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Theorem srgbinomlem4

Description: Lemma 4 for srgbinomlem . (Contributed by AV, 24-Aug-2019) (Proof shortened by AV, 19-Nov-2019)

Ref Expression
Hypotheses srgbinom.s S = Base R
srgbinom.m × ˙ = R
srgbinom.t · ˙ = R
srgbinom.a + ˙ = + R
srgbinom.g G = mulGrp R
srgbinom.e × ˙ = G
srgbinomlem.r φ R SRing
srgbinomlem.a φ A S
srgbinomlem.b φ B S
srgbinomlem.c φ A × ˙ B = B × ˙ A
srgbinomlem.n φ N 0
srgbinomlem.i ψ N × ˙ A + ˙ B = R k = 0 N ( N k) · ˙ N k × ˙ A × ˙ k × ˙ B
Assertion srgbinomlem4 φ ψ N × ˙ A + ˙ B × ˙ B = R k = 0 N + 1 ( N k 1 ) · ˙ N + 1 - k × ˙ A × ˙ k × ˙ B

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 srgbinom.s S = Base R
2 srgbinom.m × ˙ = R
3 srgbinom.t · ˙ = R
4 srgbinom.a + ˙ = + R
5 srgbinom.g G = mulGrp R
6 srgbinom.e × ˙ = G
7 srgbinomlem.r φ R SRing
8 srgbinomlem.a φ A S
9 srgbinomlem.b φ B S
10 srgbinomlem.c φ A × ˙ B = B × ˙ A
11 srgbinomlem.n φ N 0
12 srgbinomlem.i ψ N × ˙ A + ˙ B = R k = 0 N ( N k) · ˙ N k × ˙ A × ˙ k × ˙ B
13 12 oveq1d ψ N × ˙ A + ˙ B × ˙ B = R k = 0 N ( N k) · ˙ N k × ˙ A × ˙ k × ˙ B × ˙ B
14 eqid 0 R = 0 R
15 ovexd φ 0 N V
16 simpl φ k 0 N φ
17 elfzelz k 0 N k
18 bccl N 0 k ( N k) 0
19 11 17 18 syl2an φ k 0 N ( N k) 0
20 fznn0sub k 0 N N k 0
21 20 adantl φ k 0 N N k 0
22 elfznn0 k 0 N k 0
23 22 adantl φ k 0 N k 0
24 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 srgbinomlem2 φ ( N k) 0 N k 0 k 0 ( N k) · ˙ N k × ˙ A × ˙ k × ˙ B S
25 16 19 21 23 24 syl13anc φ k 0 N ( N k) · ˙ N k × ˙ A × ˙ k × ˙ B S
26 eqid k 0 N ( N k) · ˙ N k × ˙ A × ˙ k × ˙ B = k 0 N ( N k) · ˙ N k × ˙ A × ˙ k × ˙ B
27 fzfid φ 0 N Fin
28 ovexd φ k 0 N ( N k) · ˙ N k × ˙ A × ˙ k × ˙ B V
29 fvexd φ 0 R V
30 26 27 28 29 fsuppmptdm φ finSupp 0 R k 0 N ( N k) · ˙ N k × ˙ A × ˙ k × ˙ B
31 1 14 4 2 7 15 9 25 30 srgsummulcr φ R k = 0 N ( N k) · ˙ N k × ˙ A × ˙ k × ˙ B × ˙ B = R k = 0 N ( N k) · ˙ N k × ˙ A × ˙ k × ˙ B × ˙ B
32 srgcmn R SRing R CMnd
33 7 32 syl φ R CMnd
34 1z 1
35 34 a1i φ 1
36 0zd φ 0
37 11 nn0zd φ N
38 7 adantr φ k 0 N R SRing
