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Theorem sbc3an

Description: Distribution of class substitution over triple conjunction. (Contributed by NM, 14-Dec-2006) (Revised by NM, 17-Aug-2018)

Ref Expression
Assertion sbc3an [˙A / x]˙ φ ψ χ [˙A / x]˙ φ [˙A / x]˙ ψ [˙A / x]˙ χ

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 sbcan [˙A / x]˙ φ ψ χ [˙A / x]˙ φ ψ [˙A / x]˙ χ
2 sbcan [˙A / x]˙ φ ψ [˙A / x]˙ φ [˙A / x]˙ ψ
3 1 2 bianbi [˙A / x]˙ φ ψ χ [˙A / x]˙ φ [˙A / x]˙ ψ [˙A / x]˙ χ
4 df-3an φ ψ χ φ ψ χ
5 4 sbcbii [˙A / x]˙ φ ψ χ [˙A / x]˙ φ ψ χ
6 df-3an [˙A / x]˙ φ [˙A / x]˙ ψ [˙A / x]˙ χ [˙A / x]˙ φ [˙A / x]˙ ψ [˙A / x]˙ χ
7 3 5 6 3bitr4i [˙A / x]˙ φ ψ χ [˙A / x]˙ φ [˙A / x]˙ ψ [˙A / x]˙ χ