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Theorem fpwwe2lem8

Description: Lemma for fpwwe2 . Given two well-orders <. X , R >. and <. Y , S >. of parts of A , one is an initial segment of the other. (The O C_ P hypothesis is in order to break the symmetry of X and Y .) (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015) (Proof shortened by Peter Mazsa, 23-Sep-2022) (Revised by AV, 20-Jul-2024)

Ref Expression
Hypotheses fpwwe2.1 W = x r | x A r x × x r We x y x [˙ r -1 y / u]˙ u F r u × u = y
fpwwe2.2 φ A V
fpwwe2.3 φ x A r x × x r We x x F r A
fpwwe2lem8.x φ X W R
fpwwe2lem8.y φ Y W S
fpwwe2lem8.m M = OrdIso R X
fpwwe2lem8.n N = OrdIso S Y
fpwwe2lem8.s φ dom M dom N
Assertion fpwwe2lem8 φ X Y R = S Y × X

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 fpwwe2.1 W = x r | x A r x × x r We x y x [˙ r -1 y / u]˙ u F r u × u = y
2 fpwwe2.2 φ A V
3 fpwwe2.3 φ x A r x × x r We x x F r A
4 fpwwe2lem8.x φ X W R
5 fpwwe2lem8.y φ Y W S
6 fpwwe2lem8.m M = OrdIso R X
7 fpwwe2lem8.n N = OrdIso S Y
8 fpwwe2lem8.s φ dom M dom N
9 1 relopabiv Rel W
10 9 brrelex1i X W R X V
11 4 10 syl φ X V
12 1 2 fpwwe2lem2 φ X W R X A R X × X R We X y X [˙ R -1 y / u]˙ u F R u × u = y
13 4 12 mpbid φ X A R X × X R We X y X [˙ R -1 y / u]˙ u F R u × u = y
14 13 simprld φ R We X
15 6 oiiso X V R We X M Isom E , R dom M X
16 11 14 15 syl2anc φ M Isom E , R dom M X
17 isof1o M Isom E , R dom M X M : dom M 1-1 onto X
18 f1ofo M : dom M 1-1 onto X M : dom M onto X
19 forn M : dom M onto X ran M = X
20 16 17 18 19 4syl φ ran M = X
21 1 2 3 4 5 6 7 8 fpwwe2lem7 φ M = N dom M
22 21 rneqd φ ran M = ran N dom M
23 20 22 eqtr3d φ X = ran N dom M
24 df-ima N dom M = ran N dom M
25 23 24 eqtr4di φ X = N dom M
26 imassrn N dom M ran N
27 9 brrelex1i Y W S Y V
28 5 27 syl φ Y V
29 1 2 fpwwe2lem2 φ Y W S Y A S Y × Y S We Y y Y [˙ S -1 y / u]˙ u F S u × u = y
30 5 29 mpbid φ Y A S Y × Y S We Y y Y [˙ S -1 y / u]˙ u F S u × u = y
31 30 simprld φ S We Y
32 7 oiiso Y V S We Y N Isom E , S dom N Y
33 28 31 32 syl2anc φ N Isom E , S dom N Y
34 isof1o N Isom E , S dom N Y N : dom N 1-1 onto Y
35 f1ofo N : dom N 1-1 onto Y N : dom N onto Y
36 forn N : dom N onto Y ran N = Y
37 33 34 35 36 4syl φ ran N = Y
38 26 37 sseqtrid φ N dom M Y
39 25 38 eqsstrd φ X Y
40 13 simplrd φ R X × X
41 relxp Rel X × X
42 relss R X × X Rel X × X Rel R
43 40 41 42 mpisyl φ Rel R
44 relinxp Rel S Y × X
45 43 44 jctir φ Rel R Rel S Y × X
46 40 ssbrd φ x R y x X × X y
47 brxp x X × X y x X y X
48 46 47 imbitrdi φ x R y x X y X
49 brinxp2 x S Y × X y x Y y X x S y
50 isocnv N Isom E , S dom N Y N -1 Isom S , E Y dom N
51 33 50 syl φ N -1 Isom S , E Y dom N
52 51 adantr φ x Y y X x S y N -1 Isom S , E Y dom N
53 isof1o N -1 Isom S , E Y dom N N -1 : Y 1-1 onto dom N
54 f1ofn N -1 : Y 1-1 onto dom N N -1 Fn Y
55 52 53 54 3syl φ x Y y X x S y N -1 Fn Y
56 simprll φ x Y y X x S y x Y
57 simprr φ x Y y X x S y x S y
58 39 adantr φ x Y y X x S y X Y
59 simprlr φ x Y y X x S y y X
60 58 59 sseldd φ x Y y X x S y y Y
61 isorel N -1 Isom S , E Y dom N x Y y Y x S y N -1 x E N -1 y
62 52 56 60 61 syl12anc φ x Y y X x S y x S y N -1 x E N -1 y