39 9 adantr φ k 0 N B S
40 1 2 srgcl R SRing ( N k) · ˙ N k × ˙ A × ˙ k × ˙ B S B S ( N k) · ˙ N k × ˙ A × ˙ k × ˙ B × ˙ B S
41 38 25 39 40 syl3anc φ k 0 N ( N k) · ˙ N k × ˙ A × ˙ k × ˙ B × ˙ B S
42 oveq2 k = j 1 ( N k) = ( N j 1 )
43 oveq2 k = j 1 N k = N j 1
44 43 oveq1d k = j 1 N k × ˙ A = N j 1 × ˙ A
45 oveq1 k = j 1 k × ˙ B = j 1 × ˙ B
46 44 45 oveq12d k = j 1 N k × ˙ A × ˙ k × ˙ B = N j 1 × ˙ A × ˙ j 1 × ˙ B
47 42 46 oveq12d k = j 1 ( N k) · ˙ N k × ˙ A × ˙ k × ˙ B = ( N j 1 ) · ˙ N j 1 × ˙ A × ˙ j 1 × ˙ B
48 47 oveq1d k = j 1 ( N k) · ˙ N k × ˙ A × ˙ k × ˙ B × ˙ B = ( N j 1 ) · ˙ N j 1 × ˙ A × ˙ j 1 × ˙ B × ˙ B
49 1 14 33 35 36 37 41 48 gsummptshft φ R k = 0 N ( N k) · ˙ N k × ˙ A × ˙ k × ˙ B × ˙ B = R j = 0 + 1 N + 1 ( N j 1 ) · ˙ N j 1 × ˙ A × ˙ j 1 × ˙ B × ˙ B
50 11 nn0cnd φ N
51 50 adantr φ j 0 + 1 N + 1 N
52 elfzelz j 0 + 1 N + 1 j
53 52 adantl φ j 0 + 1 N + 1 j
54 53 zcnd φ j 0 + 1 N + 1 j
55 1cnd φ j 0 + 1 N + 1 1
56 51 54 55 subsub3d φ j 0 + 1 N + 1 N j 1 = N + 1 - j
57 56 oveq1d φ j 0 + 1 N + 1 N j 1 × ˙ A = N + 1 - j × ˙ A
58 57 oveq1d φ j 0 + 1 N + 1 N j 1 × ˙ A × ˙ j 1 × ˙ B = N + 1 - j × ˙ A × ˙ j 1 × ˙ B
59 58 oveq2d φ j 0 + 1 N + 1 ( N j 1 ) · ˙ N j 1 × ˙ A × ˙ j 1 × ˙ B = ( N j 1 ) · ˙ N + 1 - j × ˙ A × ˙ j 1 × ˙ B
60 59 oveq1d φ j 0 + 1 N + 1 ( N j 1 ) · ˙ N j 1 × ˙ A × ˙ j 1 × ˙ B × ˙ B = ( N j 1 ) · ˙ N + 1 - j × ˙ A × ˙ j 1 × ˙ B × ˙ B
61 7 adantr φ j 0 + 1 N + 1 R SRing
62 peano2zm j j 1
63 52 62 syl j 0 + 1 N + 1 j 1
64 bccl N 0 j 1 ( N j 1 ) 0
65 11 63 64 syl2an φ j 0 + 1 N + 1 ( N j 1 ) 0
66 5 1 mgpbas S = Base G
67 5 srgmgp R SRing G Mnd
68 7 67 syl φ G Mnd
69 68 adantr φ j 0 + 1 N + 1 G Mnd
70 0p1e1 0 + 1 = 1
71 70 oveq1i 0 + 1 N + 1 = 1 N + 1
72 71 eleq2i j 0 + 1 N + 1 j 1 N + 1
73 fznn0sub j 1 N + 1 N + 1 - j 0
74 73 a1i φ j 1 N + 1 N + 1 - j 0
75 72 74 biimtrid φ j 0 + 1 N + 1 N + 1 - j 0
76 75 imp φ j 0 + 1 N + 1 N + 1 - j 0
77 8 adantr φ j 0 + 1 N + 1 A S
78 66 6 69 76 77 mulgnn0cld φ j 0 + 1 N + 1 N + 1 - j × ˙ A S
79 elfznn j 1 N + 1 j
80 nnm1nn0 j j 1 0
