Theorem ssdif0

Description: Subclass expressed in terms of difference. Exercise 7 of TakeutiZaring p. 22. (Contributed by NM, 29-Apr-1994)

	Ref	Expression
Assertion	ssdif0	$$⊢A\subseteq B\leftrightarrow A\setminus B=\varnothing$$

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iman	$$⊢\left(x\in A\to x\in B\right)\leftrightarrow \neg \left(x\in A\wedge \neg x\in B\right)$$
2		eldif	$$⊢x\in \left(A\setminus B\right)\leftrightarrow \left(x\in A\wedge \neg x\in B\right)$$
3	1 2	xchbinxr	$$⊢\left(x\in A\to x\in B\right)\leftrightarrow \neg x\in \left(A\setminus B\right)$$
4	3	albii	$$⊢\forall x\left(x\in A\to x\in B\right)\leftrightarrow \forall x\neg x\in \left(A\setminus B\right)$$
5		dfss2	$$⊢A\subseteq B\leftrightarrow \forall x\left(x\in A\to x\in B\right)$$
6		eq0	$$⊢A\setminus B=\varnothing \leftrightarrow \forall x\neg x\in \left(A\setminus B\right)$$
7	4 5 6	3bitr4i	$$⊢A\subseteq B\leftrightarrow A\setminus B=\varnothing$$