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Theorem sbc3an

Description: Distribution of class substitution over triple conjunction. (Contributed by NM, 14-Dec-2006) (Revised by NM, 17-Aug-2018)

Ref Expression
Assertion sbc3an ⊢ [˙A / x]˙ φ ∧ ψ ∧ χ ↔ [˙A / x]˙ φ ∧ [˙A / x]˙ ψ ∧ [˙A / x]˙ χ

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 df-3an ⊢ φ ∧ ψ ∧ χ ↔ φ ∧ ψ ∧ χ
2 1 sbcbii ⊢ [˙A / x]˙ φ ∧ ψ ∧ χ ↔ [˙A / x]˙ φ ∧ ψ ∧ χ
3 sbcan ⊢ [˙A / x]˙ φ ∧ ψ ∧ χ ↔ [˙A / x]˙ φ ∧ ψ ∧ [˙A / x]˙ χ
4 sbcan ⊢ [˙A / x]˙ φ ∧ ψ ↔ [˙A / x]˙ φ ∧ [˙A / x]˙ ψ
5 4 anbi1i ⊢ [˙A / x]˙ φ ∧ ψ ∧ [˙A / x]˙ χ ↔ [˙A / x]˙ φ ∧ [˙A / x]˙ ψ ∧ [˙A / x]˙ χ
6 2 3 5 3bitri ⊢ [˙A / x]˙ φ ∧ ψ ∧ χ ↔ [˙A / x]˙ φ ∧ [˙A / x]˙ ψ ∧ [˙A / x]˙ χ
7 df-3an ⊢ [˙A / x]˙ φ ∧ [˙A / x]˙ ψ ∧ [˙A / x]˙ χ ↔ [˙A / x]˙ φ ∧ [˙A / x]˙ ψ ∧ [˙A / x]˙ χ
8 6 7 bitr4i ⊢ [˙A / x]˙ φ ∧ ψ ∧ χ ↔ [˙A / x]˙ φ ∧ [˙A / x]˙ ψ ∧ [˙A / x]˙ χ