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Theorem mplcoe5lem

Description: Lemma for mplcoe4 . (Contributed by AV, 7-Oct-2019)

Ref Expression
Hypotheses mplcoe1.p P = I mPoly R
mplcoe1.d D = f 0 I | f -1 Fin
mplcoe1.z 0 ˙ = 0 R
mplcoe1.o 1 ˙ = 1 R
mplcoe1.i φ I W
mplcoe2.g G = mulGrp P
mplcoe2.m × ˙ = G
mplcoe2.v V = I mVar R
mplcoe5.r φ R Ring
mplcoe5.y φ Y D
mplcoe5.c φ x I y I V y + G V x = V x + G V y
mplcoe5.s φ S I
Assertion mplcoe5lem φ ran k S Y k × ˙ V k Cntz G ran k S Y k × ˙ V k

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 mplcoe1.p P = I mPoly R
2 mplcoe1.d D = f 0 I | f -1 Fin
3 mplcoe1.z 0 ˙ = 0 R
4 mplcoe1.o 1 ˙ = 1 R
5 mplcoe1.i φ I W
6 mplcoe2.g G = mulGrp P
7 mplcoe2.m × ˙ = G
8 mplcoe2.v V = I mVar R
9 mplcoe5.r φ R Ring
10 mplcoe5.y φ Y D
11 mplcoe5.c φ x I y I V y + G V x = V x + G V y
12 mplcoe5.s φ S I
13 vex x V
14 eqid k S Y k × ˙ V k = k S Y k × ˙ V k
15 14 elrnmpt x V x ran k S Y k × ˙ V k k S x = Y k × ˙ V k
16 13 15 mp1i φ x ran k S Y k × ˙ V k k S x = Y k × ˙ V k
17 vex y V
18 14 elrnmpt y V y ran k S Y k × ˙ V k k S y = Y k × ˙ V k
19 17 18 mp1i φ y ran k S Y k × ˙ V k k S y = Y k × ˙ V k
20 fveq2 k = l Y k = Y l
21 fveq2 k = l V k = V l
22 20 21 oveq12d k = l Y k × ˙ V k = Y l × ˙ V l
23 22 eqeq2d k = l y = Y k × ˙ V k y = Y l × ˙ V l
24 23 cbvrexvw k S y = Y k × ˙ V k l S y = Y l × ˙ V l
25 eqid Base P = Base P
26 eqid P = P
27 6 26 mgpplusg P = + G
28 27 eqcomi + G = P
29 1 mplring I W R Ring P Ring
30 5 9 29 syl2anc φ P Ring
31 ringsrg P Ring P SRing
32 30 31 syl φ P SRing
33 32 adantr φ l S P SRing
34 33 adantr φ l S k S P SRing
35 6 25 mgpbas Base P = Base G
36 6 ringmgp P Ring G Mnd
37 30 36 syl φ G Mnd
38 37 adantr φ l S G Mnd
39 12 sseld φ l S l I
40 39 imdistani φ l S φ l I
41 2 psrbag I W Y D Y : I 0 Y -1 Fin
42 5 41 syl φ Y D Y : I 0 Y -1 Fin
43 10 42 mpbid φ Y : I 0 Y -1 Fin
44 43 simpld φ Y : I 0
45 44 ffvelcdmda φ l I Y l 0
46 40 45 syl φ l S Y l 0
47 5 adantr φ l S I W
48 9 adantr φ l S R Ring
49 12 sselda φ l S l I
50 1 8 25 47 48 49 mvrcl φ l S V l Base P
51 35 7 38 46 50 mulgnn0cld φ l S Y l × ˙ V l Base P
52 51 adantr φ l S k S Y l × ˙ V l Base P
53 5 adantr φ k S I W
54 9 adantr φ k S R Ring
55 12 sselda φ k S k I
56 1 8 25 53 54 55 mvrcl φ k S V k Base P
57 56 adantlr φ l S k S V k Base P
58 44 ffvelcdmda φ k I Y k 0
59 55 58 syldan φ k S Y k 0
60 59 adantlr φ l S k S Y k 0
61 50 adantr φ l S k S V l Base P
62 46 adantr φ l S k S Y l 0
63 fveq2 x = l V x = V l
64 63 oveq2d x = l V y + G V x = V y + G V l
65 63 oveq1d x = l V x + G V y = V l + G V y
66 64 65 eqeq12d x = l V y + G V x = V x + G V y V y + G V l = V l + G V y
67 fveq2 y = k V y = V k
