Theorem ltadd12dd

Description: Addition to both sides of 'less than'. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020)

	Ref	Expression
Hypotheses	ltadd12dd.a	$$⊢\phi \to A\in ℝ$$
	ltadd12dd.b	$$⊢\phi \to B\in ℝ$$
	ltadd12dd.c	$$⊢\phi \to C\in ℝ$$
	ltadd12dd.d	$$⊢\phi \to D\in ℝ$$
	ltadd12dd.ac	$$⊢\phi \to A<C$$
	ltadd12dd.bd	$$⊢\phi \to B<D$$
Assertion	ltadd12dd	$$⊢\phi \to A+B<C+D$$

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltadd12dd.a	$$⊢\phi \to A\in ℝ$$
2		ltadd12dd.b	$$⊢\phi \to B\in ℝ$$
3		ltadd12dd.c	$$⊢\phi \to C\in ℝ$$
4		ltadd12dd.d	$$⊢\phi \to D\in ℝ$$
5		ltadd12dd.ac	$$⊢\phi \to A<C$$
6		ltadd12dd.bd	$$⊢\phi \to B<D$$
7	1 2	readdcld	$$⊢\phi \to A+B\in ℝ$$
8	3 2	readdcld	$$⊢\phi \to C+B\in ℝ$$
9	3 4	readdcld	$$⊢\phi \to C+D\in ℝ$$
10	1 3 2 5	ltadd1dd	$$⊢\phi \to A+B<C+B$$
11	2 4 3 6	ltadd2dd	$$⊢\phi \to C+B<C+D$$
12	7 8 9 10 11	lttrd	$$⊢\phi \to A+B<C+D$$