Theorem lplni2

Description: The join of 3 different atoms is a lattice plane. (Contributed by NM, 4-Jul-2012)

	Ref	Expression
Hypotheses	lplni2.l	$$⊢\underset{\dot{}}{\le }={\le }_K$$
	lplni2.j	$$⊢\underset{\dot{}}{\vee }=\mathrm{join}\left(K\right)$$
	lplni2.a	$$⊢A=\mathrm{Atoms}\left(K\right)$$
	lplni2.p	$$⊢P=\mathrm{LPlanes}\left(K\right)$$
Assertion	lplni2	$$⊢\left(K\in \mathrm{HL}\wedge \left(Q\in A\wedge R\in A\wedge S\in A\right)\wedge \left(Q\ne R\wedge \neg S\underset{\dot{}}{\le }\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\right)\right)\to \left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\underset{\dot{}}{\vee }S\in P$$

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lplni2.l	$$⊢\underset{\dot{}}{\le }={\le }_K$$
2		lplni2.j	$$⊢\underset{\dot{}}{\vee }=\mathrm{join}\left(K\right)$$
3		lplni2.a	$$⊢A=\mathrm{Atoms}\left(K\right)$$
4		lplni2.p	$$⊢P=\mathrm{LPlanes}\left(K\right)$$
5		simp2	$$⊢\left(K\in \mathrm{HL}\wedge \left(Q\in A\wedge R\in A\wedge S\in A\right)\wedge \left(Q\ne R\wedge \neg S\underset{\dot{}}{\le }\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\right)\right)\to \left(Q\in A\wedge R\in A\wedge S\in A\right)$$
6		simp3l	$$⊢\left(K\in \mathrm{HL}\wedge \left(Q\in A\wedge R\in A\wedge S\in A\right)\wedge \left(Q\ne R\wedge \neg S\underset{\dot{}}{\le }\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\right)\right)\to Q\ne R$$
7		simp3r	$$⊢\left(K\in \mathrm{HL}\wedge \left(Q\in A\wedge R\in A\wedge S\in A\right)\wedge \left(Q\ne R\wedge \neg S\underset{\dot{}}{\le }\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\right)\right)\to \neg S\underset{\dot{}}{\le }\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)$$
8		eqidd	$$⊢\left(K\in \mathrm{HL}\wedge \left(Q\in A\wedge R\in A\wedge S\in A\right)\wedge \left(Q\ne R\wedge \neg S\underset{\dot{}}{\le }\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\right)\right)\to \left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\underset{\dot{}}{\vee }S=\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\underset{\dot{}}{\vee }S$$
9		neeq1	$$⊢q=Q\to \left(q\ne r\leftrightarrow Q\ne r\right)$$
10		oveq1	$$⊢q=Q\to q\underset{\dot{}}{\vee }r=Q\underset{\dot{}}{\vee }r$$
11	10	breq2d	$$⊢q=Q\to \left(s\underset{\dot{}}{\le }\left(q\underset{\dot{}}{\vee }r\right)\leftrightarrow s\underset{\dot{}}{\le }\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }r\right)\right)$$
12	11	notbid	$$⊢q=Q\to \left(\neg s\underset{\dot{}}{\le }\left(q\underset{\dot{}}{\vee }r\right)\leftrightarrow \neg s\underset{\dot{}}{\le }\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }r\right)\right)$$
13	10	oveq1d	$$⊢q=Q\to \left(q\underset{\dot{}}{\vee }r\right)\underset{\dot{}}{\vee }s=\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }r\right)\underset{\dot{}}{\vee }s$$
14	13	eqeq2d	$$⊢q=Q\to \left(\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\underset{\dot{}}{\vee }S=\left(q\underset{\dot{}}{\vee }r\right)\underset{\dot{}}{\vee }s\leftrightarrow \left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\underset{\dot{}}{\vee }S=\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }r\right)\underset{\dot{}}{\vee }s\right)$$
15	9 12 14	3anbi123d	$$⊢q=Q\to \left(\left(q\ne r\wedge \neg s\underset{\dot{}}{\le }\left(q\underset{\dot{}}{\vee }r\right)\wedge \left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\underset{\dot{}}{\vee }S=\left(q\underset{\dot{}}{\vee }r\right)\underset{\dot{}}{\vee }s\right)\leftrightarrow \left(Q\ne r\wedge \neg s\underset{\dot{}}{\le }\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }r\right)\wedge \left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\underset{\dot{}}{\vee }S=\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }r\right)\underset{\dot{}}{\vee }s\right)\right)$$
16		neeq2	$$⊢r=R\to \left(Q\ne r\leftrightarrow Q\ne R\right)$$
17		oveq2	$$⊢r=R\to Q\underset{\dot{}}{\vee }r=Q\underset{\dot{}}{\vee }R$$
18	17	breq2d	$$⊢r=R\to \left(s\underset{\dot{}}{\le }\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }r\right)\leftrightarrow s\underset{\dot{}}{\le }\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\right)$$
