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Theorem incexclem

Description: Lemma for incexc . (Contributed by Mario Carneiro, 7-Aug-2017)

Ref Expression
Assertion incexclem A Fin B Fin B B A = s 𝒫 A 1 s B s

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 unieq x = x =
2 uni0 =
3 1 2 eqtrdi x = x =
4 3 ineq2d x = b x = b
5 in0 b =
6 4 5 eqtrdi x = b x =
7 6 fveq2d x = b x =
8 hash0 = 0
9 7 8 eqtrdi x = b x = 0
10 9 oveq2d x = b b x = b 0
11 pweq x = 𝒫 x = 𝒫
12 pw0 𝒫 =
13 11 12 eqtrdi x = 𝒫 x =
14 13 sumeq1d x = s 𝒫 x 1 s b s = s 1 s b s
15 10 14 eqeq12d x = b b x = s 𝒫 x 1 s b s b 0 = s 1 s b s
16 15 ralbidv x = b Fin b b x = s 𝒫 x 1 s b s b Fin b 0 = s 1 s b s
17 unieq x = y x = y
18 17 ineq2d x = y b x = b y
19 18 fveq2d x = y b x = b y
20 19 oveq2d x = y b b x = b b y
21 pweq x = y 𝒫 x = 𝒫 y
22 21 sumeq1d x = y s 𝒫 x 1 s b s = s 𝒫 y 1 s b s
23 20 22 eqeq12d x = y b b x = s 𝒫 x 1 s b s b b y = s 𝒫 y 1 s b s
24 23 ralbidv x = y b Fin b b x = s 𝒫 x 1 s b s b Fin b b y = s 𝒫 y 1 s b s
25 unieq x = y z x = y z
26 uniun y z = y z
27 unisnv z = z
28 27 uneq2i y z = y z
29 26 28 eqtri y z = y z
30 25 29 eqtrdi x = y z x = y z
31 30 ineq2d x = y z b x = b y z
32 31 fveq2d x = y z b x = b y z
33 32 oveq2d x = y z b b x = b b y z
34 pweq x = y z 𝒫 x = 𝒫 y z
35 34 sumeq1d x = y z s 𝒫 x 1 s b s = s 𝒫 y z 1 s b s
36 33 35 eqeq12d x = y z b b x = s 𝒫 x 1 s b s b b y z = s 𝒫 y z 1 s b s
37 36 ralbidv x = y z b Fin b b x = s 𝒫 x 1 s b s b Fin b b y z = s 𝒫 y z 1 s b s
38 unieq x = A x = A
39 38 ineq2d x = A b x = b A
40 39 fveq2d x = A b x = b A
41 40 oveq2d x = A b b x = b b A
42 pweq x = A 𝒫 x = 𝒫 A
43 42 sumeq1d x = A s 𝒫 x 1 s b s = s 𝒫 A 1 s b s
44 41 43 eqeq12d x = A b b x = s 𝒫 x 1 s b s b b A = s 𝒫 A 1 s b s
45 44 ralbidv x = A b Fin b b x = s 𝒫 x 1 s b s b Fin b b A = s 𝒫 A 1 s b s
46 hashcl b Fin b 0
47 46 nn0cnd b Fin b
48 47 mullidd b Fin 1 b = b
49 0ex V
50 48 47 eqeltrd b Fin 1 b
51 fveq2 s = s =
52 51 8 eqtrdi s = s = 0
53 52 oveq2d s = 1 s = 1 0
54 neg1cn 1
55 exp0 1 1 0 = 1
56 54 55 ax-mp 1 0 = 1
57 53 56 eqtrdi s = 1 s = 1
58 rint0 s = b s = b
59 58 fveq2d s = b s = b
60 57 59 oveq12d s = 1 s b s = 1 b
61 60 sumsn V 1 b s 1 s b s = 1 b
62 49 50 61 sylancr b Fin s 1 s b s = 1 b
