Theorem 2llnmeqat

Description: An atom equals the intersection of two majorizing lines. (Contributed by NM, 3-Apr-2013)

	Ref	Expression
Hypotheses	2llnmeqat.l	⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
	2llnmeqat.m	⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
	2llnmeqat.a	⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
	2llnmeqat.n	⊢ 𝑁 = ( LLines ‘ 𝐾 )
Assertion	2llnmeqat	⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑃 ≤ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) ) → 𝑃 = ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2llnmeqat.l	⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
2		2llnmeqat.m	⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
3		2llnmeqat.a	⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
4		2llnmeqat.n	⊢ 𝑁 = ( LLines ‘ 𝐾 )
5		simp3r	⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑃 ≤ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) ) → 𝑃 ≤ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) )
6		hlatl	⊢ ( 𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat )
7	6	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑃 ≤ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) ) → 𝐾 ∈ AtLat )
8		simp23	⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑃 ≤ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) ) → 𝑃 ∈ 𝐴 )
9		simp1	⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑃 ≤ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) ) → 𝐾 ∈ HL )
10		simp21	⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑃 ≤ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) ) → 𝑋 ∈ 𝑁 )
11		simp22	⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑃 ≤ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) ) → 𝑌 ∈ 𝑁 )
12		simp3l	⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑃 ≤ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) ) → 𝑋 ≠ 𝑌 )
13		hllat	⊢ ( 𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat )
14	13	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑃 ≤ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) ) → 𝐾 ∈ Lat )
15		eqid	⊢ ( Base ‘ 𝐾 ) = ( Base ‘ 𝐾 )
16	15 3	atbase	⊢ ( 𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
17	8 16	syl	⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑃 ≤ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) ) → 𝑃 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
18	15 4	llnbase	⊢ ( 𝑋 ∈ 𝑁 → 𝑋 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
19	10 18	syl	⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑃 ≤ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) ) → 𝑋 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
20	15 4	llnbase	⊢ ( 𝑌 ∈ 𝑁 → 𝑌 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
21	11 20	syl	⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑃 ≤ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) ) → 𝑌 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
22	15 1 2	latlem12	⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑃 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑋 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑌 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ) → ( ( 𝑃 ≤ 𝑋 ∧ 𝑃 ≤ 𝑌 ) ↔ 𝑃 ≤ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) )
23	14 17 19 21 22	syl13anc	⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑃 ≤ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) ) → ( ( 𝑃 ≤ 𝑋 ∧ 𝑃 ≤ 𝑌 ) ↔ 𝑃 ≤ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) )
24	5 23	mpbird	⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑃 ≤ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) ) → ( 𝑃 ≤ 𝑋 ∧ 𝑃 ≤ 𝑌 ) )
25		eqid	⊢ ( 0. ‘ 𝐾 ) = ( 0. ‘ 𝐾 )
26	1 2 25 3 4	2llnm4	⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ) ∧ ( 𝑃 ≤ 𝑋 ∧ 𝑃 ≤ 𝑌 ) ) → ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ≠ ( 0. ‘ 𝐾 ) )
27	9 8 10 11 24 26	syl131anc	⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑃 ≤ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) ) → ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ≠ ( 0. ‘ 𝐾 ) )
28	2 25 3 4	2llnmat	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ≠ ( 0. ‘ 𝐾 ) ) ) → ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ∈ 𝐴 )
29	9 10 11 12 27 28	syl32anc	⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑃 ≤ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) ) → ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ∈ 𝐴 )
30	1 3	atcmp	⊢ ( ( 𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ∈ 𝐴 ) → ( 𝑃 ≤ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ↔ 𝑃 = ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) )
31	7 8 29 30	syl3anc	⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑃 ≤ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) ) → ( 𝑃 ≤ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ↔ 𝑃 = ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) )
32	5 31	mpbid	⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑃 ≤ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) ) → 𝑃 = ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) )