Theorem xeqlelt

Description: Equality in terms of 'less than or equal to', 'less than'. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Jul-2017)

	Ref	Expression
Assertion	xeqlelt	$$⊢\left(A\in {ℝ}^{*}\wedge B\in {ℝ}^{*}\right)\to \left(A=B\leftrightarrow \left(A\le B\wedge \neg A<B\right)\right)$$

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrletri3	$$⊢\left(A\in {ℝ}^{*}\wedge B\in {ℝ}^{*}\right)\to \left(A=B\leftrightarrow \left(A\le B\wedge B\le A\right)\right)$$
2		xrlenlt	$$⊢\left(B\in {ℝ}^{*}\wedge A\in {ℝ}^{*}\right)\to \left(B\le A\leftrightarrow \neg A<B\right)$$
3	2	ancoms	$$⊢\left(A\in {ℝ}^{*}\wedge B\in {ℝ}^{*}\right)\to \left(B\le A\leftrightarrow \neg A<B\right)$$
4	3	anbi2d	$$⊢\left(A\in {ℝ}^{*}\wedge B\in {ℝ}^{*}\right)\to \left(\left(A\le B\wedge B\le A\right)\leftrightarrow \left(A\le B\wedge \neg A<B\right)\right)$$
5	1 4	bitrd	$$⊢\left(A\in {ℝ}^{*}\wedge B\in {ℝ}^{*}\right)\to \left(A=B\leftrightarrow \left(A\le B\wedge \neg A<B\right)\right)$$