81 79 80 syl j 1 N + 1 j 1 0
82 72 81 sylbi j 0 + 1 N + 1 j 1 0
83 82 adantl φ j 0 + 1 N + 1 j 1 0
84 9 adantr φ j 0 + 1 N + 1 B S
85 66 6 69 83 84 mulgnn0cld φ j 0 + 1 N + 1 j 1 × ˙ B S
86 1 3 2 srgmulgass R SRing ( N j 1 ) 0 N + 1 - j × ˙ A S j 1 × ˙ B S ( N j 1 ) · ˙ N + 1 - j × ˙ A × ˙ j 1 × ˙ B = ( N j 1 ) · ˙ N + 1 - j × ˙ A × ˙ j 1 × ˙ B
87 61 65 78 85 86 syl13anc φ j 0 + 1 N + 1 ( N j 1 ) · ˙ N + 1 - j × ˙ A × ˙ j 1 × ˙ B = ( N j 1 ) · ˙ N + 1 - j × ˙ A × ˙ j 1 × ˙ B
88 87 eqcomd φ j 0 + 1 N + 1 ( N j 1 ) · ˙ N + 1 - j × ˙ A × ˙ j 1 × ˙ B = ( N j 1 ) · ˙ N + 1 - j × ˙ A × ˙ j 1 × ˙ B
89 88 oveq1d φ j 0 + 1 N + 1 ( N j 1 ) · ˙ N + 1 - j × ˙ A × ˙ j 1 × ˙ B × ˙ B = ( N j 1 ) · ˙ N + 1 - j × ˙ A × ˙ j 1 × ˙ B × ˙ B
90 srgmnd R SRing R Mnd
91 7 90 syl φ R Mnd
92 91 adantr φ j 0 + 1 N + 1 R Mnd
93 1 3 92 65 78 mulgnn0cld φ j 0 + 1 N + 1 ( N j 1 ) · ˙ N + 1 - j × ˙ A S
94 1 2 srgass R SRing ( N j 1 ) · ˙ N + 1 - j × ˙ A S j 1 × ˙ B S B S ( N j 1 ) · ˙ N + 1 - j × ˙ A × ˙ j 1 × ˙ B × ˙ B = ( N j 1 ) · ˙ N + 1 - j × ˙ A × ˙ j 1 × ˙ B × ˙ B
95 61 93 85 84 94 syl13anc φ j 0 + 1 N + 1 ( N j 1 ) · ˙ N + 1 - j × ˙ A × ˙ j 1 × ˙ B × ˙ B = ( N j 1 ) · ˙ N + 1 - j × ˙ A × ˙ j 1 × ˙ B × ˙ B
96 5 2 mgpplusg × ˙ = + G
97 66 6 96 mulgnn0p1 G Mnd j 1 0 B S j - 1 + 1 × ˙ B = j 1 × ˙ B × ˙ B
98 97 eqcomd G Mnd j 1 0 B S j 1 × ˙ B × ˙ B = j - 1 + 1 × ˙ B
99 69 83 84 98 syl3anc φ j 0 + 1 N + 1 j 1 × ˙ B × ˙ B = j - 1 + 1 × ˙ B
100 99 oveq2d φ j 0 + 1 N + 1 ( N j 1 ) · ˙ N + 1 - j × ˙ A × ˙ j 1 × ˙ B × ˙ B = ( N j 1 ) · ˙ N + 1 - j × ˙ A × ˙ j - 1 + 1 × ˙ B
101 52 zcnd j 0 + 1 N + 1 j
102 1cnd j 0 + 1 N + 1 1
103 101 102 npcand j 0 + 1 N + 1 j - 1 + 1 = j
104 103 adantl φ j 0 + 1 N + 1 j - 1 + 1 = j
105 104 oveq1d φ j 0 + 1 N + 1 j - 1 + 1 × ˙ B = j × ˙ B
106 105 oveq2d φ j 0 + 1 N + 1 ( N j 1 ) · ˙ N + 1 - j × ˙ A × ˙ j - 1 + 1 × ˙ B = ( N j 1 ) · ˙ N + 1 - j × ˙ A × ˙ j × ˙ B
107 95 100 106 3eqtrd φ j 0 + 1 N + 1 ( N j 1 ) · ˙ N + 1 - j × ˙ A × ˙ j 1 × ˙ B × ˙ B = ( N j 1 ) · ˙ N + 1 - j × ˙ A × ˙ j × ˙ B
