2atm

Description: An atom majorized by two different atom joins (which could be atoms or lines) is equal to their intersection. (Contributed by NM, 30-Jun-2013)

	Ref	Expression
Hypotheses	2atm.l	⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
	2atm.j	⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
	2atm.m	⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
	2atm.a	⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
Assertion	2atm	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑇 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑇 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ≠ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) → 𝑇 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2atm.l	⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
2		2atm.j	⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
3		2atm.m	⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
4		2atm.a	⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
5		simp31	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑇 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑇 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ≠ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) → 𝑇 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) )
6		simp32	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑇 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑇 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ≠ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) → 𝑇 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) )
7		simp11	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑇 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑇 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ≠ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) → 𝐾 ∈ HL )
8	7	hllatd	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑇 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑇 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ≠ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) → 𝐾 ∈ Lat )
9		simp23	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑇 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑇 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ≠ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) → 𝑇 ∈ 𝐴 )
10		eqid	⊢ ( Base ‘ 𝐾 ) = ( Base ‘ 𝐾 )
11	10 4	atbase	⊢ ( 𝑇 ∈ 𝐴 → 𝑇 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
12	9 11	syl	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑇 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑇 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ≠ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) → 𝑇 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
13		simp12	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑇 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑇 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ≠ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) → 𝑃 ∈ 𝐴 )
14	10 4	atbase	⊢ ( 𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
15	13 14	syl	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑇 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑇 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ≠ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) → 𝑃 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
16		simp13	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑇 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑇 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ≠ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) → 𝑄 ∈ 𝐴 )
17	10 4	atbase	⊢ ( 𝑄 ∈ 𝐴 → 𝑄 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
18	16 17	syl	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑇 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑇 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ≠ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) → 𝑄 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
19	10 2	latjcl	⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑄 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
20	8 15 18 19	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑇 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑇 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ≠ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) → ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
21		simp21	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑇 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑇 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ≠ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) → 𝑅 ∈ 𝐴 )
22		simp22	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑇 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑇 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ≠ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) → 𝑆 ∈ 𝐴 )
23	10 2 4	hlatjcl	⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
24	7 21 22 23	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑇 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑇 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ≠ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) → ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
25	10 1 3	latlem12	⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑇 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ) → ( ( 𝑇 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑇 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ↔ 𝑇 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) )
26	8 12 20 24 25	syl13anc	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑇 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑇 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ≠ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) → ( ( 𝑇 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑇 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ↔ 𝑇 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) )
27	5 6 26	mpbi2and	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑇 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑇 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ≠ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) → 𝑇 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) )
28		hlatl	⊢ ( 𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat )
29	7 28	syl	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑇 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑇 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ≠ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) → 𝐾 ∈ AtLat )
30	10 3	latmcl	⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
31	8 20 24 30	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑇 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑇 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ≠ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
32		eqid	⊢ ( 0. ‘ 𝐾 ) = ( 0. ‘ 𝐾 )
33	10 1 32 4	atlen0	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ AtLat ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑇 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ≠ ( 0. ‘ 𝐾 ) )
34	29 31 9 27 33	syl31anc	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑇 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑇 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ≠ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ≠ ( 0. ‘ 𝐾 ) )
35	34	neneqd	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑇 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑇 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ≠ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) → ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) = ( 0. ‘ 𝐾 ) )
36		simp33	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑇 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑇 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ≠ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) → ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ≠ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) )
37	2 3 32 4	2atmat0	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ≠ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) → ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ∈ 𝐴 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) = ( 0. ‘ 𝐾 ) ) )
38	7 13 16 21 22 36 37	syl33anc	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑇 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑇 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ≠ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) → ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ∈ 𝐴 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) = ( 0. ‘ 𝐾 ) ) )
39	38	ord	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑇 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑇 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ≠ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) → ( ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ∈ 𝐴 → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) = ( 0. ‘ 𝐾 ) ) )
40	35 39	mt3d	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑇 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑇 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ≠ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ∈ 𝐴 )
41	1 4	atcmp	⊢ ( ( 𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ∈ 𝐴 ) → ( 𝑇 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ↔ 𝑇 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) )
42	29 9 40 41	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑇 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑇 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ≠ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) → ( 𝑇 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ↔ 𝑇 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) )
43	27 42	mpbid	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑇 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑇 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ≠ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) → 𝑇 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) )

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Theorem 2atm

Proof