63 57 62 mpbid φ x Y y X x S y N -1 x E N -1 y
64 fvex N -1 y V
65 64 epeli N -1 x E N -1 y N -1 x N -1 y
66 63 65 sylib φ x Y y X x S y N -1 x N -1 y
67 21 adantr φ x Y y X x S y M = N dom M
68 67 cnveqd φ x Y y X x S y M -1 = N dom M -1
69 fnfun N -1 Fn Y Fun N -1
70 funcnvres Fun N -1 N dom M -1 = N -1 N dom M
71 55 69 70 3syl φ x Y y X x S y N dom M -1 = N -1 N dom M
72 68 71 eqtrd φ x Y y X x S y M -1 = N -1 N dom M
73 72 fveq1d φ x Y y X x S y M -1 y = N -1 N dom M y
74 25 adantr φ x Y y X x S y X = N dom M
75 59 74 eleqtrd φ x Y y X x S y y N dom M
76 75 fvresd φ x Y y X x S y N -1 N dom M y = N -1 y
77 73 76 eqtrd φ x Y y X x S y M -1 y = N -1 y
78 isocnv M Isom E , R dom M X M -1 Isom R , E X dom M
79 isof1o M -1 Isom R , E X dom M M -1 : X 1-1 onto dom M
80 f1of M -1 : X 1-1 onto dom M M -1 : X dom M
81 16 78 79 80 4syl φ M -1 : X dom M
82 81 adantr φ x Y y X x S y M -1 : X dom M
83 82 59 ffvelcdmd φ x Y y X x S y M -1 y dom M
84 77 83 eqeltrrd φ x Y y X x S y N -1 y dom M
85 6 oicl Ord dom M
86 ordtr1 Ord dom M N -1 x N -1 y N -1 y dom M N -1 x dom M
87 85 86 ax-mp N -1 x N -1 y N -1 y dom M N -1 x dom M
88 66 84 87 syl2anc φ x Y y X x S y N -1 x dom M
89 55 56 88 elpreimad φ x Y y X x S y x N -1 -1 dom M
90 imacnvcnv N -1 -1 dom M = N dom M
91 74 90 eqtr4di φ x Y y X x S y X = N -1 -1 dom M
92 89 91 eleqtrrd φ x Y y X x S y x X
93 92 59 jca φ x Y y X x S y x X y X
94 93 ex φ x Y y X x S y x X y X
95 49 94 biimtrid φ x S Y × X y x X y X
96 21 adantr φ x X y X M = N dom M
97 96 cnveqd φ x X y X M -1 = N dom M -1
98 97 fveq1d φ x X y X M -1 x = N dom M -1 x
99 97 fveq1d φ x X y X M -1 y = N dom M -1 y
100 98 99 breq12d φ x X y X M -1 x E M -1 y N dom M -1 x E N dom M -1 y
101 16 78 syl φ M -1 Isom R , E X dom M
102 isorel M -1 Isom R , E X dom M x X y X x R y M -1 x E M -1 y
103 101 102 sylan φ x X y X x R y M -1 x E M -1 y
104 eqidd φ N dom M = N dom M
105 isores3 N Isom E , S dom N Y dom M dom N N dom M = N dom M N dom M Isom E , S dom M N dom M
106 33 8 104 105 syl3anc φ N dom M Isom E , S dom M N dom M
107 isocnv N dom M Isom E , S dom M N dom M N dom M -1 Isom S , E N dom M dom M
108 106 107 syl φ N dom M -1 Isom S , E N dom M dom M
109 108 adantr φ x X y X N dom M -1 Isom S , E N dom M dom M
110 simprl φ x X y X x X
111 25 adantr φ x X y X X = N dom M
112 110 111 eleqtrd φ x X y X x N dom M
113 simprr φ x X y X y X
114 113 111 eleqtrd φ x X y X y N dom M
115 isorel N dom M -1 Isom S , E N dom M dom M x N dom M y N dom M x S y N dom M -1 x E N dom M -1 y
116 109 112 114 115 syl12anc φ x X y X x S y N dom M -1 x E N dom M -1 y
117 100 103 116 3bitr4d φ x X y X x R y x S y
118 39 sselda φ x X x Y
119 118 adantrr φ x X y X x Y
120 119 113 jca φ x X y X x Y y X
121 120 biantrurd φ x X y X x S y x Y y X x S y
122 121 49 bitr4di φ x X y X x S y x S Y × X y
123 117 122 bitrd φ x X y X x R y x S Y × X y
124 123 ex φ x X y X x R y x S Y × X y
125 48 95 124 pm5.21ndd φ x R y x S Y × X y
126 df-br x R y x y R
127 df-br x S Y × X y x y S Y × X
128 125 126 127 3bitr3g φ x y R x y S Y × X
129 128 eqrelrdv2 Rel R Rel S Y × X φ R = S Y × X
130 45 129 mpancom φ R = S Y × X
131 39 130 jca φ X Y R = S Y × X