108 60 89 107 3eqtrd φ j 0 + 1 N + 1 ( N j 1 ) · ˙ N j 1 × ˙ A × ˙ j 1 × ˙ B × ˙ B = ( N j 1 ) · ˙ N + 1 - j × ˙ A × ˙ j × ˙ B
109 108 mpteq2dva φ j 0 + 1 N + 1 ( N j 1 ) · ˙ N j 1 × ˙ A × ˙ j 1 × ˙ B × ˙ B = j 0 + 1 N + 1 ( N j 1 ) · ˙ N + 1 - j × ˙ A × ˙ j × ˙ B
110 109 oveq2d φ R j = 0 + 1 N + 1 ( N j 1 ) · ˙ N j 1 × ˙ A × ˙ j 1 × ˙ B × ˙ B = R j = 0 + 1 N + 1 ( N j 1 ) · ˙ N + 1 - j × ˙ A × ˙ j × ˙ B
111 71 mpteq1i j 0 + 1 N + 1 ( N j 1 ) · ˙ N + 1 - j × ˙ A × ˙ j × ˙ B = j 1 N + 1 ( N j 1 ) · ˙ N + 1 - j × ˙ A × ˙ j × ˙ B
112 oveq1 j = k j 1 = k 1
113 112 oveq2d j = k ( N j 1 ) = ( N k 1 )
114 oveq2 j = k N + 1 - j = N + 1 - k
115 114 oveq1d j = k N + 1 - j × ˙ A = N + 1 - k × ˙ A
116 113 115 oveq12d j = k ( N j 1 ) · ˙ N + 1 - j × ˙ A = ( N k 1 ) · ˙ N + 1 - k × ˙ A
117 oveq1 j = k j × ˙ B = k × ˙ B
118 116 117 oveq12d j = k ( N j 1 ) · ˙ N + 1 - j × ˙ A × ˙ j × ˙ B = ( N k 1 ) · ˙ N + 1 - k × ˙ A × ˙ k × ˙ B
119 118 cbvmptv j 1 N + 1 ( N j 1 ) · ˙ N + 1 - j × ˙ A × ˙ j × ˙ B = k 1 N + 1 ( N k 1 ) · ˙ N + 1 - k × ˙ A × ˙ k × ˙ B
120 111 119 eqtri j 0 + 1 N + 1 ( N j 1 ) · ˙ N + 1 - j × ˙ A × ˙ j × ˙ B = k 1 N + 1 ( N k 1 ) · ˙ N + 1 - k × ˙ A × ˙ k × ˙ B
121 120 oveq2i R j = 0 + 1 N + 1 ( N j 1 ) · ˙ N + 1 - j × ˙ A × ˙ j × ˙ B = R k = 1 N + 1 ( N k 1 ) · ˙ N + 1 - k × ˙ A × ˙ k × ˙ B
122 fzfid φ 1 N + 1 Fin
123 simpl φ k 1 N + 1 φ
124 elfzelz k 1 N + 1 k
125 peano2zm k k 1
126 124 125 syl k 1 N + 1 k 1
127 bccl N 0 k 1 ( N k 1 ) 0
128 11 126 127 syl2an φ k 1 N + 1 ( N k 1 ) 0
129 fznn0sub k 1 N + 1 N + 1 - k 0
130 129 adantl φ k 1 N + 1 N + 1 - k 0
131 elfznn k 1 N + 1 k
132 131 nnnn0d k 1 N + 1 k 0
133 132 adantl φ k 1 N + 1 k 0
134 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 srgbinomlem2 φ ( N k 1 ) 0 N + 1 - k 0 k 0 ( N k 1 ) · ˙ N + 1 - k × ˙ A × ˙ k × ˙ B S
135 123 128 130 133 134 syl13anc φ k 1 N + 1 ( N k 1 ) · ˙ N + 1 - k × ˙ A × ˙ k × ˙ B S
136 135 ralrimiva φ k 1 N + 1 ( N k 1 ) · ˙ N + 1 - k × ˙ A × ˙ k × ˙ B S
137 1 33 122 136 gsummptcl φ R k = 1 N + 1 ( N k 1 ) · ˙ N + 1 - k × ˙ A × ˙ k × ˙ B S
