⊢ φ → E ⇝ 0 π
1258 1209 1218 div0i ⊢ 0 π = 0
1259 1258 a1i ⊢ φ → 0 π = 0
1260 1257 1259 breqtrd ⊢ φ → E ⇝ 0
1261 1152 mptex ⊢ m ∈ ℕ ⟼ ∫ − π 0 F ⁡ X + s ⁢ D ⁡ m ⁡ s ds ∈ V
1262 18 1261 eqeltri ⊢ Z ∈ V
1263 1262 a1i ⊢ φ → Z ∈ V
1264 1152 mptex ⊢ m ∈ ℕ ⟼ W 2 ∈ V
1265 1264 a1i ⊢ φ → m ∈ ℕ ⟼ W 2 ∈ V
1266 limccl ⊢ F ↾ −∞ X lim ℂ X ⊆ ℂ
1267 1266 21 sseldi ⊢ φ → W ∈ ℂ
1268 1267 halfcld ⊢ φ → W 2 ∈ ℂ
1269 eqidd ⊢ φ ∧ n ∈ ℤ ≥ 1 → m ∈ ℕ ⟼ W 2 = m ∈ ℕ ⟼ W 2
1270 eqidd ⊢ φ ∧ n ∈ ℤ ≥ 1 ∧ m = n → W 2 = W 2
1271 39 eqcomi ⊢ ℤ ≥ 1 = ℕ
1272 1271 eleq2i ⊢ n ∈ ℤ ≥ 1 ↔ n ∈ ℕ
1273 1272 biimpi ⊢ n ∈ ℤ ≥ 1 → n ∈ ℕ
1274 1273 adantl ⊢ φ ∧ n ∈ ℤ ≥ 1 → n ∈ ℕ
1275 1268 adantr ⊢ φ ∧ n ∈ ℤ ≥ 1 → W 2 ∈ ℂ
1276 1269 1270 1274 1275 fvmptd ⊢ φ ∧ n ∈ ℤ ≥ 1 → m ∈ ℕ ⟼ W 2 ⁡ n = W 2
1277 32 33 1265 1268 1276 climconst ⊢ φ → m ∈ ℕ ⟼ W 2 ⇝ W 2
1278 1249 19 fmptd ⊢ φ → E : ℕ ⟶ ℂ
1279 1278 adantr ⊢ φ ∧ n ∈ ℤ ≥ 1 → E : ℕ ⟶ ℂ
1280 1279 1274 ffvelrnd ⊢ φ ∧ n ∈ ℤ ≥ 1 → E ⁡ n ∈ ℂ
1281 1276 1275 eqeltrd ⊢ φ ∧ n ∈ ℤ ≥ 1 → m ∈ ℕ ⟼ W 2 ⁡ n ∈ ℂ
1282 1276 oveq2d ⊢ φ ∧ n ∈ ℤ ≥ 1 → E ⁡ n + m ∈ ℕ ⟼ W 2 ⁡ n = E ⁡ n + W 2
1283 822 a1i ⊢ φ → − π 0 ∈ dom ⁡ vol
1284 75 a1i ⊢ s ∈ − π 0 → − π ∈ ℝ *
1285 0red ⊢ s ∈ − π 0 → 0 ∈ ℝ
1286 1285 rexrd ⊢ s ∈ − π 0 → 0 ∈ ℝ *
1287 id ⊢ s ∈ − π 0 → s ∈ − π 0
1288 iooltub ⊢ − π ∈ ℝ * ∧ 0 ∈ ℝ * ∧ s ∈ − π 0 → s < 0
1289 1284 1286 1287 1288 syl3anc ⊢ s ∈ − π 0 → s < 0
1290 794 1289 ltned ⊢ s ∈ − π 0 → s ≠ 0
1291 1290 neneqd ⊢ s ∈ − π 0 → ¬ s = 0
1292 velsn ⊢ s ∈ 0 ↔ s = 0
1293 1291 1292 sylnibr ⊢ s ∈ − π 0 → ¬ s ∈ 0
1294 784 1293 eldifd ⊢ s ∈ − π 0 → s ∈ − π π ∖ 0
1295 1294 ssriv ⊢ − π 0 ⊆ − π π ∖ 0
1296 1295 a1i ⊢ φ → − π 0 ⊆ − π π ∖ 0
1297 794 adantl ⊢ φ ∧ s ∈ − π 0 → s ∈ ℝ
1298 0red ⊢ φ ∧ s ∈ − π 0 → 0 ∈ ℝ
1299 794 1285 1289 ltled ⊢ s ∈ − π 0 → s ≤ 0