63 47 subid1d b Fin b 0 = b
64 48 62 63 3eqtr4rd b Fin b 0 = s 1 s b s
65 64 rgen b Fin b 0 = s 1 s b s
66 fveq2 b = x b = x
67 ineq1 b = x b y = x y
68 67 fveq2d b = x b y = x y
69 66 68 oveq12d b = x b b y = x x y
70 simpl b = x s 𝒫 y b = x
71 70 ineq1d b = x s 𝒫 y b s = x s
72 71 fveq2d b = x s 𝒫 y b s = x s
73 72 oveq2d b = x s 𝒫 y 1 s b s = 1 s x s
74 73 sumeq2dv b = x s 𝒫 y 1 s b s = s 𝒫 y 1 s x s
75 69 74 eqeq12d b = x b b y = s 𝒫 y 1 s b s x x y = s 𝒫 y 1 s x s
76 75 rspcva x Fin b Fin b b y = s 𝒫 y 1 s b s x x y = s 𝒫 y 1 s x s
77 76 adantll y Fin ¬ z y x Fin b Fin b b y = s 𝒫 y 1 s b s x x y = s 𝒫 y 1 s x s
78 simpr y Fin ¬ z y x Fin x Fin
79 inss1 x z x
80 ssfi x Fin x z x x z Fin
81 78 79 80 sylancl y Fin ¬ z y x Fin x z Fin
82 fveq2 b = x z b = x z
83 ineq1 b = x z b y = x z y
84 in32 x z y = x y z
85 inass x y z = x y z
86 84 85 eqtri x z y = x y z
87 83 86 eqtrdi b = x z b y = x y z
88 87 fveq2d b = x z b y = x y z
89 82 88 oveq12d b = x z b b y = x z x y z
90 ineq1 b = x z b s = x z s
91 in32 x z s = x s z
92 inass x s z = x s z
93 91 92 eqtri x z s = x s z
94 90 93 eqtrdi b = x z b s = x s z
95 94 fveq2d b = x z b s = x s z
96 95 oveq2d b = x z 1 s b s = 1 s x s z
97 96 sumeq2sdv b = x z s 𝒫 y 1 s b s = s 𝒫 y 1 s x s z
98 89 97 eqeq12d b = x z b b y = s 𝒫 y 1 s b s x z x y z = s 𝒫 y 1 s x s z
99 98 rspcva x z Fin b Fin b b y = s 𝒫 y 1 s b s x z x y z = s 𝒫 y 1 s x s z
100 81 99 sylan y Fin ¬ z y x Fin b Fin b b y = s 𝒫 y 1 s b s x z x y z = s 𝒫 y 1 s x s z
101 77 100 oveq12d y Fin ¬ z y x Fin b Fin b b y = s 𝒫 y 1 s b s x - x y - x z x y z = s 𝒫 y 1 s x s s 𝒫 y 1 s x s z
102 inss1 x y x
103 ssfi x Fin x y x x y Fin
104 78 102 103 sylancl y Fin ¬ z y x Fin x y Fin
105 hashcl x y Fin x y 0
106 104 105 syl y Fin ¬ z y x Fin x y 0
107 106 nn0cnd y Fin ¬ z y x Fin x y
108 hashcl x z Fin x z 0
109 81 108 syl y Fin ¬ z y x Fin x z 0
110 109 nn0cnd y Fin ¬ z y x Fin x z
111 inss1 x y z x
112 ssfi x Fin x y z x x y z Fin
113 78 111 112 sylancl y Fin ¬ z y x Fin x y z Fin
114 hashcl x y z Fin x y z 0
115 113 114 syl y Fin ¬ z y x Fin x y z 0
116 115 nn0cnd y Fin ¬ z y x Fin x y z
117 hashun3 x y Fin x z Fin x y x z = x y + x z - x y x z
118 104 81 117 syl2anc y Fin ¬ z y x Fin x y x z = x y + x z - x y x z