138 1 4 14 mndlid R Mnd R k = 1 N + 1 ( N k 1 ) · ˙ N + 1 - k × ˙ A × ˙ k × ˙ B S 0 R + ˙ R k = 1 N + 1 ( N k 1 ) · ˙ N + 1 - k × ˙ A × ˙ k × ˙ B = R k = 1 N + 1 ( N k 1 ) · ˙ N + 1 - k × ˙ A × ˙ k × ˙ B
139 91 137 138 syl2anc φ 0 R + ˙ R k = 1 N + 1 ( N k 1 ) · ˙ N + 1 - k × ˙ A × ˙ k × ˙ B = R k = 1 N + 1 ( N k 1 ) · ˙ N + 1 - k × ˙ A × ˙ k × ˙ B
140 0nn0 0 0
141 140 a1i φ 0 0
142 id φ φ
143 0z 0
144 143 34 pm3.2i 0 1
145 zsubcl 0 1 0 1
146 144 145 mp1i φ 0 1
147 bccl N 0 0 1 ( N 0 1 ) 0
148 11 146 147 syl2anc φ ( N 0 1 ) 0
149 nn0cn N 0 N
150 peano2cn N N + 1
151 149 150 syl N 0 N + 1
152 151 subid1d N 0 N + 1 - 0 = N + 1
153 peano2nn0 N 0 N + 1 0
154 152 153 eqeltrd N 0 N + 1 - 0 0
155 11 154 syl φ N + 1 - 0 0
156 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 srgbinomlem2 φ ( N 0 1 ) 0 N + 1 - 0 0 0 0 ( N 0 1 ) · ˙ N + 1 - 0 × ˙ A × ˙ 0 × ˙ B S
157 142 148 155 141 156 syl13anc φ ( N 0 1 ) · ˙ N + 1 - 0 × ˙ A × ˙ 0 × ˙ B S
158 oveq1 k = 0 k 1 = 0 1
159 158 oveq2d k = 0 ( N k 1 ) = ( N 0 1 )
160 oveq2 k = 0 N + 1 - k = N + 1 - 0
161 160 oveq1d k = 0 N + 1 - k × ˙ A = N + 1 - 0 × ˙ A
162 oveq1 k = 0 k × ˙ B = 0 × ˙ B
163 161 162 oveq12d k = 0 N + 1 - k × ˙ A × ˙ k × ˙ B = N + 1 - 0 × ˙ A × ˙ 0 × ˙ B
164 159 163 oveq12d k = 0 ( N k 1 ) · ˙ N + 1 - k × ˙ A × ˙ k × ˙ B = ( N 0 1 ) · ˙ N + 1 - 0 × ˙ A × ˙ 0 × ˙ B
165 1 164 gsumsn R Mnd 0 0 ( N 0 1 ) · ˙ N + 1 - 0 × ˙ A × ˙ 0 × ˙ B S R k 0 ( N k 1 ) · ˙ N + 1 - k × ˙ A × ˙ k × ˙ B = ( N 0 1 ) · ˙ N + 1 - 0 × ˙ A × ˙ 0 × ˙ B
166 91 141 157 165 syl3anc φ R k 0 ( N k 1 ) · ˙ N + 1 - k × ˙ A × ˙ k × ˙ B = ( N 0 1 ) · ˙ N + 1 - 0 × ˙ A × ˙ 0 × ˙ B
167 0lt1 0 < 1
168 167 a1i φ 0 < 1
169 168 70 breqtrrdi φ 0 < 0 + 1
170 0re 0
171 1re 1
172 170 171 170 3pm3.2i 0 1 0
173 ltsubadd 0 1 0 0 1 < 0 0 < 0 + 1
174 172 173 mp1i φ 0 1 < 0 0 < 0 + 1
175 169 174 mpbird φ 0 1 < 0
176 175 orcd φ 0 1 < 0 N < 0 1
177 bcval4 N 0 0 1 0 1 < 0 N < 0 1 ( N 0 1 ) = 0
178 11 146 176 177 syl3anc φ ( N 0 1 ) = 0
179 178 oveq1d φ ( N 0 1 ) · ˙ N + 1 - 0 × ˙ A × ˙ 0 × ˙ B = 0 · ˙ N + 1 - 0 × ˙ A × ˙ 0 × ˙ B
