Theorem sbthlem1

Description: Lemma for sbth . (Contributed by NM, 22-Mar-1998)

	Ref	Expression
Hypotheses	sbthlem.1	$$⊢A\in \mathrm{V}$$
	sbthlem.2	$$⊢D=\left\{x|\left(x\subseteq A\wedge g\left[B\setminus f\left[x\right]\right]\subseteq A\setminus x\right)\right\}$$
Assertion	sbthlem1	$$⊢\bigcup D\subseteq A\setminus g\left[B\setminus f\left[\bigcup D\right]\right]$$

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sbthlem.1	$$⊢A\in \mathrm{V}$$
2		sbthlem.2	$$⊢D=\left\{x|\left(x\subseteq A\wedge g\left[B\setminus f\left[x\right]\right]\subseteq A\setminus x\right)\right\}$$
3		unissb	$$⊢\bigcup D\subseteq A\setminus g\left[B\setminus f\left[\bigcup D\right]\right]\leftrightarrow \forall x\in Dx\subseteq A\setminus g\left[B\setminus f\left[\bigcup D\right]\right]$$
4	2	abeq2i	$$⊢x\in D\leftrightarrow \left(x\subseteq A\wedge g\left[B\setminus f\left[x\right]\right]\subseteq A\setminus x\right)$$
5		difss2	$$⊢g\left[B\setminus f\left[x\right]\right]\subseteq A\setminus x\to g\left[B\setminus f\left[x\right]\right]\subseteq A$$
6		ssconb	$$⊢\left(x\subseteq A\wedge g\left[B\setminus f\left[x\right]\right]\subseteq A\right)\to \left(x\subseteq A\setminus g\left[B\setminus f\left[x\right]\right]\leftrightarrow g\left[B\setminus f\left[x\right]\right]\subseteq A\setminus x\right)$$
7	6	exbiri	$$⊢x\subseteq A\to \left(g\left[B\setminus f\left[x\right]\right]\subseteq A\to \left(g\left[B\setminus f\left[x\right]\right]\subseteq A\setminus x\to x\subseteq A\setminus g\left[B\setminus f\left[x\right]\right]\right)\right)$$
8	5 7	syl5	$$⊢x\subseteq A\to \left(g\left[B\setminus f\left[x\right]\right]\subseteq A\setminus x\to \left(g\left[B\setminus f\left[x\right]\right]\subseteq A\setminus x\to x\subseteq A\setminus g\left[B\setminus f\left[x\right]\right]\right)\right)$$
9	8	pm2.43d	$$⊢x\subseteq A\to \left(g\left[B\setminus f\left[x\right]\right]\subseteq A\setminus x\to x\subseteq A\setminus g\left[B\setminus f\left[x\right]\right]\right)$$
10	9	imp	$$⊢\left(x\subseteq A\wedge g\left[B\setminus f\left[x\right]\right]\subseteq A\setminus x\right)\to x\subseteq A\setminus g\left[B\setminus f\left[x\right]\right]$$
11	4 10	sylbi	$$⊢x\in D\to x\subseteq A\setminus g\left[B\setminus f\left[x\right]\right]$$
12		elssuni	$$⊢x\in D\to x\subseteq \bigcup D$$
13		imass2	$$⊢x\subseteq \bigcup D\to f\left[x\right]\subseteq f\left[\bigcup D\right]$$
14		sscon	$$⊢f\left[x\right]\subseteq f\left[\bigcup D\right]\to B\setminus f\left[\bigcup D\right]\subseteq B\setminus f\left[x\right]$$
15	12 13 14	3syl	$$⊢x\in D\to B\setminus f\left[\bigcup D\right]\subseteq B\setminus f\left[x\right]$$
16		imass2	$$⊢B\setminus f\left[\bigcup D\right]\subseteq B\setminus f\left[x\right]\to g\left[B\setminus f\left[\bigcup D\right]\right]\subseteq g\left[B\setminus f\left[x\right]\right]$$
17		sscon	$$⊢g\left[B\setminus f\left[\bigcup D\right]\right]\subseteq g\left[B\setminus f\left[x\right]\right]\to A\setminus g\left[B\setminus f\left[x\right]\right]\subseteq A\setminus g\left[B\setminus f\left[\bigcup D\right]\right]$$
18	15 16 17	3syl	$$⊢x\in D\to A\setminus g\left[B\setminus f\left[x\right]\right]\subseteq A\setminus g\left[B\setminus f\left[\bigcup D\right]\right]$$
19	11 18	sstrd	$$⊢x\in D\to x\subseteq A\setminus g\left[B\setminus f\left[\bigcup D\right]\right]$$
20	3 19	mprgbir	$$⊢\bigcup D\subseteq A\setminus g\left[B\setminus f\left[\bigcup D\right]\right]$$