119 indi x y z = x y x z
120 119 fveq2i x y z = x y x z
121 inindi x y z = x y x z
122 121 fveq2i x y z = x y x z
123 122 oveq2i x y + x z - x y z = x y + x z - x y x z
124 118 120 123 3eqtr4g y Fin ¬ z y x Fin x y z = x y + x z - x y z
125 107 110 116 124 assraddsubd y Fin ¬ z y x Fin x y z = x y + x z - x y z
126 125 oveq2d y Fin ¬ z y x Fin x x y z = x x y + x z - x y z
127 hashcl x Fin x 0
128 127 adantl y Fin ¬ z y x Fin x 0
129 128 nn0cnd y Fin ¬ z y x Fin x
130 110 116 subcld y Fin ¬ z y x Fin x z x y z
131 129 107 130 subsub4d y Fin ¬ z y x Fin x - x y - x z x y z = x x y + x z - x y z
132 126 131 eqtr4d y Fin ¬ z y x Fin x x y z = x - x y - x z x y z
133 132 adantr y Fin ¬ z y x Fin b Fin b b y = s 𝒫 y 1 s b s x x y z = x - x y - x z x y z
134 disjdif 𝒫 y 𝒫 y z 𝒫 y =
135 134 a1i y Fin ¬ z y x Fin 𝒫 y 𝒫 y z 𝒫 y =
136 ssun1 y y z
137 136 sspwi 𝒫 y 𝒫 y z
138 undif 𝒫 y 𝒫 y z 𝒫 y 𝒫 y z 𝒫 y = 𝒫 y z
139 137 138 mpbi 𝒫 y 𝒫 y z 𝒫 y = 𝒫 y z
140 139 eqcomi 𝒫 y z = 𝒫 y 𝒫 y z 𝒫 y
141 140 a1i y Fin ¬ z y x Fin 𝒫 y z = 𝒫 y 𝒫 y z 𝒫 y
142 simpll y Fin ¬ z y x Fin y Fin
143 snfi z Fin
144 unfi y Fin z Fin y z Fin
145 142 143 144 sylancl y Fin ¬ z y x Fin y z Fin
146 pwfi y z Fin 𝒫 y z Fin
147 145 146 sylib y Fin ¬ z y x Fin 𝒫 y z Fin
148 54 a1i y Fin ¬ z y x Fin s 𝒫 y z 1
149 elpwi s 𝒫 y z s y z
150 ssfi y z Fin s y z s Fin
151 145 149 150 syl2an y Fin ¬ z y x Fin s 𝒫 y z s Fin
152 hashcl s Fin s 0
153 151 152 syl y Fin ¬ z y x Fin s 𝒫 y z s 0
154 148 153 expcld y Fin ¬ z y x Fin s 𝒫 y z 1 s
155 simplr y Fin ¬ z y x Fin s 𝒫 y z x Fin
156 inss1 x s x
157 ssfi x Fin x s x x s Fin
158 155 156 157 sylancl y Fin ¬ z y x Fin s 𝒫 y z x s Fin
159 hashcl x s Fin x s 0
160 158 159 syl y Fin ¬ z y x Fin s 𝒫 y z x s 0
161 160 nn0cnd y Fin ¬ z y x Fin s 𝒫 y z x s
162 154 161 mulcld y Fin ¬ z y x Fin s 𝒫 y z 1 s x s
163 135 141 147 162 fsumsplit y Fin ¬ z y x Fin s 𝒫 y z 1 s x s = s 𝒫 y 1 s x s + s 𝒫 y z 𝒫 y 1 s x s
164 fveq2 s = t z s = t z
165 164 oveq2d s = t z 1 s = 1 t z
166 inteq s = t z s = t z
167 vex z V
168 167 intunsn t z = t z
169 166 168 eqtrdi s = t z s = t z
170 169 ineq2d s = t z x s = x t z
171 170 fveq2d s = t z x s = x t z
172 165 171 oveq12d s = t z 1 s x s = 1 t z x t z
173 pwfi y Fin 𝒫 y Fin
