Metamath Proof Explorer

Theorem oplecon1b

Description: Contraposition law for strict ordering in orthoposets. ( chsscon1 analog.) (Contributed by NM, 6-Nov-2011)

Ref Expression
Hypotheses opcon3.b ⊢ B = Base K
opcon3.l ⊢ ≤ ˙ = ≤ K
opcon3.o ⊢ ⊥ ˙ = oc ⁡ K
Assertion oplecon1b ⊢ K ∈ OP ∧ X ∈ B ∧ Y ∈ B → ⊥ ˙ ⁡ X ≤ ˙ Y ↔ ⊥ ˙ ⁡ Y ≤ ˙ X

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 opcon3.b ⊢ B = Base K
2 opcon3.l ⊢ ≤ ˙ = ≤ K
3 opcon3.o ⊢ ⊥ ˙ = oc ⁡ K
4 1 3 opoccl ⊢ K ∈ OP ∧ X ∈ B → ⊥ ˙ ⁡ X ∈ B
5 4 3adant3 ⊢ K ∈ OP ∧ X ∈ B ∧ Y ∈ B → ⊥ ˙ ⁡ X ∈ B
6 1 2 3 oplecon3b ⊢ K ∈ OP ∧ ⊥ ˙ ⁡ X ∈ B ∧ Y ∈ B → ⊥ ˙ ⁡ X ≤ ˙ Y ↔ ⊥ ˙ ⁡ Y ≤ ˙ ⊥ ˙ ⁡ ⊥ ˙ ⁡ X
7 5 6 syld3an2 ⊢ K ∈ OP ∧ X ∈ B ∧ Y ∈ B → ⊥ ˙ ⁡ X ≤ ˙ Y ↔ ⊥ ˙ ⁡ Y ≤ ˙ ⊥ ˙ ⁡ ⊥ ˙ ⁡ X
8 1 3 opococ ⊢ K ∈ OP ∧ X ∈ B → ⊥ ˙ ⁡ ⊥ ˙ ⁡ X = X
9 8 3adant3 ⊢ K ∈ OP ∧ X ∈ B ∧ Y ∈ B → ⊥ ˙ ⁡ ⊥ ˙ ⁡ X = X
10 9 breq2d ⊢ K ∈ OP ∧ X ∈ B ∧ Y ∈ B → ⊥ ˙ ⁡ Y ≤ ˙ ⊥ ˙ ⁡ ⊥ ˙ ⁡ X ↔ ⊥ ˙ ⁡ Y ≤ ˙ X
11 7 10 bitrd ⊢ K ∈ OP ∧ X ∈ B ∧ Y ∈ B → ⊥ ˙ ⁡ X ≤ ˙ Y ↔ ⊥ ˙ ⁡ Y ≤ ˙ X