1300 1299 adantl ⊢ φ ∧ s ∈ − π 0 → s ≤ 0
1301 1297 1298 1300 lensymd ⊢ φ ∧ s ∈ − π 0 → ¬ 0 < s
1302 1301 iffalsed ⊢ φ ∧ s ∈ − π 0 → if 0 < s Y W = W
1303 eqid ⊢ D ⁡ n = D ⁡ n
1304 41 a1i ⊢ φ ∧ n ∈ ℕ → − π ∈ ℝ
1305 0red ⊢ φ ∧ n ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ
1306 41 778 903 ltleii ⊢ − π ≤ 0
1307 1306 a1i ⊢ φ ∧ n ∈ ℕ → − π ≤ 0
1308 eqid ⊢ s ∈ − π 0 ⟼ s 2 + ∑ k = 1 n sin ⁡ k ⁢ s k π = s ∈ − π 0 ⟼ s 2 + ∑ k = 1 n sin ⁡ k ⁢ s k π
1309 24 1196 1303 1304 1305 1307 1308 dirkeritg ⊢ φ ∧ n ∈ ℕ → ∫ − π 0 D ⁡ n ⁡ s ds = s ∈ − π 0 ⟼ s 2 + ∑ k = 1 n sin ⁡ k ⁢ s k π ⁡ 0 − s ∈ − π 0 ⟼ s 2 + ∑ k = 1 n sin ⁡ k ⁢ s k π ⁡ − π
1310 ubicc2 ⊢ − π ∈ ℝ * ∧ 0 ∈ ℝ * ∧ − π ≤ 0 → 0 ∈ − π 0
1311 75 76 1306 1310 mp3an ⊢ 0 ∈ − π 0
1312 oveq1 ⊢ s = 0 → s 2 = 0 2
1313 257 262 div0i ⊢ 0 2 = 0
1314 1313 a1i ⊢ s = 0 → 0 2 = 0
1315 1312 1314 eqtrd ⊢ s = 0 → s 2 = 0
1316 oveq2 ⊢ s = 0 → k ⁢ s = k ⋅ 0
1317 elfzelz ⊢ k ∈ 1 … n → k ∈ ℤ
1318 1317 zcnd ⊢ k ∈ 1 … n → k ∈ ℂ
1319 1318 mul01d ⊢ k ∈ 1 … n → k ⋅ 0 = 0
1320 1316 1319 sylan9eq ⊢ s = 0 ∧ k ∈ 1 … n → k ⁢ s = 0
1321 1320 fveq2d ⊢ s = 0 ∧ k ∈ 1 … n → sin ⁡ k ⁢ s = sin ⁡ 0
1322 sin0 ⊢ sin ⁡ 0 = 0
1323 1322 a1i ⊢ s = 0 ∧ k ∈ 1 … n → sin ⁡ 0 = 0
1324 1321 1323 eqtrd ⊢ s = 0 ∧ k ∈ 1 … n → sin ⁡ k ⁢ s = 0
1325 1324 oveq1d ⊢ s = 0 ∧ k ∈ 1 … n → sin ⁡ k ⁢ s k = 0 k
1326 0red ⊢ k ∈ 1 … n → 0 ∈ ℝ
1327 1red ⊢ k ∈ 1 … n → 1 ∈ ℝ
1328 1317 zred ⊢ k ∈ 1 … n → k ∈ ℝ
1329 118 a1i ⊢ k ∈ 1 … n → 0 < 1
1330 elfzle1 ⊢ k ∈ 1 … n → 1 ≤ k
1331 1326 1327 1328 1329 1330 ltletrd ⊢ k ∈ 1 … n → 0 < k
1332 1331 gt0ne0d ⊢ k ∈ 1 … n → k ≠ 0
1333 1318 1332 div0d ⊢ k ∈ 1 … n → 0 k = 0
1334 1333 adantl ⊢ s = 0 ∧ k ∈ 1 … n → 0 k = 0
1335 1325 1334 eqtrd ⊢ s = 0 ∧ k ∈ 1 … n → sin ⁡ k ⁢ s k = 0
1336 1335 sumeq2dv ⊢ s = 0 → ∑ k = 1 n sin ⁡ k ⁢ s k = ∑ k = 1 n 0
