sn-itrere

Description: _i times a real is real iff the real is zero. (Contributed by SN, 27-Jun-2024)

		Ref	Expression
	Assertion	sn-itrere	$⊢ R \in ℝ \to (i R \in ℝ \leftrightarrow R = 0)$

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sn-inelr	$⊢ \neg i \in ℝ$
2		ax-icn	$⊢ i \in ℂ$
3	2	a1i	$⊢ ((R \in ℝ \land R \neq 0) \land i R \in ℝ) \to i \in ℂ$
4		simpll	$⊢ ((R \in ℝ \land R \neq 0) \land i R \in ℝ) \to R \in ℝ$
5	4	recnd	$⊢ ((R \in ℝ \land R \neq 0) \land i R \in ℝ) \to R \in ℂ$
6		simplr	$⊢ ((R \in ℝ \land R \neq 0) \land i R \in ℝ) \to R \neq 0$
7	4 6	sn-rereccld	$⊢ ((R \in ℝ \land R \neq 0) \land i R \in ℝ) \to 1 /_{ℝ} R \in ℝ$
8	7	recnd	$⊢ ((R \in ℝ \land R \neq 0) \land i R \in ℝ) \to 1 /_{ℝ} R \in ℂ$
9	3 5 8	mulassd	$⊢ ((R \in ℝ \land R \neq 0) \land i R \in ℝ) \to i R (1 /_{ℝ} R) = i R (1 /_{ℝ} R)$
10	4 6	rerecidd	$⊢ ((R \in ℝ \land R \neq 0) \land i R \in ℝ) \to R (1 /_{ℝ} R) = 1$
11	10	oveq2d	$⊢ ((R \in ℝ \land R \neq 0) \land i R \in ℝ) \to i R (1 /_{ℝ} R) = i \cdot 1$
12		sn-it1ei	$⊢ i \cdot 1 = i$
13	12	a1i	$⊢ ((R \in ℝ \land R \neq 0) \land i R \in ℝ) \to i \cdot 1 = i$
14	9 11 13	3eqtrd	$⊢ ((R \in ℝ \land R \neq 0) \land i R \in ℝ) \to i R (1 /_{ℝ} R) = i$
15		simpr	$⊢ ((R \in ℝ \land R \neq 0) \land i R \in ℝ) \to i R \in ℝ$
16	15 7	remulcld	$⊢ ((R \in ℝ \land R \neq 0) \land i R \in ℝ) \to i R (1 /_{ℝ} R) \in ℝ$
17	14 16	eqeltrrd	$⊢ ((R \in ℝ \land R \neq 0) \land i R \in ℝ) \to i \in ℝ$
18	17	ex	$⊢ (R \in ℝ \land R \neq 0) \to (i R \in ℝ \to i \in ℝ)$
19	1 18	mtoi	$⊢ (R \in ℝ \land R \neq 0) \to \neg i R \in ℝ$
20	19	ex	$⊢ R \in ℝ \to (R \neq 0 \to \neg i R \in ℝ)$
21	20	necon4ad	$⊢ R \in ℝ \to (i R \in ℝ \to R = 0)$
22		oveq2	$⊢ R = 0 \to i R = i \cdot 0$
23		sn-it0e0	$⊢ i \cdot 0 = 0$
24		0re	$⊢ 0 \in ℝ$
25	23 24	eqeltri	$⊢ i \cdot 0 \in ℝ$
26	22 25	eqeltrdi	$⊢ R = 0 \to i R \in ℝ$
27	21 26	impbid1	$⊢ R \in ℝ \to (i R \in ℝ \leftrightarrow R = 0)$

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Theorem sn-itrere

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