174 142 173 sylib y Fin ¬ z y x Fin 𝒫 y Fin
175 eqid u 𝒫 y u z = u 𝒫 y u z
176 elpwi u 𝒫 y u y
177 176 adantl y Fin ¬ z y x Fin u 𝒫 y u y
178 unss1 u y u z y z
179 177 178 syl y Fin ¬ z y x Fin u 𝒫 y u z y z
180 vex u V
181 vsnex z V
182 180 181 unex u z V
183 182 elpw u z 𝒫 y z u z y z
184 179 183 sylibr y Fin ¬ z y x Fin u 𝒫 y u z 𝒫 y z
185 simpllr y Fin ¬ z y x Fin u 𝒫 y ¬ z y
186 elpwi u z 𝒫 y u z y
187 ssun2 z u z
188 167 snss z u z z u z
189 187 188 mpbir z u z
190 189 a1i y Fin ¬ z y x Fin u 𝒫 y z u z
191 ssel u z y z u z z y
192 186 190 191 syl2imc y Fin ¬ z y x Fin u 𝒫 y u z 𝒫 y z y
193 185 192 mtod y Fin ¬ z y x Fin u 𝒫 y ¬ u z 𝒫 y
194 184 193 eldifd y Fin ¬ z y x Fin u 𝒫 y u z 𝒫 y z 𝒫 y
195 eldifi s 𝒫 y z 𝒫 y s 𝒫 y z
196 195 adantl y Fin ¬ z y x Fin s 𝒫 y z 𝒫 y s 𝒫 y z
197 196 elpwid y Fin ¬ z y x Fin s 𝒫 y z 𝒫 y s y z
198 uncom y z = z y
199 197 198 sseqtrdi y Fin ¬ z y x Fin s 𝒫 y z 𝒫 y s z y
200 ssundif s z y s z y
201 199 200 sylib y Fin ¬ z y x Fin s 𝒫 y z 𝒫 y s z y
202 vex y V
203 202 elpw2 s z 𝒫 y s z y
204 201 203 sylibr y Fin ¬ z y x Fin s 𝒫 y z 𝒫 y s z 𝒫 y
205 elpwunsn s 𝒫 y z 𝒫 y z s
206 205 ad2antll y Fin ¬ z y x Fin u 𝒫 y s 𝒫 y z 𝒫 y z s
207 206 snssd y Fin ¬ z y x Fin u 𝒫 y s 𝒫 y z 𝒫 y z s
208 ssequn2 z s s z = s
209 207 208 sylib y Fin ¬ z y x Fin u 𝒫 y s 𝒫 y z 𝒫 y s z = s
210 209 eqcomd y Fin ¬ z y x Fin u 𝒫 y s 𝒫 y z 𝒫 y s = s z
211 uneq1 u = s z u z = s z z
212 undif1 s z z = s z
213 211 212 eqtrdi u = s z u z = s z
214 213 eqeq2d u = s z s = u z s = s z
215 210 214 syl5ibrcom y Fin ¬ z y x Fin u 𝒫 y s 𝒫 y z 𝒫 y u = s z s = u z
216 176 ad2antrl y Fin ¬ z y x Fin u 𝒫 y s 𝒫 y z 𝒫 y u y
217 simpllr y Fin ¬ z y x Fin u 𝒫 y s 𝒫 y z 𝒫 y ¬ z y
218 216 217 ssneldd y Fin ¬ z y x Fin u 𝒫 y s 𝒫 y z 𝒫 y ¬ z u
219 difsnb ¬ z u u z = u
220 218 219 sylib y Fin ¬ z y x Fin u 𝒫 y s 𝒫 y z 𝒫 y u z = u
221 220 eqcomd y Fin ¬ z y x Fin u 𝒫 y s 𝒫 y z 𝒫 y u = u z
222 difeq1 s = u z s z = u z z
223 difun2 u z z = u z
224 222 223 eqtrdi s = u z s z = u z
225 224 eqeq2d s = u z u = s z u = u z
226 221 225 syl5ibrcom y Fin ¬ z y x Fin u 𝒫 y s 𝒫 y z 𝒫 y s = u z u = s z
227 215 226 impbid y Fin ¬ z y x Fin u 𝒫 y s 𝒫 y z 𝒫 y u = s z s = u z
228 175 194 204 227 f1o2d y Fin ¬ z y x Fin u 𝒫 y u z : 𝒫 y 1-1 onto 𝒫 y z 𝒫 y
