lncom

Description: Swapping the points defining a line keeps it unchanged. Part of Theorem 4.11 of Schwabhauser p. 34. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Apr-2019)

	Ref	Expression
Hypotheses	btwnlng1.p	$⊢ P = {Base}_{G}$
	btwnlng1.i	$⊢ I = Itv (G)$
	btwnlng1.l	$⊢ L = {Line}_{𝒢} (G)$
	btwnlng1.g	$⊢ φ \to G \in 𝒢_{Tarski}$
	btwnlng1.x	$⊢ φ \to X \in P$
	btwnlng1.y	$⊢ φ \to Y \in P$
	btwnlng1.z	$⊢ φ \to Z \in P$
	btwnlng1.d	$⊢ φ \to X \neq Y$
	lncom.1	$⊢ φ \to Z \in (Y L X)$
Assertion	lncom	$⊢ φ \to Z \in (X L Y)$

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		btwnlng1.p	$⊢ P = {Base}_{G}$
2		btwnlng1.i	$⊢ I = Itv (G)$
3		btwnlng1.l	$⊢ L = {Line}_{𝒢} (G)$
4		btwnlng1.g	$⊢ φ \to G \in 𝒢_{Tarski}$
5		btwnlng1.x	$⊢ φ \to X \in P$
6		btwnlng1.y	$⊢ φ \to Y \in P$
7		btwnlng1.z	$⊢ φ \to Z \in P$
8		btwnlng1.d	$⊢ φ \to X \neq Y$
9		lncom.1	$⊢ φ \to Z \in (Y L X)$
10		3orcomb	$⊢ (Z \in (X I Y) \lor X \in (Z I Y) \lor Y \in (X I Z)) \leftrightarrow (Z \in (X I Y) \lor Y \in (X I Z) \lor X \in (Z I Y))$
11		eqid	$⊢ dist (G) = dist (G)$
12	1 11 2 4 5 7 6	tgbtwncomb	$⊢ φ \to (Z \in (X I Y) \leftrightarrow Z \in (Y I X))$
13	1 11 2 4 5 6 7	tgbtwncomb	$⊢ φ \to (Y \in (X I Z) \leftrightarrow Y \in (Z I X))$
14	1 11 2 4 7 5 6	tgbtwncomb	$⊢ φ \to (X \in (Z I Y) \leftrightarrow X \in (Y I Z))$
15	12 13 14	3orbi123d	$⊢ φ \to ((Z \in (X I Y) \lor Y \in (X I Z) \lor X \in (Z I Y)) \leftrightarrow (Z \in (Y I X) \lor Y \in (Z I X) \lor X \in (Y I Z)))$
16	10 15	bitrid	$⊢ φ \to ((Z \in (X I Y) \lor X \in (Z I Y) \lor Y \in (X I Z)) \leftrightarrow (Z \in (Y I X) \lor Y \in (Z I X) \lor X \in (Y I Z)))$
17	1 3 2 4 5 6 8 7	tgellng	$⊢ φ \to (Z \in (X L Y) \leftrightarrow (Z \in (X I Y) \lor X \in (Z I Y) \lor Y \in (X I Z)))$
18	8	necomd	$⊢ φ \to Y \neq X$
19	1 3 2 4 6 5 18 7	tgellng	$⊢ φ \to (Z \in (Y L X) \leftrightarrow (Z \in (Y I X) \lor Y \in (Z I X) \lor X \in (Y I Z)))$
20	16 17 19	3bitr4d	$⊢ φ \to (Z \in (X L Y) \leftrightarrow Z \in (Y L X))$
21	9 20	mpbird	$⊢ φ \to Z \in (X L Y)$

Metamath Proof Explorer

Theorem lncom

Proof