19	18	notbid	$$⊢r=R\to \left(\neg s\underset{\dot{}}{\le }\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }r\right)\leftrightarrow \neg s\underset{\dot{}}{\le }\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\right)$$
20	17	oveq1d	$$⊢r=R\to \left(Q\underset{\dot{}}{\vee }r\right)\underset{\dot{}}{\vee }s=\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\underset{\dot{}}{\vee }s$$
21	20	eqeq2d	$$⊢r=R\to \left(\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\underset{\dot{}}{\vee }S=\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }r\right)\underset{\dot{}}{\vee }s\leftrightarrow \left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\underset{\dot{}}{\vee }S=\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\underset{\dot{}}{\vee }s\right)$$
22	16 19 21	3anbi123d	$$⊢r=R\to \left(\left(Q\ne r\wedge \neg s\underset{\dot{}}{\le }\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }r\right)\wedge \left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\underset{\dot{}}{\vee }S=\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }r\right)\underset{\dot{}}{\vee }s\right)\leftrightarrow \left(Q\ne R\wedge \neg s\underset{\dot{}}{\le }\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\wedge \left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\underset{\dot{}}{\vee }S=\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\underset{\dot{}}{\vee }s\right)\right)$$
23		breq1	$$⊢s=S\to \left(s\underset{\dot{}}{\le }\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\leftrightarrow S\underset{\dot{}}{\le }\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\right)$$
24	23	notbid	$$⊢s=S\to \left(\neg s\underset{\dot{}}{\le }\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\leftrightarrow \neg S\underset{\dot{}}{\le }\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\right)$$
25		oveq2	$$⊢s=S\to \left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\underset{\dot{}}{\vee }s=\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\underset{\dot{}}{\vee }S$$
26	25	eqeq2d	$$⊢s=S\to \left(\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\underset{\dot{}}{\vee }S=\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\underset{\dot{}}{\vee }s\leftrightarrow \left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\underset{\dot{}}{\vee }S=\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\underset{\dot{}}{\vee }S\right)$$
27	24 26	3anbi23d	$$⊢s=S\to \left(\left(Q\ne R\wedge \neg s\underset{\dot{}}{\le }\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\wedge \left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\underset{\dot{}}{\vee }S=\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\underset{\dot{}}{\vee }s\right)\leftrightarrow \left(Q\ne R\wedge \neg S\underset{\dot{}}{\le }\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\wedge \left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\underset{\dot{}}{\vee }S=\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\underset{\dot{}}{\vee }S\right)\right)$$
28	15 22 27	rspc3ev	$$⊢\left(\left(Q\in A\wedge R\in A\wedge S\in A\right)\wedge \left(Q\ne R\wedge \neg S\underset{\dot{}}{\le }\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\wedge \left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\underset{\dot{}}{\vee }S=\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\underset{\dot{}}{\vee }S\right)\right)\to \exists q\in A\exists r\in A\exists s\in A\left(q\ne r\wedge \neg s\underset{\dot{}}{\le }\left(q\underset{\dot{}}{\vee }r\right)\wedge \left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\underset{\dot{}}{\vee }S=\left(q\underset{\dot{}}{\vee }r\right)\underset{\dot{}}{\vee }s\right)$$
29	5 6 7 8 28	syl13anc	$$⊢\left(K\in \mathrm{HL}\wedge \left(Q\in A\wedge R\in A\wedge S\in A\right)\wedge \left(Q\ne R\wedge \neg S\underset{\dot{}}{\le }\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\right)\right)\to \exists q\in A\exists r\in A\exists s\in A\left(q\ne r\wedge \neg s\underset{\dot{}}{\le }\left(q\underset{\dot{}}{\vee }r\right)\wedge \left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\underset{\dot{}}{\vee }S=\left(q\underset{\dot{}}{\vee }r\right)\underset{\dot{}}{\vee }s\right)$$