229 uneq1 u = t u z = t z
230 vex t V
231 230 181 unex t z V
232 229 175 231 fvmpt t 𝒫 y u 𝒫 y u z t = t z
233 232 adantl y Fin ¬ z y x Fin t 𝒫 y u 𝒫 y u z t = t z
234 195 162 sylan2 y Fin ¬ z y x Fin s 𝒫 y z 𝒫 y 1 s x s
235 172 174 228 233 234 fsumf1o y Fin ¬ z y x Fin s 𝒫 y z 𝒫 y 1 s x s = t 𝒫 y 1 t z x t z
236 uneq1 t = s t z = s z
237 236 fveq2d t = s t z = s z
238 237 oveq2d t = s 1 t z = 1 s z
239 inteq t = s t = s
240 239 ineq1d t = s t z = s z
241 240 ineq2d t = s x t z = x s z
242 241 fveq2d t = s x t z = x s z
243 238 242 oveq12d t = s 1 t z x t z = 1 s z x s z
244 243 cbvsumv t 𝒫 y 1 t z x t z = s 𝒫 y 1 s z x s z
245 54 a1i y Fin ¬ z y x Fin s 𝒫 y 1
246 elpwi s 𝒫 y s y
247 ssfi y Fin s y s Fin
248 142 246 247 syl2an y Fin ¬ z y x Fin s 𝒫 y s Fin
249 248 152 syl y Fin ¬ z y x Fin s 𝒫 y s 0
250 245 249 expp1d y Fin ¬ z y x Fin s 𝒫 y 1 s + 1 = 1 s -1
251 246 adantl y Fin ¬ z y x Fin s 𝒫 y s y
252 simpllr y Fin ¬ z y x Fin s 𝒫 y ¬ z y
253 251 252 ssneldd y Fin ¬ z y x Fin s 𝒫 y ¬ z s
254 hashunsng z V s Fin ¬ z s s z = s + 1
255 254 elv s Fin ¬ z s s z = s + 1
256 248 253 255 syl2anc y Fin ¬ z y x Fin s 𝒫 y s z = s + 1
257 256 oveq2d y Fin ¬ z y x Fin s 𝒫 y 1 s z = 1 s + 1
258 137 sseli s 𝒫 y s 𝒫 y z
259 258 154 sylan2 y Fin ¬ z y x Fin s 𝒫 y 1 s
260 245 259 mulcomd y Fin ¬ z y x Fin s 𝒫 y -1 1 s = 1 s -1
261 250 257 260 3eqtr4d y Fin ¬ z y x Fin s 𝒫 y 1 s z = -1 1 s
262 259 mulm1d y Fin ¬ z y x Fin s 𝒫 y -1 1 s = 1 s
263 261 262 eqtrd y Fin ¬ z y x Fin s 𝒫 y 1 s z = 1 s
264 263 oveq1d y Fin ¬ z y x Fin s 𝒫 y 1 s z x s z = 1 s x s z
265 inss1 x s z x
266 ssfi x Fin x s z x x s z Fin
267 155 265 266 sylancl y Fin ¬ z y x Fin s 𝒫 y z x s z Fin
268 hashcl x s z Fin x s z 0
269 267 268 syl y Fin ¬ z y x Fin s 𝒫 y z x s z 0
270 269 nn0cnd y Fin ¬ z y x Fin s 𝒫 y z x s z
271 258 270 sylan2 y Fin ¬ z y x Fin s 𝒫 y x s z
272 259 271 mulneg1d y Fin ¬ z y x Fin s 𝒫 y 1 s x s z = 1 s x s z
273 264 272 eqtrd y Fin ¬ z y x Fin s 𝒫 y 1 s z x s z = 1 s x s z
274 273 sumeq2dv y Fin ¬ z y x Fin s 𝒫 y 1 s z x s z = s 𝒫 y 1 s x s z
275 244 274 eqtrid y Fin ¬ z y x Fin t 𝒫 y 1 t z x t z = s 𝒫 y 1 s x s z
276 154 270 mulcld y Fin ¬ z y x Fin s 𝒫 y z 1 s x s z
