| Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
| 1 |
|
2llnmat.m |
⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 ) |
| 2 |
|
2llnmat.z |
⊢ 0 = ( 0. ‘ 𝐾 ) |
| 3 |
|
2llnmat.a |
⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 ) |
| 4 |
|
2llnmat.n |
⊢ 𝑁 = ( LLines ‘ 𝐾 ) |
| 5 |
|
simpl1 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ≠ 0 ) ) → 𝐾 ∈ HL ) |
| 6 |
|
hlatl |
⊢ ( 𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat ) |
| 7 |
5 6
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ≠ 0 ) ) → 𝐾 ∈ AtLat ) |
| 8 |
5
|
hllatd |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ≠ 0 ) ) → 𝐾 ∈ Lat ) |
| 9 |
|
simpl2 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ≠ 0 ) ) → 𝑋 ∈ 𝑁 ) |
| 10 |
|
eqid |
⊢ ( Base ‘ 𝐾 ) = ( Base ‘ 𝐾 ) |
| 11 |
10 4
|
llnbase |
⊢ ( 𝑋 ∈ 𝑁 → 𝑋 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
| 12 |
9 11
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ≠ 0 ) ) → 𝑋 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
| 13 |
|
simpl3 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ≠ 0 ) ) → 𝑌 ∈ 𝑁 ) |
| 14 |
10 4
|
llnbase |
⊢ ( 𝑌 ∈ 𝑁 → 𝑌 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
| 15 |
13 14
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ≠ 0 ) ) → 𝑌 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
| 16 |
10 1
|
latmcl |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑌 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
| 17 |
8 12 15 16
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ≠ 0 ) ) → ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
| 18 |
|
simprr |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ≠ 0 ) ) → ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ≠ 0 ) |
| 19 |
|
eqid |
⊢ ( le ‘ 𝐾 ) = ( le ‘ 𝐾 ) |
| 20 |
10 19 2 3
|
atlex |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ AtLat ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ≠ 0 ) → ∃ 𝑝 ∈ 𝐴 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) |
| 21 |
7 17 18 20
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ≠ 0 ) ) → ∃ 𝑝 ∈ 𝐴 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) |
| 22 |
|
simp1rl |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ≠ 0 ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) → 𝑋 ≠ 𝑌 ) |
| 23 |
|
simp1l |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ≠ 0 ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ) ) |
| 24 |
19 4
|
llncmp |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ) → ( 𝑋 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑌 ↔ 𝑋 = 𝑌 ) ) |
| 25 |
23 24
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ≠ 0 ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) → ( 𝑋 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑌 ↔ 𝑋 = 𝑌 ) ) |
| 26 |
|
simp1l1 |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ≠ 0 ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) → 𝐾 ∈ HL ) |
| 27 |
26
|
hllatd |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ≠ 0 ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) → 𝐾 ∈ Lat ) |
| 28 |
|
simp1l2 |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ≠ 0 ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) → 𝑋 ∈ 𝑁 ) |
| 29 |
28 11
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ≠ 0 ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) → 𝑋 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
| 30 |
|
simp1l3 |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ≠ 0 ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) → 𝑌 ∈ 𝑁 ) |
| 31 |
30 14
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ≠ 0 ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) → 𝑌 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
| 32 |
10 19 1
|
latleeqm1 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑌 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( 𝑋 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑌 ↔ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) = 𝑋 ) ) |
| 33 |
27 29 31 32
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ≠ 0 ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) → ( 𝑋 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑌 ↔ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) = 𝑋 ) ) |
| 34 |
25 33
|
bitr3d |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ≠ 0 ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) → ( 𝑋 = 𝑌 ↔ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) = 𝑋 ) ) |
| 35 |
34
|
necon3bid |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ≠ 0 ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) → ( 𝑋 ≠ 𝑌 ↔ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ≠ 𝑋 ) ) |
| 36 |
22 35
|
mpbid |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ≠ 0 ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) → ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ≠ 𝑋 ) |
| 37 |
|
simp3 |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ≠ 0 ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) → 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) |
| 38 |
10 19 1
|
latmle1 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑌 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑋 ) |
| 39 |
27 29 31 38
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ≠ 0 ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) → ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑋 ) |
| 40 |
|
hlpos |
⊢ ( 𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset ) |
| 41 |
26 40
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ≠ 0 ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) → 𝐾 ∈ Poset ) |
| 42 |
10 3
|
atbase |
⊢ ( 𝑝 ∈ 𝐴 → 𝑝 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
| 43 |
42
|
3ad2ant2 |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ≠ 0 ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) → 𝑝 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
| 44 |
27 29 31 16
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ≠ 0 ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) → ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
| 45 |
|
simp2 |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ≠ 0 ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) → 𝑝 ∈ 𝐴 ) |
| 46 |
10 19 27 43 44 29 37 39
|
lattrd |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ≠ 0 ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) → 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑋 ) |
| 47 |
|
eqid |
⊢ ( ⋖ ‘ 𝐾 ) = ( ⋖ ‘ 𝐾 ) |
| 48 |
19 47 3 4
|
atcvrlln2 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ) ∧ 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑋 ) → 𝑝 ( ⋖ ‘ 𝐾 ) 𝑋 ) |
| 49 |
26 45 28 46 48
|
syl31anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ≠ 0 ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) → 𝑝 ( ⋖ ‘ 𝐾 ) 𝑋 ) |
| 50 |
10 19 47
|
cvrnbtwn4 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Poset ∧ ( 𝑝 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑋 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ 𝑝 ( ⋖ ‘ 𝐾 ) 𝑋 ) → ( ( 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑋 ) ↔ ( 𝑝 = ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) = 𝑋 ) ) ) |
| 51 |
41 43 29 44 49 50
|
syl131anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ≠ 0 ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) → ( ( 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑋 ) ↔ ( 𝑝 = ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) = 𝑋 ) ) ) |
| 52 |
37 39 51
|
mpbi2and |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ≠ 0 ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) → ( 𝑝 = ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) = 𝑋 ) ) |
| 53 |
|
neor |
⊢ ( ( 𝑝 = ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) = 𝑋 ) ↔ ( 𝑝 ≠ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) → ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) = 𝑋 ) ) |
| 54 |
52 53
|
sylib |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ≠ 0 ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) → ( 𝑝 ≠ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) → ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) = 𝑋 ) ) |
| 55 |
54
|
necon1d |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ≠ 0 ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) → ( ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ≠ 𝑋 → 𝑝 = ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) ) |
| 56 |
36 55
|
mpd |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ≠ 0 ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) → 𝑝 = ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) |
| 57 |
56
|
3exp |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ≠ 0 ) ) → ( 𝑝 ∈ 𝐴 → ( 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) → 𝑝 = ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) ) ) |
| 58 |
57
|
reximdvai |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ≠ 0 ) ) → ( ∃ 𝑝 ∈ 𝐴 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) → ∃ 𝑝 ∈ 𝐴 𝑝 = ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) ) |
| 59 |
21 58
|
mpd |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ≠ 0 ) ) → ∃ 𝑝 ∈ 𝐴 𝑝 = ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) |
| 60 |
|
risset |
⊢ ( ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ∈ 𝐴 ↔ ∃ 𝑝 ∈ 𝐴 𝑝 = ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) |
| 61 |
59 60
|
sylibr |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ≠ 0 ) ) → ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ∈ 𝐴 ) |