180 66 6 68 155 8 mulgnn0cld φ N + 1 - 0 × ˙ A S
181 66 6 68 141 9 mulgnn0cld φ 0 × ˙ B S
182 1 2 srgcl R SRing N + 1 - 0 × ˙ A S 0 × ˙ B S N + 1 - 0 × ˙ A × ˙ 0 × ˙ B S
183 7 180 181 182 syl3anc φ N + 1 - 0 × ˙ A × ˙ 0 × ˙ B S
184 1 14 3 mulg0 N + 1 - 0 × ˙ A × ˙ 0 × ˙ B S 0 · ˙ N + 1 - 0 × ˙ A × ˙ 0 × ˙ B = 0 R
185 183 184 syl φ 0 · ˙ N + 1 - 0 × ˙ A × ˙ 0 × ˙ B = 0 R
186 166 179 185 3eqtrrd φ 0 R = R k 0 ( N k 1 ) · ˙ N + 1 - k × ˙ A × ˙ k × ˙ B
187 186 oveq1d φ 0 R + ˙ R k = 1 N + 1 ( N k 1 ) · ˙ N + 1 - k × ˙ A × ˙ k × ˙ B = R k 0 ( N k 1 ) · ˙ N + 1 - k × ˙ A × ˙ k × ˙ B + ˙ R k = 1 N + 1 ( N k 1 ) · ˙ N + 1 - k × ˙ A × ˙ k × ˙ B
188 139 187 eqtr3d φ R k = 1 N + 1 ( N k 1 ) · ˙ N + 1 - k × ˙ A × ˙ k × ˙ B = R k 0 ( N k 1 ) · ˙ N + 1 - k × ˙ A × ˙ k × ˙ B + ˙ R k = 1 N + 1 ( N k 1 ) · ˙ N + 1 - k × ˙ A × ˙ k × ˙ B
189 7 adantr φ k 1 N + 1 R SRing
190 68 adantr φ k 1 N + 1 G Mnd
191 8 adantr φ k 1 N + 1 A S
192 66 6 190 130 191 mulgnn0cld φ k 1 N + 1 N + 1 - k × ˙ A S
193 9 adantr φ k 1 N + 1 B S
194 66 6 190 133 193 mulgnn0cld φ k 1 N + 1 k × ˙ B S
195 1 3 2 srgmulgass R SRing ( N k 1 ) 0 N + 1 - k × ˙ A S k × ˙ B S ( N k 1 ) · ˙ N + 1 - k × ˙ A × ˙ k × ˙ B = ( N k 1 ) · ˙ N + 1 - k × ˙ A × ˙ k × ˙ B
196 189 128 192 194 195 syl13anc φ k 1 N + 1 ( N k 1 ) · ˙ N + 1 - k × ˙ A × ˙ k × ˙ B = ( N k 1 ) · ˙ N + 1 - k × ˙ A × ˙ k × ˙ B
197 196 mpteq2dva φ k 1 N + 1 ( N k 1 ) · ˙ N + 1 - k × ˙ A × ˙ k × ˙ B = k 1 N + 1 ( N k 1 ) · ˙ N + 1 - k × ˙ A × ˙ k × ˙ B
198 197 oveq2d φ R k = 1 N + 1 ( N k 1 ) · ˙ N + 1 - k × ˙ A × ˙ k × ˙ B = R k = 1 N + 1 ( N k 1 ) · ˙ N + 1 - k × ˙ A × ˙ k × ˙ B
199 11 153 syl φ N + 1 0
200 simpl φ k 0 N + 1 φ
201 elfzelz k 0 N + 1 k
202 201 125 syl k 0 N + 1 k 1
203 11 202 127 syl2an φ k 0 N + 1 ( N k 1 ) 0
204 fznn0sub k 0 N + 1 N + 1 - k 0
205 204 adantl φ k 0 N + 1 N + 1 - k 0
206 elfznn0 k 0 N + 1 k 0
207 206 adantl φ k 0 N + 1 k 0
208 200 203 205 207 134 syl13anc φ k 0 N + 1 ( N k 1 ) · ˙ N + 1 - k × ˙ A × ˙ k × ˙ B S