1337 fzfi ⊢ 1 … n ∈ Fin
1338 1337 olci ⊢ 1 … n ⊆ ℤ ≥ ∥ ˙ ∨ 1 … n ∈ Fin
1339 sumz ⊢ 1 … n ⊆ ℤ ≥ ∥ ˙ ∨ 1 … n ∈ Fin → ∑ k = 1 n 0 = 0
1340 1338 1339 ax-mp ⊢ ∑ k = 1 n 0 = 0
1341 1340 a1i ⊢ s = 0 → ∑ k = 1 n 0 = 0
1342 1336 1341 eqtrd ⊢ s = 0 → ∑ k = 1 n sin ⁡ k ⁢ s k = 0
1343 1315 1342 oveq12d ⊢ s = 0 → s 2 + ∑ k = 1 n sin ⁡ k ⁢ s k = 0 + 0
1344 00id ⊢ 0 + 0 = 0
1345 1344 a1i ⊢ s = 0 → 0 + 0 = 0
1346 1343 1345 eqtrd ⊢ s = 0 → s 2 + ∑ k = 1 n sin ⁡ k ⁢ s k = 0
1347 1346 oveq1d ⊢ s = 0 → s 2 + ∑ k = 1 n sin ⁡ k ⁢ s k π = 0 π
1348 1258 a1i ⊢ s = 0 → 0 π = 0
1349 1347 1348 eqtrd ⊢ s = 0 → s 2 + ∑ k = 1 n sin ⁡ k ⁢ s k π = 0
1350 778 elexi ⊢ 0 ∈ V
1351 1349 1308 1350 fvmpt ⊢ 0 ∈ − π 0 → s ∈ − π 0 ⟼ s 2 + ∑ k = 1 n sin ⁡ k ⁢ s k π ⁡ 0 = 0
1352 1311 1351 ax-mp ⊢ s ∈ − π 0 ⟼ s 2 + ∑ k = 1 n sin ⁡ k ⁢ s k π ⁡ 0 = 0
1353 lbicc2 ⊢ − π ∈ ℝ * ∧ 0 ∈ ℝ * ∧ − π ≤ 0 → − π ∈ − π 0
1354 75 76 1306 1353 mp3an ⊢ − π ∈ − π 0
1355 oveq1 ⊢ s = − π → s 2 = − π 2
1356 oveq2 ⊢ s = − π → k ⁢ s = k ⁢ − π
1357 1356 fveq2d ⊢ s = − π → sin ⁡ k ⁢ s = sin ⁡ k ⁢ − π
1358 1357 oveq1d ⊢ s = − π → sin ⁡ k ⁢ s k = sin ⁡ k ⁢ − π k
1359 1358 sumeq2sdv ⊢ s = − π → ∑ k = 1 n sin ⁡ k ⁢ s k = ∑ k = 1 n sin ⁡ k ⁢ − π k
1360 1355 1359 oveq12d ⊢ s = − π → s 2 + ∑ k = 1 n sin ⁡ k ⁢ s k = − π 2 + ∑ k = 1 n sin ⁡ k ⁢ − π k
1361 1360 oveq1d ⊢ s = − π → s 2 + ∑ k = 1 n sin ⁡ k ⁢ s k π = − π 2 + ∑ k = 1 n sin ⁡ k ⁢ − π k π
1362 ovex ⊢ − π 2 + ∑ k = 1 n sin ⁡ k ⁢ − π k π ∈ V
1363 1361 1308 1362 fvmpt ⊢ − π ∈ − π 0 → s ∈ − π 0 ⟼ s 2 + ∑ k = 1 n sin ⁡ k ⁢ s k π ⁡ − π = − π 2 + ∑ k = 1 n sin ⁡ k ⁢ − π k π
1364 1354 1363 ax-mp ⊢ s ∈ − π 0 ⟼ s 2 + ∑ k = 1 n sin ⁡ k ⁢ s k π ⁡ − π = − π 2 + ∑ k = 1 n sin ⁡ k ⁢ − π k π
1365 mulneg12 ⊢ k ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ → − k ⁢ π = k ⁢ − π
