Theorem 2ex2rexrot

Description: Rotate two existential quantifiers and two restricted existential quantifiers. (Contributed by AV, 9-Nov-2023)

	Ref	Expression
Assertion	2ex2rexrot	⊢ ( ∃ 𝑥 ∃ 𝑦 ∃ 𝑧 ∈ 𝐴 ∃ 𝑤 ∈ 𝐵 𝜑 ↔ ∃ 𝑧 ∈ 𝐴 ∃ 𝑤 ∈ 𝐵 ∃ 𝑥 ∃ 𝑦 𝜑 )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexcom4	⊢ ( ∃ 𝑤 ∈ 𝐵 ∃ 𝑥 ∃ 𝑦 𝜑 ↔ ∃ 𝑥 ∃ 𝑤 ∈ 𝐵 ∃ 𝑦 𝜑 )
2	1	rexbii	⊢ ( ∃ 𝑧 ∈ 𝐴 ∃ 𝑤 ∈ 𝐵 ∃ 𝑥 ∃ 𝑦 𝜑 ↔ ∃ 𝑧 ∈ 𝐴 ∃ 𝑥 ∃ 𝑤 ∈ 𝐵 ∃ 𝑦 𝜑 )
3		rexcom4	⊢ ( ∃ 𝑧 ∈ 𝐴 ∃ 𝑥 ∃ 𝑤 ∈ 𝐵 ∃ 𝑦 𝜑 ↔ ∃ 𝑥 ∃ 𝑧 ∈ 𝐴 ∃ 𝑤 ∈ 𝐵 ∃ 𝑦 𝜑 )
4		rexcom4	⊢ ( ∃ 𝑤 ∈ 𝐵 ∃ 𝑦 𝜑 ↔ ∃ 𝑦 ∃ 𝑤 ∈ 𝐵 𝜑 )
5	4	rexbii	⊢ ( ∃ 𝑧 ∈ 𝐴 ∃ 𝑤 ∈ 𝐵 ∃ 𝑦 𝜑 ↔ ∃ 𝑧 ∈ 𝐴 ∃ 𝑦 ∃ 𝑤 ∈ 𝐵 𝜑 )
6		rexcom4	⊢ ( ∃ 𝑧 ∈ 𝐴 ∃ 𝑦 ∃ 𝑤 ∈ 𝐵 𝜑 ↔ ∃ 𝑦 ∃ 𝑧 ∈ 𝐴 ∃ 𝑤 ∈ 𝐵 𝜑 )
7	5 6	bitri	⊢ ( ∃ 𝑧 ∈ 𝐴 ∃ 𝑤 ∈ 𝐵 ∃ 𝑦 𝜑 ↔ ∃ 𝑦 ∃ 𝑧 ∈ 𝐴 ∃ 𝑤 ∈ 𝐵 𝜑 )
8	7	exbii	⊢ ( ∃ 𝑥 ∃ 𝑧 ∈ 𝐴 ∃ 𝑤 ∈ 𝐵 ∃ 𝑦 𝜑 ↔ ∃ 𝑥 ∃ 𝑦 ∃ 𝑧 ∈ 𝐴 ∃ 𝑤 ∈ 𝐵 𝜑 )
9	2 3 8	3bitrri	⊢ ( ∃ 𝑥 ∃ 𝑦 ∃ 𝑧 ∈ 𝐴 ∃ 𝑤 ∈ 𝐵 𝜑 ↔ ∃ 𝑧 ∈ 𝐴 ∃ 𝑤 ∈ 𝐵 ∃ 𝑥 ∃ 𝑦 𝜑 )