2atmat

Description: The meet of two intersecting lines (expressed as joins of atoms) is an atom. (Contributed by NM, 21-Nov-2012)

	Ref	Expression
Hypotheses	2atmat.l	⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
	2atmat.j	⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
	2atmat.m	⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
	2atmat.a	⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
Assertion	2atmat	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ∧ ( 𝑅 ≠ 𝑆 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ∈ 𝐴 )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2atmat.l	⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
2		2atmat.j	⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
3		2atmat.m	⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
4		2atmat.a	⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
5		simp11	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ∧ ( 𝑅 ≠ 𝑆 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ) → 𝐾 ∈ HL )
6	5	hllatd	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ∧ ( 𝑅 ≠ 𝑆 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ) → 𝐾 ∈ Lat )
7		eqid	⊢ ( Base ‘ 𝐾 ) = ( Base ‘ 𝐾 )
8	7 2 4	hlatjcl	⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
9	8	3ad2ant1	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ∧ ( 𝑅 ≠ 𝑆 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ) → ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
10		simp21	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ∧ ( 𝑅 ≠ 𝑆 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ) → 𝑅 ∈ 𝐴 )
11	7 4	atbase	⊢ ( 𝑅 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
12	10 11	syl	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ∧ ( 𝑅 ≠ 𝑆 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ) → 𝑅 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
13		simp22	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ∧ ( 𝑅 ≠ 𝑆 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ) → 𝑆 ∈ 𝐴 )
14	7 4	atbase	⊢ ( 𝑆 ∈ 𝐴 → 𝑆 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
15	13 14	syl	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ∧ ( 𝑅 ≠ 𝑆 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ) → 𝑆 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
16	7 2	latjass	⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑅 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑆 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ) → ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑆 ) = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) )
17	6 9 12 15 16	syl13anc	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ∧ ( 𝑅 ≠ 𝑆 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ) → ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑆 ) = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) )
18		simp33	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ∧ ( 𝑅 ≠ 𝑆 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ) → 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) )
19	7 2	latjcl	⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑅 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
20	6 9 12 19	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ∧ ( 𝑅 ≠ 𝑆 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
21	7 1 2	latleeqj2	⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑆 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ↔ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑆 ) = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) )
22	6 15 20 21	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ∧ ( 𝑅 ≠ 𝑆 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ) → ( 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ↔ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑆 ) = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) )
23	18 22	mpbid	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ∧ ( 𝑅 ≠ 𝑆 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ) → ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑆 ) = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) )
24	17 23	eqtr3d	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ∧ ( 𝑅 ≠ 𝑆 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) )
25		simp23	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ∧ ( 𝑅 ≠ 𝑆 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ) → 𝑃 ≠ 𝑄 )
26		simp32	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ∧ ( 𝑅 ≠ 𝑆 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ) → ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) )
27		simp12	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ∧ ( 𝑅 ≠ 𝑆 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ) → 𝑃 ∈ 𝐴 )
28		simp13	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ∧ ( 𝑅 ≠ 𝑆 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ) → 𝑄 ∈ 𝐴 )
29		eqid	⊢ ( LPlanes ‘ 𝐾 ) = ( LPlanes ‘ 𝐾 )
30	1 2 4 29	islpln2a	⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ∈ ( LPlanes ‘ 𝐾 ) ↔ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) )
31	5 27 28 10 30	syl13anc	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ∧ ( 𝑅 ≠ 𝑆 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ) → ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ∈ ( LPlanes ‘ 𝐾 ) ↔ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) )
32	25 26 31	mpbir2and	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ∧ ( 𝑅 ≠ 𝑆 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ∈ ( LPlanes ‘ 𝐾 ) )
33	24 32	eqeltrd	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ∧ ( 𝑅 ≠ 𝑆 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ∈ ( LPlanes ‘ 𝐾 ) )
34		eqid	⊢ ( LLines ‘ 𝐾 ) = ( LLines ‘ 𝐾 )
35	2 4 34	llni2	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) → ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∈ ( LLines ‘ 𝐾 ) )
36	5 27 28 25 35	syl31anc	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ∧ ( 𝑅 ≠ 𝑆 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ) → ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∈ ( LLines ‘ 𝐾 ) )
37		simp31	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ∧ ( 𝑅 ≠ 𝑆 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ) → 𝑅 ≠ 𝑆 )
38	2 4 34	llni2	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑅 ≠ 𝑆 ) → ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∈ ( LLines ‘ 𝐾 ) )
39	5 10 13 37 38	syl31anc	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ∧ ( 𝑅 ≠ 𝑆 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ) → ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∈ ( LLines ‘ 𝐾 ) )
40	2 3 4 34 29	2llnmj	⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∈ ( LLines ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∈ ( LLines ‘ 𝐾 ) ) → ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ∈ 𝐴 ↔ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ∈ ( LPlanes ‘ 𝐾 ) ) )
41	5 36 39 40	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ∧ ( 𝑅 ≠ 𝑆 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ) → ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ∈ 𝐴 ↔ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ∈ ( LPlanes ‘ 𝐾 ) ) )
42	33 41	mpbird	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ∧ ( 𝑅 ≠ 𝑆 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ∈ 𝐴 )

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Theorem 2atmat

Proof