1366 1318 1209 1365 sylancl ⊢ k ∈ 1 … n → − k ⁢ π = k ⁢ − π
1367 1366 eqcomd ⊢ k ∈ 1 … n → k ⁢ − π = − k ⁢ π
1368 1367 oveq1d ⊢ k ∈ 1 … n → k ⁢ − π π = − k ⁢ π π
1369 1318 negcld ⊢ k ∈ 1 … n → − k ∈ ℂ
1370 1209 a1i ⊢ k ∈ 1 … n → π ∈ ℂ
1371 1218 a1i ⊢ k ∈ 1 … n → π ≠ 0
1372 1369 1370 1371 divcan4d ⊢ k ∈ 1 … n → − k ⁢ π π = − k
1373 1368 1372 eqtrd ⊢ k ∈ 1 … n → k ⁢ − π π = − k
1374 1317 znegcld ⊢ k ∈ 1 … n → − k ∈ ℤ
1375 1373 1374 eqeltrd ⊢ k ∈ 1 … n → k ⁢ − π π ∈ ℤ
1376 negpicn ⊢ − π ∈ ℂ
1377 1376 a1i ⊢ k ∈ 1 … n → − π ∈ ℂ
1378 1318 1377 mulcld ⊢ k ∈ 1 … n → k ⁢ − π ∈ ℂ
1379 sineq0 ⊢ k ⁢ − π ∈ ℂ → sin ⁡ k ⁢ − π = 0 ↔ k ⁢ − π π ∈ ℤ
1380 1378 1379 syl ⊢ k ∈ 1 … n → sin ⁡ k ⁢ − π = 0 ↔ k ⁢ − π π ∈ ℤ
1381 1375 1380 mpbird ⊢ k ∈ 1 … n → sin ⁡ k ⁢ − π = 0
1382 1381 oveq1d ⊢ k ∈ 1 … n → sin ⁡ k ⁢ − π k = 0 k
1383 1382 1333 eqtrd ⊢ k ∈ 1 … n → sin ⁡ k ⁢ − π k = 0
1384 1383 sumeq2i ⊢ ∑ k = 1 n sin ⁡ k ⁢ − π k = ∑ k = 1 n 0
1385 1384 1340 eqtri ⊢ ∑ k = 1 n sin ⁡ k ⁢ − π k = 0
1386 1385 oveq2i ⊢ − π 2 + ∑ k = 1 n sin ⁡ k ⁢ − π k = − π 2 + 0
1387 1386 oveq1i ⊢ − π 2 + ∑ k = 1 n sin ⁡ k ⁢ − π k π = − π 2 + 0 π
1388 1376 257 262 divcli ⊢ − π 2 ∈ ℂ
1389 1388 addid1i ⊢ − π 2 + 0 = − π 2
1390 divneg ⊢ π ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 → − π 2 = − π 2
1391 1209 257 262 1390 mp3an ⊢ − π 2 = − π 2
1392 1389 1391 eqtr4i ⊢ − π 2 + 0 = − π 2
1393 1392 oveq1i ⊢ − π 2 + 0 π = − π 2 π
1394 1040 recni ⊢ π 2 ∈ ℂ
1395 divneg ⊢ π 2 ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ ∧ π ≠ 0 → − π 2 π = − π 2 π
1396 1394 1209 1218 1395 mp3an ⊢ − π 2 π = − π 2 π
1397 1396 eqcomi ⊢ − π 2 π = − π 2 π
1398 1209 257 1209 262 1218 divdiv32i ⊢ π 2 π = π π 2
1399 1209 1218 dividi ⊢ π π = 1
1400 1399 oveq1i ⊢ π π 2 = 1 2
1401 1398 1400 eqtri ⊢ π 2 π = 1 2