209 1 4 33 199 208 gsummptfzsplitl φ R k = 0 N + 1 ( N k 1 ) · ˙ N + 1 - k × ˙ A × ˙ k × ˙ B = R k = 1 N + 1 ( N k 1 ) · ˙ N + 1 - k × ˙ A × ˙ k × ˙ B + ˙ R k 0 ( N k 1 ) · ˙ N + 1 - k × ˙ A × ˙ k × ˙ B
210 snfi 0 Fin
211 210 a1i φ 0 Fin
212 164 eleq1d k = 0 ( N k 1 ) · ˙ N + 1 - k × ˙ A × ˙ k × ˙ B S ( N 0 1 ) · ˙ N + 1 - 0 × ˙ A × ˙ 0 × ˙ B S
213 212 ralsng 0 0 k 0 ( N k 1 ) · ˙ N + 1 - k × ˙ A × ˙ k × ˙ B S ( N 0 1 ) · ˙ N + 1 - 0 × ˙ A × ˙ 0 × ˙ B S
214 140 213 ax-mp k 0 ( N k 1 ) · ˙ N + 1 - k × ˙ A × ˙ k × ˙ B S ( N 0 1 ) · ˙ N + 1 - 0 × ˙ A × ˙ 0 × ˙ B S
215 157 214 sylibr φ k 0 ( N k 1 ) · ˙ N + 1 - k × ˙ A × ˙ k × ˙ B S
216 1 33 211 215 gsummptcl φ R k 0 ( N k 1 ) · ˙ N + 1 - k × ˙ A × ˙ k × ˙ B S
217 1 4 cmncom R CMnd R k = 1 N + 1 ( N k 1 ) · ˙ N + 1 - k × ˙ A × ˙ k × ˙ B S R k 0 ( N k 1 ) · ˙ N + 1 - k × ˙ A × ˙ k × ˙ B S R k = 1 N + 1 ( N k 1 ) · ˙ N + 1 - k × ˙ A × ˙ k × ˙ B + ˙ R k 0 ( N k 1 ) · ˙ N + 1 - k × ˙ A × ˙ k × ˙ B = R k 0 ( N k 1 ) · ˙ N + 1 - k × ˙ A × ˙ k × ˙ B + ˙ R k = 1 N + 1 ( N k 1 ) · ˙ N + 1 - k × ˙ A × ˙ k × ˙ B
218 33 137 216 217 syl3anc φ R k = 1 N + 1 ( N k 1 ) · ˙ N + 1 - k × ˙ A × ˙ k × ˙ B + ˙ R k 0 ( N k 1 ) · ˙ N + 1 - k × ˙ A × ˙ k × ˙ B = R k 0 ( N k 1 ) · ˙ N + 1 - k × ˙ A × ˙ k × ˙ B + ˙ R k = 1 N + 1 ( N k 1 ) · ˙ N + 1 - k × ˙ A × ˙ k × ˙ B
219 209 218 eqtrd φ R k = 0 N + 1 ( N k 1 ) · ˙ N + 1 - k × ˙ A × ˙ k × ˙ B = R k 0 ( N k 1 ) · ˙ N + 1 - k × ˙ A × ˙ k × ˙ B + ˙ R k = 1 N + 1 ( N k 1 ) · ˙ N + 1 - k × ˙ A × ˙ k × ˙ B
220 188 198 219 3eqtr4d φ R k = 1 N + 1 ( N k 1 ) · ˙ N + 1 - k × ˙ A × ˙ k × ˙ B = R k = 0 N + 1 ( N k 1 ) · ˙ N + 1 - k × ˙ A × ˙ k × ˙ B
221 121 220 eqtrid φ R j = 0 + 1 N + 1 ( N j 1 ) · ˙ N + 1 - j × ˙ A × ˙ j × ˙ B = R k = 0 N + 1 ( N k 1 ) · ˙ N + 1 - k × ˙ A × ˙ k × ˙ B
222 49 110 221 3eqtrd φ R k = 0 N ( N k) · ˙ N k × ˙ A × ˙ k × ˙ B × ˙ B = R k = 0 N + 1 ( N k 1 ) · ˙ N + 1 - k × ˙ A × ˙ k × ˙ B
223 31 222 eqtr3d φ R k = 0 N ( N k) · ˙ N k × ˙ A × ˙ k × ˙ B × ˙ B = R k = 0 N + 1 ( N k 1 ) · ˙ N + 1 - k × ˙ A × ˙ k × ˙ B
224 13 223 sylan9eqr φ ψ N × ˙ A + ˙ B × ˙ B = R k = 0 N + 1 ( N k 1 ) · ˙ N + 1 - k × ˙ A × ˙ k × ˙ B