277 258 276 sylan2 y Fin ¬ z y x Fin s 𝒫 y 1 s x s z
278 174 277 fsumneg y Fin ¬ z y x Fin s 𝒫 y 1 s x s z = s 𝒫 y 1 s x s z
279 235 275 278 3eqtrd y Fin ¬ z y x Fin s 𝒫 y z 𝒫 y 1 s x s = s 𝒫 y 1 s x s z
280 279 oveq2d y Fin ¬ z y x Fin s 𝒫 y 1 s x s + s 𝒫 y z 𝒫 y 1 s x s = s 𝒫 y 1 s x s + s 𝒫 y 1 s x s z
281 137 a1i y Fin ¬ z y x Fin 𝒫 y 𝒫 y z
282 281 sselda y Fin ¬ z y x Fin s 𝒫 y s 𝒫 y z
283 282 162 syldan y Fin ¬ z y x Fin s 𝒫 y 1 s x s
284 174 283 fsumcl y Fin ¬ z y x Fin s 𝒫 y 1 s x s
285 282 276 syldan y Fin ¬ z y x Fin s 𝒫 y 1 s x s z
286 174 285 fsumcl y Fin ¬ z y x Fin s 𝒫 y 1 s x s z
287 284 286 negsubd y Fin ¬ z y x Fin s 𝒫 y 1 s x s + s 𝒫 y 1 s x s z = s 𝒫 y 1 s x s s 𝒫 y 1 s x s z
288 163 280 287 3eqtrd y Fin ¬ z y x Fin s 𝒫 y z 1 s x s = s 𝒫 y 1 s x s s 𝒫 y 1 s x s z
289 288 adantr y Fin ¬ z y x Fin b Fin b b y = s 𝒫 y 1 s b s s 𝒫 y z 1 s x s = s 𝒫 y 1 s x s s 𝒫 y 1 s x s z
290 101 133 289 3eqtr4d y Fin ¬ z y x Fin b Fin b b y = s 𝒫 y 1 s b s x x y z = s 𝒫 y z 1 s x s
291 290 ex y Fin ¬ z y x Fin b Fin b b y = s 𝒫 y 1 s b s x x y z = s 𝒫 y z 1 s x s
292 291 ralrimdva y Fin ¬ z y b Fin b b y = s 𝒫 y 1 s b s x Fin x x y z = s 𝒫 y z 1 s x s
293 ineq1 b = x b y z = x y z
294 293 fveq2d b = x b y z = x y z
295 66 294 oveq12d b = x b b y z = x x y z
296 ineq1 b = x b s = x s
297 296 fveq2d b = x b s = x s
298 297 oveq2d b = x 1 s b s = 1 s x s
299 298 sumeq2sdv b = x s 𝒫 y z 1 s b s = s 𝒫 y z 1 s x s
300 295 299 eqeq12d b = x b b y z = s 𝒫 y z 1 s b s x x y z = s 𝒫 y z 1 s x s
301 300 cbvralvw b Fin b b y z = s 𝒫 y z 1 s b s x Fin x x y z = s 𝒫 y z 1 s x s
302 292 301 syl6ibr y Fin ¬ z y b Fin b b y = s 𝒫 y 1 s b s b Fin b b y z = s 𝒫 y z 1 s b s
303 16 24 37 45 65 302 findcard2s A Fin b Fin b b A = s 𝒫 A 1 s b s
304 fveq2 b = B b = B
305 ineq1 b = B b A = B A
306 305 fveq2d b = B b A = B A
307 304 306 oveq12d b = B b b A = B B A
308 simpl b = B s 𝒫 A b = B
309 308 ineq1d b = B s 𝒫 A b s = B s
310 309 fveq2d b = B s 𝒫 A b s = B s
311 310 oveq2d b = B s 𝒫 A 1 s b s = 1 s B s
312 311 sumeq2dv b = B s 𝒫 A 1 s b s = s 𝒫 A 1 s B s
313 307 312 eqeq12d b = B b b A = s 𝒫 A 1 s b s B B A = s 𝒫 A 1 s B s
314 313 rspccva b Fin b b A = s 𝒫 A 1 s b s B Fin B B A = s 𝒫 A 1 s B s
315 303 314 sylan A Fin B Fin B B A = s 𝒫 A 1 s B s