1402 1401 negeqi ⊢ − π 2 π = − 1 2
1403 1393 1397 1402 3eqtri ⊢ − π 2 + 0 π = − 1 2
1404 1364 1387 1403 3eqtri ⊢ s ∈ − π 0 ⟼ s 2 + ∑ k = 1 n sin ⁡ k ⁢ s k π ⁡ − π = − 1 2
1405 1352 1404 oveq12i ⊢ s ∈ − π 0 ⟼ s 2 + ∑ k = 1 n sin ⁡ k ⁢ s k π ⁡ 0 − s ∈ − π 0 ⟼ s 2 + ∑ k = 1 n sin ⁡ k ⁢ s k π ⁡ − π = 0 − − 1 2
1406 1405 a1i ⊢ φ ∧ n ∈ ℕ → s ∈ − π 0 ⟼ s 2 + ∑ k = 1 n sin ⁡ k ⁢ s k π ⁡ 0 − s ∈ − π 0 ⟼ s 2 + ∑ k = 1 n sin ⁡ k ⁢ s k π ⁡ − π = 0 − − 1 2
1407 halfcn ⊢ 1 2 ∈ ℂ
1408 1118 1407 subnegi ⊢ 0 − − 1 2 = 0 + 1 2
1409 1407 addid2i ⊢ 0 + 1 2 = 1 2
1410 1408 1409 eqtri ⊢ 0 − − 1 2 = 1 2
1411 1410 a1i ⊢ φ ∧ n ∈ ℕ → 0 − − 1 2 = 1 2
1412 1309 1406 1411 3eqtrd ⊢ φ ∧ n ∈ ℕ → ∫ − π 0 D ⁡ n ⁡ s ds = 1 2
1413 1 2 3 4 5 6 7 11 12 13 14 15 16 17 854 607 22 23 20 21 1283 1296 19 24 65 1302 1412 fourierdlem95 ⊢ φ ∧ n ∈ ℕ → E ⁡ n + W 2 = ∫ − π 0 F ⁡ X + s ⁢ D ⁡ n ⁡ s ds
1414 1274 1413 syldan ⊢ φ ∧ n ∈ ℤ ≥ 1 → E ⁡ n + W 2 = ∫ − π 0 F ⁡ X + s ⁢ D ⁡ n ⁡ s ds
1415 18 a1i ⊢ φ ∧ n ∈ ℕ → Z = m ∈ ℕ ⟼ ∫ − π 0 F ⁡ X + s ⁢ D ⁡ m ⁡ s ds
1416 fveq2 ⊢ m = n → D ⁡ m = D ⁡ n
1417 1416 fveq1d ⊢ m = n → D ⁡ m ⁡ s = D ⁡ n ⁡ s
1418 1417 oveq2d ⊢ m = n → F ⁡ X + s ⁢ D ⁡ m ⁡ s = F ⁡ X + s ⁢ D ⁡ n ⁡ s
1419 1418 adantr ⊢ m = n ∧ s ∈ − π 0 → F ⁡ X + s ⁢ D ⁡ m ⁡ s = F ⁡ X + s ⁢ D ⁡ n ⁡ s
1420 1419 itgeq2dv ⊢ m = n → ∫ − π 0 F ⁡ X + s ⁢ D ⁡ m ⁡ s ds = ∫ − π 0 F ⁡ X + s ⁢ D ⁡ n ⁡ s ds
1421 1420 adantl ⊢ φ ∧ n ∈ ℕ ∧ m = n → ∫ − π 0 F ⁡ X + s ⁢ D ⁡ m ⁡ s ds = ∫ − π 0 F ⁡ X + s ⁢ D ⁡ n ⁡ s ds
1422 1 adantr ⊢ φ ∧ s ∈ − π 0 → F : ℝ ⟶ ℝ
1423 2 adantr ⊢ φ ∧ s ∈ − π 0 → X ∈ ℝ
1424 1423 1297 readdcld ⊢ φ ∧ s ∈ − π 0 → X + s ∈ ℝ
1425 1422 1424 ffvelrnd ⊢ φ ∧ s ∈ − π 0 → F ⁡ X + s ∈ ℝ
1426 1425 adantlr ⊢ φ ∧ n ∈ ℕ ∧ s ∈ − π 0 → F ⁡ X + s ∈ ℝ
1427 24 dirkerf ⊢ n ∈ ℕ → D ⁡ n : ℝ ⟶ ℝ
