Theorem sbccom

Description: Commutative law for double class substitution. (Contributed by NM, 15-Nov-2005) (Proof shortened by Mario Carneiro, 18-Oct-2016)

	Ref	Expression
Assertion	sbccom	$$⊢\underset{\dot{}}{[}A/x\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}B/y\underset{\dot{}}{]}\phi \leftrightarrow \underset{\dot{}}{[}B/y\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}A/x\underset{\dot{}}{]}\phi$$

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sbccomlem	$$⊢\underset{\dot{}}{[}A/z\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}B/w\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}w/y\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}z/x\underset{\dot{}}{]}\phi \leftrightarrow \underset{\dot{}}{[}B/w\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}A/z\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}w/y\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}z/x\underset{\dot{}}{]}\phi$$
2		sbccomlem	$$⊢\underset{\dot{}}{[}w/y\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}z/x\underset{\dot{}}{]}\phi \leftrightarrow \underset{\dot{}}{[}z/x\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}w/y\underset{\dot{}}{]}\phi$$
3	2	sbcbii	$$⊢\underset{\dot{}}{[}B/w\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}w/y\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}z/x\underset{\dot{}}{]}\phi \leftrightarrow \underset{\dot{}}{[}B/w\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}z/x\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}w/y\underset{\dot{}}{]}\phi$$
4		sbccomlem	$$⊢\underset{\dot{}}{[}B/w\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}z/x\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}w/y\underset{\dot{}}{]}\phi \leftrightarrow \underset{\dot{}}{[}z/x\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}B/w\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}w/y\underset{\dot{}}{]}\phi$$
5	3 4	bitri	$$⊢\underset{\dot{}}{[}B/w\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}w/y\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}z/x\underset{\dot{}}{]}\phi \leftrightarrow \underset{\dot{}}{[}z/x\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}B/w\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}w/y\underset{\dot{}}{]}\phi$$
6	5	sbcbii	$$⊢\underset{\dot{}}{[}A/z\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}B/w\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}w/y\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}z/x\underset{\dot{}}{]}\phi \leftrightarrow \underset{\dot{}}{[}A/z\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}z/x\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}B/w\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}w/y\underset{\dot{}}{]}\phi$$
7		sbccomlem	$$⊢\underset{\dot{}}{[}A/z\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}w/y\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}z/x\underset{\dot{}}{]}\phi \leftrightarrow \underset{\dot{}}{[}w/y\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}A/z\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}z/x\underset{\dot{}}{]}\phi$$
8	7	sbcbii	$$⊢\underset{\dot{}}{[}B/w\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}A/z\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}w/y\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}z/x\underset{\dot{}}{]}\phi \leftrightarrow \underset{\dot{}}{[}B/w\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}w/y\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}A/z\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}z/x\underset{\dot{}}{]}\phi$$
9	1 6 8	3bitr3i	$$⊢\underset{\dot{}}{[}A/z\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}z/x\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}B/w\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}w/y\underset{\dot{}}{]}\phi \leftrightarrow \underset{\dot{}}{[}B/w\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}w/y\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}A/z\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}z/x\underset{\dot{}}{]}\phi$$
10		sbccow	$$⊢\underset{\dot{}}{[}A/z\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}z/x\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}B/w\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}w/y\underset{\dot{}}{]}\phi \leftrightarrow \underset{\dot{}}{[}A/x\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}B/w\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}w/y\underset{\dot{}}{]}\phi$$
11		sbccow	$$⊢\underset{\dot{}}{[}B/w\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}w/y\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}A/z\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}z/x\underset{\dot{}}{]}\phi \leftrightarrow \underset{\dot{}}{[}B/y\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}A/z\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}z/x\underset{\dot{}}{]}\phi$$
12	9 10 11	3bitr3i	$$⊢\underset{\dot{}}{[}A/x\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}B/w\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}w/y\underset{\dot{}}{]}\phi \leftrightarrow \underset{\dot{}}{[}B/y\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}A/z\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}z/x\underset{\dot{}}{]}\phi$$
13		sbccow	$$⊢\underset{\dot{}}{[}B/w\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}w/y\underset{\dot{}}{]}\phi \leftrightarrow \underset{\dot{}}{[}B/y\underset{\dot{}}{]}\phi$$
14	13	sbcbii	$$⊢\underset{\dot{}}{[}A/x\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}B/w\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}w/y\underset{\dot{}}{]}\phi \leftrightarrow \underset{\dot{}}{[}A/x\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}B/y\underset{\dot{}}{]}\phi$$
15		sbccow	$$⊢\underset{\dot{}}{[}A/z\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}z/x\underset{\dot{}}{]}\phi \leftrightarrow \underset{\dot{}}{[}A/x\underset{\dot{}}{]}\phi$$
16	15	sbcbii	$$⊢\underset{\dot{}}{[}B/y\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}A/z\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}z/x\underset{\dot{}}{]}\phi \leftrightarrow \underset{\dot{}}{[}B/y\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}A/x\underset{\dot{}}{]}\phi$$
17	12 14 16	3bitr3i	$$⊢\underset{\dot{}}{[}A/x\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}B/y\underset{\dot{}}{]}\phi \leftrightarrow \underset{\dot{}}{[}B/y\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}A/x\underset{\dot{}}{]}\phi$$