Metamath Proof Explorer

Theorem opltcon1b

Description: Contraposition law for strict ordering in orthoposets. ( chpsscon1 analog.) (Contributed by NM, 5-Nov-2011)

Ref Expression
Hypotheses opltcon3.b ⊢ B = Base K
opltcon3.s ⊢ < ˙ = < K
opltcon3.o ⊢ ⊥ ˙ = oc ⁡ K
Assertion opltcon1b ⊢ K ∈ OP ∧ X ∈ B ∧ Y ∈ B → ⊥ ˙ ⁡ X < ˙ Y ↔ ⊥ ˙ ⁡ Y < ˙ X

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 opltcon3.b ⊢ B = Base K
2 opltcon3.s ⊢ < ˙ = < K
3 opltcon3.o ⊢ ⊥ ˙ = oc ⁡ K
4 1 3 opoccl ⊢ K ∈ OP ∧ X ∈ B → ⊥ ˙ ⁡ X ∈ B
5 4 3adant3 ⊢ K ∈ OP ∧ X ∈ B ∧ Y ∈ B → ⊥ ˙ ⁡ X ∈ B
6 1 2 3 opltcon3b ⊢ K ∈ OP ∧ ⊥ ˙ ⁡ X ∈ B ∧ Y ∈ B → ⊥ ˙ ⁡ X < ˙ Y ↔ ⊥ ˙ ⁡ Y < ˙ ⊥ ˙ ⁡ ⊥ ˙ ⁡ X
7 5 6 syld3an2 ⊢ K ∈ OP ∧ X ∈ B ∧ Y ∈ B → ⊥ ˙ ⁡ X < ˙ Y ↔ ⊥ ˙ ⁡ Y < ˙ ⊥ ˙ ⁡ ⊥ ˙ ⁡ X
8 1 3 opococ ⊢ K ∈ OP ∧ X ∈ B → ⊥ ˙ ⁡ ⊥ ˙ ⁡ X = X
9 8 3adant3 ⊢ K ∈ OP ∧ X ∈ B ∧ Y ∈ B → ⊥ ˙ ⁡ ⊥ ˙ ⁡ X = X
10 9 breq2d ⊢ K ∈ OP ∧ X ∈ B ∧ Y ∈ B → ⊥ ˙ ⁡ Y < ˙ ⊥ ˙ ⁡ ⊥ ˙ ⁡ X ↔ ⊥ ˙ ⁡ Y < ˙ X
11 7 10 bitrd ⊢ K ∈ OP ∧ X ∈ B ∧ Y ∈ B → ⊥ ˙ ⁡ X < ˙ Y ↔ ⊥ ˙ ⁡ Y < ˙ X