30		simp1	$$⊢\left(K\in \mathrm{HL}\wedge \left(Q\in A\wedge R\in A\wedge S\in A\right)\wedge \left(Q\ne R\wedge \neg S\underset{\dot{}}{\le }\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\right)\right)\to K\in \mathrm{HL}$$
31		hllat	$$⊢K\in \mathrm{HL}\to K\in \mathrm{Lat}$$
32	31	3ad2ant1	$$⊢\left(K\in \mathrm{HL}\wedge \left(Q\in A\wedge R\in A\wedge S\in A\right)\wedge \left(Q\ne R\wedge \neg S\underset{\dot{}}{\le }\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\right)\right)\to K\in \mathrm{Lat}$$
33		simp21	$$⊢\left(K\in \mathrm{HL}\wedge \left(Q\in A\wedge R\in A\wedge S\in A\right)\wedge \left(Q\ne R\wedge \neg S\underset{\dot{}}{\le }\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\right)\right)\to Q\in A$$
34		simp22	$$⊢\left(K\in \mathrm{HL}\wedge \left(Q\in A\wedge R\in A\wedge S\in A\right)\wedge \left(Q\ne R\wedge \neg S\underset{\dot{}}{\le }\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\right)\right)\to R\in A$$
35		eqid	$$⊢{\mathrm{Base}}_K={\mathrm{Base}}_K$$
36	35 2 3	hlatjcl	$$⊢\left(K\in \mathrm{HL}\wedge Q\in A\wedge R\in A\right)\to Q\underset{\dot{}}{\vee }R\in {\mathrm{Base}}_K$$
37	30 33 34 36	syl3anc	$$⊢\left(K\in \mathrm{HL}\wedge \left(Q\in A\wedge R\in A\wedge S\in A\right)\wedge \left(Q\ne R\wedge \neg S\underset{\dot{}}{\le }\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\right)\right)\to Q\underset{\dot{}}{\vee }R\in {\mathrm{Base}}_K$$
38		simp23	$$⊢\left(K\in \mathrm{HL}\wedge \left(Q\in A\wedge R\in A\wedge S\in A\right)\wedge \left(Q\ne R\wedge \neg S\underset{\dot{}}{\le }\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\right)\right)\to S\in A$$
39	35 3	atbase	$$⊢S\in A\to S\in {\mathrm{Base}}_K$$
40	38 39	syl	$$⊢\left(K\in \mathrm{HL}\wedge \left(Q\in A\wedge R\in A\wedge S\in A\right)\wedge \left(Q\ne R\wedge \neg S\underset{\dot{}}{\le }\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\right)\right)\to S\in {\mathrm{Base}}_K$$
41	35 2	latjcl	$$⊢\left(K\in \mathrm{Lat}\wedge Q\underset{\dot{}}{\vee }R\in {\mathrm{Base}}_K\wedge S\in {\mathrm{Base}}_K\right)\to \left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\underset{\dot{}}{\vee }S\in {\mathrm{Base}}_K$$
42	32 37 40 41	syl3anc	$$⊢\left(K\in \mathrm{HL}\wedge \left(Q\in A\wedge R\in A\wedge S\in A\right)\wedge \left(Q\ne R\wedge \neg S\underset{\dot{}}{\le }\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\right)\right)\to \left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\underset{\dot{}}{\vee }S\in {\mathrm{Base}}_K$$
43	35 1 2 3 4	islpln5	$$⊢\left(K\in \mathrm{HL}\wedge \left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\underset{\dot{}}{\vee }S\in {\mathrm{Base}}_K\right)\to \left(\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\underset{\dot{}}{\vee }S\in P\leftrightarrow \exists q\in A\exists r\in A\exists s\in A\left(q\ne r\wedge \neg s\underset{\dot{}}{\le }\left(q\underset{\dot{}}{\vee }r\right)\wedge \left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\underset{\dot{}}{\vee }S=\left(q\underset{\dot{}}{\vee }r\right)\underset{\dot{}}{\vee }s\right)\right)$$
44	30 42 43	syl2anc	$$⊢\left(K\in \mathrm{HL}\wedge \left(Q\in A\wedge R\in A\wedge S\in A\right)\wedge \left(Q\ne R\wedge \neg S\underset{\dot{}}{\le }\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\right)\right)\to \left(\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\underset{\dot{}}{\vee }S\in P\leftrightarrow \exists q\in A\exists r\in A\exists s\in A\left(q\ne r\wedge \neg s\underset{\dot{}}{\le }\left(q\underset{\dot{}}{\vee }r\right)\wedge \left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\underset{\dot{}}{\vee }S=\left(q\underset{\dot{}}{\vee }r\right)\underset{\dot{}}{\vee }s\right)\right)$$
45	29 44	mpbird	$$⊢\left(K\in \mathrm{HL}\wedge \left(Q\in A\wedge R\in A\wedge S\in A\right)\wedge \left(Q\ne R\wedge \neg S\underset{\dot{}}{\le }\left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\right)\right)\to \left(Q\underset{\dot{}}{\vee }R\right)\underset{\dot{}}{\vee }S\in P$$