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Theorem opltcon2b

Description: Contraposition law for strict ordering in orthoposets. ( chsscon2 analog.) (Contributed by NM, 5-Nov-2011)

Ref Expression
Hypotheses opltcon3.b ⊢ B = Base K
opltcon3.s ⊢ < ˙ = < K
opltcon3.o ⊢ ⊥ ˙ = oc ⁡ K
Assertion opltcon2b ⊢ K ∈ OP ∧ X ∈ B ∧ Y ∈ B → X < ˙ ⊥ ˙ ⁡ Y ↔ Y < ˙ ⊥ ˙ ⁡ X

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 opltcon3.b ⊢ B = Base K
2 opltcon3.s ⊢ < ˙ = < K
3 opltcon3.o ⊢ ⊥ ˙ = oc ⁡ K
4 1 3 opoccl ⊢ K ∈ OP ∧ Y ∈ B → ⊥ ˙ ⁡ Y ∈ B
5 4 3adant2 ⊢ K ∈ OP ∧ X ∈ B ∧ Y ∈ B → ⊥ ˙ ⁡ Y ∈ B
6 1 2 3 opltcon3b ⊢ K ∈ OP ∧ X ∈ B ∧ ⊥ ˙ ⁡ Y ∈ B → X < ˙ ⊥ ˙ ⁡ Y ↔ ⊥ ˙ ⁡ ⊥ ˙ ⁡ Y < ˙ ⊥ ˙ ⁡ X
7 5 6 syld3an3 ⊢ K ∈ OP ∧ X ∈ B ∧ Y ∈ B → X < ˙ ⊥ ˙ ⁡ Y ↔ ⊥ ˙ ⁡ ⊥ ˙ ⁡ Y < ˙ ⊥ ˙ ⁡ X
8 1 3 opococ ⊢ K ∈ OP ∧ Y ∈ B → ⊥ ˙ ⁡ ⊥ ˙ ⁡ Y = Y
9 8 3adant2 ⊢ K ∈ OP ∧ X ∈ B ∧ Y ∈ B → ⊥ ˙ ⁡ ⊥ ˙ ⁡ Y = Y
10 9 breq1d ⊢ K ∈ OP ∧ X ∈ B ∧ Y ∈ B → ⊥ ˙ ⁡ ⊥ ˙ ⁡ Y < ˙ ⊥ ˙ ⁡ X ↔ Y < ˙ ⊥ ˙ ⁡ X
11 7 10 bitrd ⊢ K ∈ OP ∧ X ∈ B ∧ Y ∈ B → X < ˙ ⊥ ˙ ⁡ Y ↔ Y < ˙ ⊥ ˙ ⁡ X