Theorem invisoinvr

Description: The inverse of an isomorphism is invers to the isomorphism. (Contributed by AV, 9-Apr-2020)

	Ref	Expression
Hypotheses	invisoinv.b	$$⊢B={\mathrm{Base}}_C$$
	invisoinv.i	$$⊢I=\mathrm{Iso}\left(C\right)$$
	invisoinv.n	$$⊢N=\mathrm{Inv}\left(C\right)$$
	invisoinv.c	$$⊢\phi \to C\in \mathrm{Cat}$$
	invisoinv.x	$$⊢\phi \to X\in B$$
	invisoinv.y	$$⊢\phi \to Y\in B$$
	invisoinv.f	$$⊢\phi \to F\in \left(XIY\right)$$
Assertion	invisoinvr	$$⊢\phi \to F\left(XNY\right)\left(XNY\right)\left(F\right)$$

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		invisoinv.b	$$⊢B={\mathrm{Base}}_C$$
2		invisoinv.i	$$⊢I=\mathrm{Iso}\left(C\right)$$
3		invisoinv.n	$$⊢N=\mathrm{Inv}\left(C\right)$$
4		invisoinv.c	$$⊢\phi \to C\in \mathrm{Cat}$$
5		invisoinv.x	$$⊢\phi \to X\in B$$
6		invisoinv.y	$$⊢\phi \to Y\in B$$
7		invisoinv.f	$$⊢\phi \to F\in \left(XIY\right)$$
8	1 2 3 4 5 6 7	invisoinvl	$$⊢\phi \to \left(XNY\right)\left(F\right)\left(YNX\right)F$$
9	1 3 4 5 6	invsym	$$⊢\phi \to \left(F\left(XNY\right)\left(XNY\right)\left(F\right)\leftrightarrow \left(XNY\right)\left(F\right)\left(YNX\right)F\right)$$
10	8 9	mpbird	$$⊢\phi \to F\left(XNY\right)\left(XNY\right)\left(F\right)$$