1428 1427 ad2antlr ⊢ φ ∧ n ∈ ℕ ∧ s ∈ − π 0 → D ⁡ n : ℝ ⟶ ℝ
1429 794 adantl ⊢ φ ∧ n ∈ ℕ ∧ s ∈ − π 0 → s ∈ ℝ
1430 1428 1429 ffvelrnd ⊢ φ ∧ n ∈ ℕ ∧ s ∈ − π 0 → D ⁡ n ⁡ s ∈ ℝ
1431 1426 1430 remulcld ⊢ φ ∧ n ∈ ℕ ∧ s ∈ − π 0 → F ⁡ X + s ⁢ D ⁡ n ⁡ s ∈ ℝ
1432 1 adantr ⊢ φ ∧ s ∈ − π π → F : ℝ ⟶ ℝ
1433 2 adantr ⊢ φ ∧ s ∈ − π π → X ∈ ℝ
1434 232 sseli ⊢ s ∈ − π π → s ∈ ℝ
1435 1434 adantl ⊢ φ ∧ s ∈ − π π → s ∈ ℝ
1436 1433 1435 readdcld ⊢ φ ∧ s ∈ − π π → X + s ∈ ℝ
1437 1432 1436 ffvelrnd ⊢ φ ∧ s ∈ − π π → F ⁡ X + s ∈ ℝ
1438 1437 adantlr ⊢ φ ∧ n ∈ ℕ ∧ s ∈ − π π → F ⁡ X + s ∈ ℝ
1439 1427 ad2antlr ⊢ φ ∧ n ∈ ℕ ∧ s ∈ − π π → D ⁡ n : ℝ ⟶ ℝ
1440 1434 adantl ⊢ φ ∧ n ∈ ℕ ∧ s ∈ − π π → s ∈ ℝ
1441 1439 1440 ffvelrnd ⊢ φ ∧ n ∈ ℕ ∧ s ∈ − π π → D ⁡ n ⁡ s ∈ ℝ
1442 1438 1441 remulcld ⊢ φ ∧ n ∈ ℕ ∧ s ∈ − π π → F ⁡ X + s ⁢ D ⁡ n ⁡ s ∈ ℝ
1443 40 a1i ⊢ φ ∧ n ∈ ℕ → π ∈ ℝ
1444 24 dirkercncf ⊢ n ∈ ℕ → D ⁡ n : ℝ ⟶cn ℝ
1445 1444 adantl ⊢ φ ∧ n ∈ ℕ → D ⁡ n : ℝ ⟶cn ℝ
1446 eqid ⊢ s ∈ − π π ⟼ F ⁡ X + s ⁢ D ⁡ n ⁡ s = s ∈ − π π ⟼ F ⁡ X + s ⁢ D ⁡ n ⁡ s
1447 1304 1443 843 1220 3 848 849 850 851 852 29 853 1445 1446 fourierdlem84 ⊢ φ ∧ n ∈ ℕ → s ∈ − π π ⟼ F ⁡ X + s ⁢ D ⁡ n ⁡ s ∈ 𝐿 1
1448 821 823 1442 1447 iblss ⊢ φ ∧ n ∈ ℕ → s ∈ − π 0 ⟼ F ⁡ X + s ⁢ D ⁡ n ⁡ s ∈ 𝐿 1
1449 1431 1448 itgrecl ⊢ φ ∧ n ∈ ℕ → ∫ − π 0 F ⁡ X + s ⁢ D ⁡ n ⁡ s ds ∈ ℝ
1450 1415 1421 1196 1449 fvmptd ⊢ φ ∧ n ∈ ℕ → Z ⁡ n = ∫ − π 0 F ⁡ X + s ⁢ D ⁡ n ⁡ s ds
1451 1450 eqcomd ⊢ φ ∧ n ∈ ℕ → ∫ − π 0 F ⁡ X + s ⁢ D ⁡ n ⁡ s ds = Z ⁡ n
1452 1274 1451 syldan ⊢ φ ∧ n ∈ ℤ ≥ 1 → ∫ − π 0 F ⁡ X + s ⁢ D ⁡ n ⁡ s ds = Z ⁡ n
1453 1282 1414 1452 3eqtrrd ⊢ φ ∧ n ∈ ℤ ≥ 1 → Z ⁡ n = E ⁡ n + m ∈ ℕ ⟼ W 2 ⁡ n
1454 32 33 1260 1263 1277 1280 1281 1453 climadd ⊢ φ → Z ⇝ 0 + W 2
1455 1268 addid2d ⊢ φ → 0 + W 2 = W 2
1456 1454 1455 breqtrd ⊢ φ → Z ⇝ W 2