68 67 oveq1d y = k V y + G V l = V k + G V l
69 67 oveq2d y = k V l + G V y = V l + G V k
70 68 69 eqeq12d y = k V y + G V l = V l + G V y V k + G V l = V l + G V k
71 66 70 rspc2v l I k I x I y I V y + G V x = V x + G V y V k + G V l = V l + G V k
72 49 55 anim12dan φ l S k S l I k I
73 71 72 syl11 x I y I V y + G V x = V x + G V y φ l S k S V k + G V l = V l + G V k
74 73 expd x I y I V y + G V x = V x + G V y φ l S k S V k + G V l = V l + G V k
75 11 74 mpcom φ l S k S V k + G V l = V l + G V k
76 75 impl φ l S k S V k + G V l = V l + G V k
77 25 28 6 7 34 57 61 62 76 srgpcomp φ l S k S Y l × ˙ V l + G V k = V k + G Y l × ˙ V l
78 25 28 6 7 34 52 57 60 77 srgpcomp φ l S k S Y k × ˙ V k + G Y l × ˙ V l = Y l × ˙ V l + G Y k × ˙ V k
79 oveq12 x = Y k × ˙ V k y = Y l × ˙ V l x + G y = Y k × ˙ V k + G Y l × ˙ V l
80 oveq12 y = Y l × ˙ V l x = Y k × ˙ V k y + G x = Y l × ˙ V l + G Y k × ˙ V k
81 80 ancoms x = Y k × ˙ V k y = Y l × ˙ V l y + G x = Y l × ˙ V l + G Y k × ˙ V k
82 79 81 eqeq12d x = Y k × ˙ V k y = Y l × ˙ V l x + G y = y + G x Y k × ˙ V k + G Y l × ˙ V l = Y l × ˙ V l + G Y k × ˙ V k
83 78 82 syl5ibrcom φ l S k S x = Y k × ˙ V k y = Y l × ˙ V l x + G y = y + G x
84 83 expd φ l S k S x = Y k × ˙ V k y = Y l × ˙ V l x + G y = y + G x
85 84 rexlimdva φ l S k S x = Y k × ˙ V k y = Y l × ˙ V l x + G y = y + G x
86 85 com23 φ l S y = Y l × ˙ V l k S x = Y k × ˙ V k x + G y = y + G x
87 86 rexlimdva φ l S y = Y l × ˙ V l k S x = Y k × ˙ V k x + G y = y + G x
88 24 87 biimtrid φ k S y = Y k × ˙ V k k S x = Y k × ˙ V k x + G y = y + G x
89 19 88 sylbid φ y ran k S Y k × ˙ V k k S x = Y k × ˙ V k x + G y = y + G x
90 89 com23 φ k S x = Y k × ˙ V k y ran k S Y k × ˙ V k x + G y = y + G x
91 16 90 sylbid φ x ran k S Y k × ˙ V k y ran k S Y k × ˙ V k x + G y = y + G x
92 91 imp32 φ x ran k S Y k × ˙ V k y ran k S Y k × ˙ V k x + G y = y + G x
93 92 ralrimivva φ x ran k S Y k × ˙ V k y ran k S Y k × ˙ V k x + G y = y + G x
94 eqid Base G = Base G
95 37 adantr φ k S G Mnd
96 12 sseld φ k S k I
97 96 imdistani φ k S φ k I
98 97 58 syl φ k S Y k 0
99 56 35 eleqtrdi φ k S V k Base G
100 94 7 95 98 99 mulgnn0cld φ k S Y k × ˙ V k Base G
101 100 fmpttd φ k S Y k × ˙ V k : S Base G
102 101 frnd φ ran k S Y k × ˙ V k Base G
103 eqid + G = + G
104 eqid Cntz G = Cntz G
105 94 103 104 sscntz ran k S Y k × ˙ V k Base G ran k S Y k × ˙ V k Base G ran k S Y k × ˙ V k Cntz G ran k S Y k × ˙ V k x ran k S Y k × ˙ V k y ran k S Y k × ˙ V k x + G y = y + G x
106 102 102 105 syl2anc φ ran k S Y k × ˙ V k Cntz G ran k S Y k × ˙ V k x ran k S Y k × ˙ V k y ran k S Y k × ˙ V k x + G y = y + G x
107 93 106 mpbird φ ran k S Y k × ˙ V k Cntz G ran k S Y k × ˙ V k